TRAVAUX DIRIGES N

TRAVAUX DIRIGES N⁰1 EXERCICE 1

1. Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :

2. Résoudre dans ℝ² chacun des systèmes ci-dessous :

3. Résoudre dans ℝ³ chacun des systèmes ci-dessous :

EXERCICE 2

Soit 𝐸 l’équation : 12𝑥² + 8 7 − 3 5 𝑥 − 2 35 = 0 .

1. a) Montrer que 𝐸 admet deux solutions de signes contraires.

b) Montrer que est une solution de 𝐸 puis déduire sans résolution, la deuxième solution 𝛼 de 𝐸 .

2. a) Développer 3 5 + 8 7 ².

b) Résoudre dans ℝ l’inéquation 𝐼 : − 12𝑥² − 8 7 − 3 5 𝑥 + 2 35 < 0 . EXERCICE 3

On considère le polynôme 𝑃 défini par : 𝑃 𝑥 = 2𝑥⁴ + 3𝑥³ − 16𝑥² + 3𝑥 + 2.

1. Vérifier que 0 n’est pas racine de 𝑃.

2. a) Montrer que si 𝑥₀ est racine de 𝑃, alors est aussi racine de 𝑃.

b) Calculer 𝑃 2 et 𝑃 −2 − 5 puis résoudre dans ℝ l’équation 𝑃 𝑥 = 0.

MINESEC

Lycée Classique d’Edéa Département de Mathématiques

Année scolaire : 2019 / 2020 Classe : 1^ère C

Prof : Olivier TIAGHO

𝑎) 3𝑥² − 2𝑥 − 5 3 = 0 𝑏) 𝑥 − 𝑥 − 3 = 0 𝑐) 2𝑥 + 7 = 𝑥 + 2 𝑑) 3𝑥 − 2 ≤ 5𝑥 − 8 𝑒) 2𝑥² − 4 3𝑥 + 6 ≤ 0 𝑓) 2𝑥⁴ − 2𝑥² − 24 = 0

𝑎) 𝑥 𝑦+𝑦

𝑥 =146 55 𝑥𝑦 = 55

𝑏) 𝑥 𝑦+𝑦

𝑥+ 2𝑥𝑦 = 37 2 2 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 = 4

𝑐)

−1

3 𝑥 − 1 ² + 𝑦² = 1 2 𝑥 − 1 ² −𝑦²

4 = 17

𝑑) 𝑥³ + 𝑦³ = 56 𝑥𝑦 = −8

𝑎)

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

𝑏)

𝑥² + 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥² − 𝑦 − 𝑧 = 2 3𝑥² + 2𝑦 + 4𝑧 = 16

𝑐)

2 𝑥 − 𝑦 − 1 + 𝑧² = 1

− 𝑥 + 3 𝑦 − 1 + 2𝑧² = 2 5 𝑥 − 2 𝑦 − 1 − 𝑧² = 3

−2 7 3

1 𝑥₀

3. On pose :

a) Montrer que l’équation 𝑃 𝑥 = 0 est équivalente à l’équation : 2𝑋² + 3𝑋 − 20 = 0.

b) Résoudre dans ℝ l’équation 𝑃 𝑥 = 0.

c) Etudier le signe de 𝑃 𝑥 , puis déduire les solutions de l’inéquation 𝑃 𝑥 > 0.

EXERCICE 4

1. a) Déterminer les couples 𝑎; 𝑏 de nombres entiers relatifs tels que 𝑎𝑏 = 3.

b) En déduire tous les couples 𝑥; 𝑦 d’entiers relatifs tels que 𝑥² − 𝑦² = 3.

2. On considère l’équation 𝐸 : 𝑥² − 1 𝑥² − 4 = 1120.

a) En décomposant 1120 comme produit de quatre entiers naturels, trouver une solution de 𝐸 qui soit entière.

b) Démontrer que si 𝛼 est solution de 𝐸 , alors −𝛼 est aussi solution de 𝐸 . c) Résoudre 𝐸 . Déduire la résolution de l’inéquation 𝑥⁴ − 5𝑥² − 1116 < 0.

EXERCICE 5

1. a) Montrer que le polynôme 𝑃 𝑥 = 𝑥³ − 8𝑥² + 23𝑥 − 16 est divisible par 𝑥 − 1.

b) Résoudre dans ℝ l’équation 𝐸 : 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 23𝑥² − 16𝑥 = 0.

