TRAVAUX DIRIGES:

Examinateur : BELMONDO DIYOU 2012 - 2013 Page 1

TRAVAUX DIRIGES:

FONCTION LOGARITHME : dérivée-Primitive-Limites EXERCICE 1

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble de définition de la fonction ℝ ℝ définie par :

(1) ( ) = ln(2−3 ) (2) ( ) = ln|2−3 | (3) ( ) = ln[( + 5) ] (4) ( ) = ln√ + 5 (5) ( ) = ln(2 −3) + ln(5 −2)

(6) ( ) = ln 2 −3

5 −2 (7) ( ) = ln 2 −3 5 −2 EXERCICE 2

Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :

(a)

ln 32 (b)

ln

(c)

2ln (d)

ln√2 (e) ln 3√2 (f)

2ln (g)

ln 36− 2ln 12 (h) ln 27 + 2ln 8−3 ln 108

EXERCICE 3

Ecris sous la forme de

ln chacun des nombres réels suivants :

(a) 3ln 2−ln 7 + ln 4 ( ) ln 5−3 ln 3−ln 2 ( ) ln 4 + ln 9−2 ln 5

(d)

ln(0,1) + ln 10−ln(0,001) (e) ln 1 +√2 + ln 1− √2 (f) ln ^√ + ln

√

(g) ln 1− √2 + ln 1 +√2 (h) ln ^√ + ln ^√ EXERCICE 4

Résoudre dans

ℝ les équations suivantes :

( ) ln(5−2 ) = 0 (b) ln( −3) = ln(2 + ) (c) ln( −4) = ln(1−4 )

(d)

ln( −2 + 2) = 1

(e) ln( −1) + ln( + 1) = ln(2 + ) (f) ln( −1) + ln( + 1) = ln(2 + ) (g) ln(5 + 2)−ln( + 2) = ln( −2)

EXERCICE 5

Résoudre dans

ℝ les équations suivantes :

(1) ln(2 −3) + 2ln( + 1) = ln( −1) (2) 3 ln( + 1) = 1 (3) ln√2 −3 = ln(6− )− ln (4) ln + = ln| | (5) ln| −1| + ln|2 + 1| = 0

EXERCICE 6

Résoudre dans

ℝ les inéquations suivantes :

( ) ln(ln ) > 0 ( ) ln < 3 ln 2 (c) ln( − + 1)≥ln(2− ) (d) (1−ln )(3 + ln )≥ 0 (e) (ln ) ≤1 ( ) ln( −9)≤ 0

EXERCICE 7

Résoudre dans

ℝ les systèmes suivants :

(1) − = −2

ln + ln = ln 2 (2) (ln )(ln ) = −15 ln( ) =−2 (1) 2 ln + ln = 1

5ln + 3 ln = 4 (2) + = 29 ln + ln = ln 10 EXERCICE 8

Dans chacun des cas suivants calculer les limites de la fonction f pour les valeurs indiquées : ( ) ( ) = 1

−ln , 0 +∞; ( ) ( ) = 1

ln , 1 +∞ ( ) ( )

= 1−ln

, 0 +∞

CLUB SUCCES LE

SCIENTIFIQUE

95-14-30-07 /75-99-33-83 Vot re succès

TD N⁰ 6 : Fonction Logarithme Classe : T^le D

Examinateur: Belmondo DIYOU

Examinateur : BELMONDO DIYOU 2012 - 2013 Page 2

( ) ( ) = (1−ln ), 0 +∞ ( ) ( ) = ln −5

+ 2 , 5 +∞ ( ) ( )

= ln −1

2− , 1 2 ( ) ( ) = ( −2) ln( −2) , 2 +∞ (ℎ) ( )

= ( −ln ) +∞

( ) ( ) = ( + ln| |) − ∞ ( ) ( ) =ln

√ +∞ ( ) ( ) =ln + 3

ln + 1, +∞ ( ) ( ) = 1

+ ln 1

, +∞ ; ( ) ( ) = −ln

−1 , +∞ ; ( ) ( ) = ln , 0 ( ) ( ) =√ ln , ; ( ) ( ) = 1

+ ln , 0 ; ( ) ( ) =ln( + 1)

√ , 0 ( ) ( ) =ln(2− )

−1 , 1 ; ( ) ( ) =ln −1

− , ; ( ) ( ) = ln −

− , EXERCICE 9

Pour chacune des fonctions f de ℝ vers ℝ définie ci-dessous : Déterminer l’ensemble de définition et Calculer ( ).

(1) ( ) = ln(−2 + 1) ; (2) ( ) = ln(|1−3 |) ; (3) ( ) =(ln ) ; (4) ( ) =ln + 1

ln −1 (5) ( ) =√ln + 3 (6) ( ) = ln√ −5 EXERCICE 10

On considère la fonction f définie sur ℝ. Dans chacun des cas suivants, Etudier la Continuité et la Dérivabilité :

(1) ( ) =ln(1 + ) (0) = 0

, ≠ ( 0) (2)

( ) = , ≤1 ( ) = 1 +ln

, ≥ 1 ( 1) EXERCICE 11

Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives sur K de la fonction f.

( ) ( ) = 3

2− = ]2 ; +∞[ ( ) ( ) = −4 −2

+ + 1 =ℝ ( ) ( ) =ln

= ]0; +∞[ ( ) ( ) = 1

ln = ]1 ; +∞[

EXERCICE 12

On donne une fonction rationnelle f définie par :

( ) =

( )( )

.

1) Démontrer qu’il existe deux nombres réels a et b tels que :

( ) = +

2) Déterminer une primitive sur ]2 ; +∞[ de la fonction f .

EXERCICE 13

On donne

( ) =

Déterminer une primitive de la fonction f sur

−∞ ;

puis sur ¹

3 ; +∞ . EXERCICE 14

f est la fonction définie sur

ℝ\ − ∶ ( ) =

_{( )}

Déterminer deux réels a et b tels que pour x distinct de

−

on a

( ) = +

(2 +1)²

.

Déterminer la primitive F de f sur ]−0,5 ; +∞[ qui prend la valeur 1 en 0.