Daniel COURIVAUD – SIGTEL - Groupe ESIEE - 2002 MICRO-ONDES

(1)

R O U P E G

MICRO-ONDES

Daniel COURIVAUD – SIGTEL - Groupe ESIEE - 2002

(2)

(3)

SOMMAIRE

1. PARAMETRES S 13

1.1. MATRICE CARACTÉRISTIQUE D’UN QUADRIPÔLE LINÉAIRE 14

1.1.1. CONVENTIONS 14

1.1.2. MATRICE IMPÉDANCE 14

1.1.2.1. Définition et signification des paramètres impédance 15

1.1.2.2. Impédance d’entrée 15

1.1.2.3. Association de quadripôles 15

1.1.3. MATRICE ADMITTANCE 16

1.1.3.1. Définition et signification des paramètres admittance 16

1.1.3.2. Admittance d’entrée 17

1.1.4. MATRICE HYBRIDE 17

1.1.4.1. Définition et signification des paramètres hybrides 18

1.1.5. MATRICE CHAÎNE 19

1.1.5.1. Définition et signification des paramètres 19

1.1.6. GÉNÉRALISATION À DES MULTIPÔLES 20

1.1.7. PROBLÈME DES HAUTES FRÉQUENCES 20

1.2. PARAMÈTRES S 23

1.2.1. ONDES INCIDENTES ET RÉFLÉCHIES 23

1.2.2. PARAMÈTRES S GÉNÉRALISÉS 26

1.2.3. APPLICATION À UN QUADRIPÔLE 29

1.2.4. DÉFINITION 30

1.2.5. GRAPHE DE FLUENCE 32

1.2.6. COEFFICIENT DE RÉFLEXION 32

1.2.7. NOTION DE PUISSANCE 36

1.2.7.1. Le dipôle 36

1.2.7.2. Le générateur 37

1.2.7.3. Pertes d’insertion 41

1.3. PROPRIÉTÉS 43

1.3.1. LA RÉCIPROCITÉ 43

1.3.2. LA SYMÉTRIE 43

1.3.3. L’UNILATÉRALITÉ 44

1.3.4. L’IDÉALITÉ 44

1.3.5. LE QUADRIPÔLE RÉCIPROQUE PASSIF SANS PERTES 45

1.3.6. DÉCALAGE DES PLANS DE RÉFÉRENCE 46

1.4. STABILITÉ DES QUADRIPÔLES 50

1.5. TRANSFERT DE PUISSANCE DANS LES CIRCUITS MICROONDES 55

1.5.1. PERTES PAR DÉSADAPTATION 55

1.5.2. GAINS EN PUISSANCE DES QUADRIPÔLES 57

(4)

1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les graphes 58 1.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique 60 1.5.2.3. Relations entre les gains en puissance 61 1.5.2.4. Relation entre gain transducique et pertes par

désadaptation 61

1.5.2.5. Expression du gain transducique en fonction des

paramètres chaîne 62

1.5.2.6. Gain transducique unilatéral 63

1.5.3. GAIN EN TENSION 65

1.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain transducique 67

2. DISPOSITIFS MICROONDES 69

2.1. L’ATTÉNUATEUR 70

2.1.1. FONCTIONNEMENT 70

2.1.2. TECHNOLOGIE 70

2.1.2.1. Eléments localisés 71

2.1.2.2. Guide d’onde 72

2.1.2.3. Circuits intégrés 73

2.1.3. APPLICATIONS 73

2.1.3.1. Protection d’un appareil de mesure 73

2.1.3.2. Masquage d’une désadaptation 74

2.2. LE DÉPHASEUR 75

2.2.2.1. Eléments localisés 75

2.2.2.2. Eléments distribués 78

2.3. L’ISOLATEUR 80

2.3.2.1. Technologie hybride 80

2.4. LE CIRCULATEUR 82

2.4.3.1. Duplexage 84

2.4.3.2. Amplification à résistance négative 85

2.5. DIVISEURS. COMBINEURS DE PUISSANCE 86

2.5.2.1. Diviseur résistif 88

2.5.2.2. Diviseur combineur Wilkinson 90

(5)