2. Résoudre dans ℝ³ les système 𝑆 :

−2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −2

−4𝑦 + 𝑧 = −4 8𝑥 + 12𝑦 + 𝑧 = −52

et Σ :

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −2

16𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 2

3. Le plan est rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝐼, 𝐽 . On donne les points

𝐴 1; −1 , 𝐵 0; 2 et 𝐶 −4; −6 . Ecrire une équation cartésienne du cercle 𝒞 circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶.

4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝐼, 𝐽 . On donne les points 𝐴 1; −1 , 𝐷 2; −2 et 𝐸 4; 2 . Ecrire une équation cartésienne de la parabole 𝒫 de sommet 𝐷 et contenant les points 𝐸 et 𝐴.

EXERCICE 6

1. Soit 𝑃 le polynôme défini par : 𝑃 𝑥 = 6𝑥³ − 17𝑥² − 5𝑥 + 6.

a) Vérifier que 𝑃 est divisible par 2𝑥 − 1.

b) Résoudre dans ℝ l’inéquation 𝑃 𝑥 ≥ 0.

2. Développer 3 − 2 ² puis résoudre dans ℝ l’équation : 4𝑥² − 2 3 + 2 𝑥 + 3 2 = 0.

𝑋 = 𝑥 +1 𝑥

EXERCICE 7

𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle en 𝐴 tel que 𝐴𝐵 = 13𝑐𝑚. Sur la figure ci-contre, on donne 𝐵𝐶 = 10𝑐𝑚. On construit dans ce triangle un rectangle 𝑃𝑄𝑅𝑆 tel que l’aire du rectangle soit la moitié de l’aire du triangle. On pose 𝑃𝑄 = 𝑦 𝑐𝑚 et 𝑃𝑆 = 2𝑥 𝑐𝑚.

1. Montrer que les réels 𝑥 et 𝑦 vérifient le système 𝑥𝑦 = 15 5𝑦 = 60 − 12𝑥. 2. Déterminer les dimensions de ce rectangle.

EXERCICE 8

Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres réels.

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de 𝑥, l’expression littérale 𝑇 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 (𝑥 − 𝑐).

2. Déterminer un polynôme 𝑃 de degré 3 ayant pour racines 𝛼, 𝛽 et 𝛿

tels que :

EXERCICE 9

Soit 𝑚 un paramètre réel. On donne le polynôme 𝑃_𝑚 𝑥 = 𝑥² − 𝑚 + 2 𝑥 + 1. Donner en justifiant le degré de 𝑃_𝑚.

2. Déterminer l’intervalle 𝐼 des valeurs de 𝑚 pour lesquelles 𝑃_𝑚 admet deux racines.

3. Lorsque 𝑃_𝑚 admet deux racines 𝛼 et 𝛽, on pose : 𝑆 = 𝛼 + 𝛽 et 𝑃 = 𝛼 × 𝛽.

a) Déterminer deux réels 𝑐 et 𝑑 tels que : ∀𝑚 ∈ 𝐼, 𝑐𝑃 + 𝑑𝑆 = 2.

b) Déduire une relation entre 𝛼 et 𝛽 indépendante de 𝑚.

c) Déterminer 𝛼 lorsque 𝛼 = 𝛽.

4. Résoudre dans ℝ² le système 𝑥 + 𝑦 = 𝑚 + 2 𝑥 − 3𝑦 = 0 .

5. Déduire, pour tout 𝑚 ∈ 𝐼, les racines 𝜇 et 𝜃 de 𝑃_𝑚 telles que 𝜇 = 3𝜃. EXERCICE 10

Soit 𝑃 un polynôme de degré 3 tel que : 𝑃 0 = 0 et ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃 𝑥 + 1 − 𝑃 𝑥 = 𝑥².

1. Montrer que 𝑃 1 = 0 et déterminer deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝑃 𝑥 = 𝑥² − 𝑥 𝛼𝑥 + 𝛽 . 2. Déduire l’expression de 𝑆_𝑛 = 1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑛 − 1 ² en fonction de 𝑛, pour tout

𝑛 ∈ ℕ^∗. Application : Calculer la somme 𝑆 = 1² + 2² + 3² + 4² + ⋯ + 100².

