MINISTÈRE DESENSEIGNEMENTSSECONDAIRES ANNÉE SCOL AIRE2017-2018 DÉLÉGATION RÉGIONALE DU CENTRE CL ASSE:T C COEF:5
LYCÉEBILINGUE DEBOKITO FICHE DETD
DÉPARTEMENT DEMATHÉMATIQUES EXAMINATEUR: M. TCHIO SERGE
TRAVAUX DIRIGES DE MATHÉMATIQUES
NB :La clarté de la copie et la précision dans la rédaction seront prises en compte.
Exercice 1 (Complexes - similitudes)
I) On considère l’équation (E) :z5+az3+bz2+az+1,a,b∈R.
1. Démontrer que si z0 est une solution de (E) alors il en est de même de z0 et
1 z0.
2. Déterminera etbpour que 1+i soit solution de (E).
3. Déduire trois solutions de (E).
4. Terminer alors la résolution de (E).
II) Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,→−u,−→v ). Unité graphique 4cm.
5. Placer les points I, J,H, A,B,C etD d’affixes respectiveszI =1,zJ =i, zH=1+i,zA=2,zB =32+i, zC =2i etzD = −1.
(a) Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à (AE) passant parC et la parallèle à (OC) passant parD se coupent enF. Placer les pointsE etF puis vérifier quezF = −1+12i
(b) Montrer que les trianglesO AB etOC F sont isométriques
III) On considère la transformation complexe f d’écriturez0= −i z+2i. 6. Déterminer les images deO, A etB par f.
7. Montrer que f est une similitude. Est-elle une isométrie ? 8. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
9. f est-elle une symétrie axiale ? 10. Soitt−→I J la translation de vecteur−→
I J. Donner une écriture complexe det ett−1. 11. On poseS= f ◦t−1
Montrer qu’une écriture complexe deSestz0= −i z+1+i (a)
(b) Montrer queI etJ sont invariants parS.
(c) Déduire que f est la composée d’une symétrie et d’une translation à pré- ciser.
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Exercice 2 (Fonctions)
Le plan est muni d’un repère orthogonal (O,→− i ,−→
j ). On considère la fonction f définie par :
f(x)=
½ ex−e−x
ex+e−x si x≤0 xl n1x si x>0 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f surR. 2. Étudier les variations de f.
3. Montrer que l’équation f(x)= −1 admet dansRune unique solution α∈]32, 2[.
4. (a) Étudier les branches infinies de f.
(b) Déterminer les démi-tangentes à la courbe de f au point d’abscisse 0.
(c) Déterminer une équation de la tangente (T) au point d’abscisse 1.
(d) Tracer la courbe de f et (T).
On donnee−1=0.37,l n2=0.69 etl n3=1.10
Exercice 3 (Espace vectoriel)
E est un espace vectoriel de base (−→ i ,−→
j ,→−
k). f est un endomorphisme deE tels que f(→−
i )=−→ i +−→
j , f(−→
j )= −−→ i −−→
j +−→
k et f (−→
k)=2→− k 1. Soit→−u =2−→
i +2→− j −−→
k.
(a) Déterminer l’image de−→u par f. Que dire du vecteur→−u ? (b) Donner une écriture analytique de f
2. DéterminerK er f etI m f. f est-elle un automorphisme ?
On n’apprend pas à un poisson à grimper un arbre. A. Einstein
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