𝐏 𝐐

𝐀

𝐁 𝐒 𝐂

𝐑

𝛼 + 𝛽 + 𝛿 = 6 𝛼𝛽𝛿 = −30 1

𝛼+1 𝛽+1

𝛿 = 1 30

2𝑚 +1 4

SITUATION 1

OT dispose d’un champ trapézoïdal 𝐴𝐵𝐶𝐷 dont les dimensions sont données ci-contre.

Il décide de le séparer en deux parcelles de même superficie par une route de 2𝑚 de large pour avoir facilement accès à chaque partie avec ses machines pour le travail.

Au terme d’une année de cultures, OT a récolté trois sacs de haricots ; quatre sacs de maïs et deux sacs d’arachides de la partie 𝑨 qu’il a vendu sur le marché à 194 000 𝐹𝐶𝐹𝐴.

Dans la partie 𝑩, il a récolté cinq sacs de haricots ; six sacs de maïs et quatre sacs d’arachides qu’il a vendu à 334 000 𝐹𝐶𝐹𝐴. Un sac de haricot coûte entre 29 000 𝐹𝐶𝐹𝐴et 31 000 𝐹𝐶𝐹𝐴, les prix unitaires de ces sacs sont des multiples de 500 𝐹𝐶𝐹𝐴.

Il prévoit moderniser complètement sa plantation en deux ans et cela nécessite une somme de 582 000 𝐹𝐶𝐹𝐴. Pour cela, il place toute la somme de ses ventes dans une banque à un taux qu’il a oublié le pourcentage. Après un temps, il constate qu’il ne peut pas atteindre ses objectifs. Il enlève donc cette somme de la banque (capital et intérêts réunis) qu’il place dans une autre banque où le taux dépasse le précédent de 5% et atteint alors ses objectifs.

Tâches :

1. A quelle distance 𝐴𝑀 du point 𝐴 doit-il placer la route ?

2. Quel était le prix d’un sac de haricot, d’un sac de maïs et d’un sac d’arachide ? 3. Quelle est la valeur du taux qu’il a dû oublié ?

EXERCICE 11

A) Soit 𝑃 le polynôme défini par : 𝑃 𝑥 = 𝑥³ − 6𝑥² − 51𝑥 + 280.

1. Déterminer trois réels 𝑎, 𝑝 et 𝑞 tels que 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 ³ + 𝑝 𝑥 + 𝑎 + 𝑞.

2. On pose 𝑋 = 𝑥 + 𝑎.

a) Résoudre dans ℝ l’équation 𝑋³ + 𝑝𝑋 + 𝑞 = 0.

b) En déduire les solutions de l’équation 𝑃 𝑥 = 0.

B) Soit le polynôme 𝑄 défini par 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 ≠ 0 .

1. Déterminer une condition pour que 𝑄 admette deux racines opposées.

2. On pose : 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 + 2 et 𝑐 = 2. Résoudre dans ℝ l’équation 𝑄 𝑥 = 0.

𝑪 𝑨

𝑴′ 𝑵′

𝑫 𝑵 𝑩

200𝑚 𝑴

150𝑚

300𝑚

SITUATION 2 OT a creusé un puits dont l’entrée est un cercle de diamètre 𝐴𝐵 = 4𝑚. Il désire couler l’entrée du puits en laissant deux trous ayant tous la forme d’un cercle de diamètres respectifs 𝐴𝑀 et 𝐵𝑀 où 𝑀 est

un point quelconque de 𝐴𝐵 .

Son fils OBAMA est élève en classe de 1^ère C et OT sollicite son aide pour résoudre certains problèmes qui se posent dans la position du point 𝑀 sur 𝐴𝐵 qui détermine la quantité de béton à utiliser pour son travail.

Tâches :

1. Déterminer la position du point 𝑀 pour que l’aire de la partie coloriée (partie à couler) soit maximale.

2. Peut-on placer le point 𝑀 tel que l’aire de la partie à couler soit strictement supérieure à la somme des aires des disques de diamètres respectifs 𝐴𝑀 et 𝐵𝑀 ?

3. Déterminer les positions du point 𝑀 pour lesquelles l’aire de la partie à couler est inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètres 𝐴𝑀 et 𝐵𝑀 .

A B