2.5.3.1. Boucle à verrouillage de phase 91

2.5.3.2. Amplification de puissance 91

2.6. COUPLEUR BIDIRECTIONNEL 92

2.6.2.1. Guides d’ondes 94

2.6.2.2. Coupleur microstrip 95

2.6.3.1. Contrôle de niveau, asservissement 95

2.6.3.2. Mesure d’un coefficient de réflexion 96

2.7. JONCTIONS HYBRIDES 97

2.7.2.1. Technologie microstrip 99

2.7.2.2. Autres technologies 100

2.7.3. CALCUL DES MATRICES S DES DISPOSITIFS PRÉSENTANT UN AXE

DE SYMÉTRIE 100

2.7.4. CALCUL DE LA MATRICE S DE LA JONCTION BRANCHLINE 103

2.7.5.1. Jonctions 90° 107

2.7.5.2. Jonctions 180° 109

3. PROPAGATION SUR LES LIGNES DE TRANSMISSION 111

3.1. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS 112

3.2. LIGNES SANS PERTES 115

3.3. VITESSES DE PROPAGATION 116

3.4. LONGUEUR D’ONDE 117

3.5. LIGNES CHARGÉES 118

3.5.1. COEFFICIENTS DE RÉFLEXION 119

3.5.2. TAUX D’ONDE STATIONNAIRE 120

3.5.3. IMPÉDANCE D’ENTRÉE 122

3.5.4. LIGNE EN CIRCUIT OUVERT 123

3.5.5. LIGNE EN COURT CIRCUIT 124

3.5.6. TRONÇON DE LIGNE QUART D’ONDE 125

4. LIGNES DE TRANSMISSION MICROONDES 127

4.1. LA LIGNE COAXIALE 128

4.2. LA LIGNE MICROSTRIP 130

4.2.1. IMPÉDANCE CARACTÉRISTIQUE 130

4.2.2. LONGUEUR D’ONDE GUIDÉE 131

4.2.3. PERTES 133

4.2.3.1. Pertes diélectriques 133

4.2.3.2. Pertes ohmiques 133

4.2.4. DISPERSION 134

(6)

4.2.5. RAYONNEMENT 135

4.2.6. RÉSONANCE TRANSVERSE 135

4.2.7. LE CIRCUIT OUVERT 136

4.2.8. LES COUDES 136

4.2.9. LA JONCTION DE LIGNES MICROSTRIP 137

4.2.10. AUTRES DISCONTINUITÉS 139

4.3. AUTRES LIGNES 140

5. L’ABAQUE DE SMITH ET SES APPLICATIONS 141

5.1. L’ABAQUE DE SMITH 142

5.1.1. LA CHARGE 50 OHMS 146

5.1.2. LA CHARGE CAPACITIVE 146

5.1.3. LA CHARGE INDUCTIVE 147

5.1.4. LE CIRCUIT RÉSONANT PARALLÈLE 148

5.1.5. LE CIRCUIT RÉSONANT SÉRIE 148

5.1.6. LE COURT CIRCUIT 149

5.1.7. LE CIRCUIT OUVERT 149

5.2. LES APPLICATIONS DE L’ABAQUE DE SMITH 150 5.2.1. CONVERSION IMPÉDANCE-COEFFICIENT DE RÉFLEXION 150

5.2.2. CONVERSION IMPÉDANCE ADMITTANCE 150

5.2.3. IMPÉDANCES À PARTIE RÉELLE NÉGATIVE 152

5.3. L’ADAPTATION 153

5.3.1. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS LOCALISÉS 154

5.3.1.1. L’inductance série 154

5.3.1.2. La capacité série 155

5.3.1.3. L’inductance parallèle 155

5.3.1.4. La capacité parallèle 156

5.3.1.5. Exemple 157

5.3.1.6. Notion de sélectivité 160

5.3.1.7. Topologies des réseaux d'adaptation 161

5.3.1.7.1. Topologies série parallèle 164

5.3.1.7.2. Topologies parallèle série 168

5.3.2. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS DISTRIBUÉS 173

5.3.2.1. Le tronçon de ligne sans pertes 173

5.3.2.2. Le stub court circuit 176

5.3.2.3. Le stub circuit ouvert 177

5.3.2.4. Le transformateur quart d’onde 178

5.3.2.5. Le changement d’impédance de normalisation 179

5.3.2.6. Adaptation simple stub 181

5.3.2.7. Adaptation double stub 185

6. ANNEXES 189 6.1. LES RELATIONS DE PASSAGE ENTRE LES DIFFÉRENTES

REPRÉSENTATIONS D’UN QUADRIPOLE 190

(7)

6.1.1. ZIJ= F (YIJ) 190

6.1.2. ZIJ= F (A, B, C, D) 191

6.1.3. ZIJ= F (SIJ) 191

6.1.4. YIJ= F (ZIJ) 192

6.1.5. Y_IJ= F (A, B, C, D) 192

6.1.6. YIJ= F (SIJ) 193

6.1.7. A, B, C, D = F (ZIJ) 193

6.1.8. A, B, C, D = F (YIJ) 194

6.1.9. A, B, C, D = F (SIJ) 194

6.1.10. SIJ= F (ZIJ) 195

6.1.11. SIJ= F (YIJ) 196

6.1.12. S_IJ= F (A, B, C, D) 196

6.2. QUELQUES MATRICES ÉLÉMENTAIRES 197

6.2.1. L’IMPÉDANCE SÉRIE 197

6.2.2. L’ADMITTANCE PARALLÈLE 198

6.2.3. LE TRANSFORMATEUR IDÉAL 199

6.2.4. LE TRONÇON DE LIGNE SANS PERTES 200

6.3. LES GRAPHES DE FLUENCE 201

7. BIBLIOGRAPHIE 205

(8)

(9)

Table des figures

Figure 1-1 :Orientation des tensions et des courants

Figure 1-2 : Quadripôles en série ^¢¡

Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle ^¤£

Figure 1-4 : Quadripôles en cascade ^¥§¦

Figure 1-5 : Générateur chargé ^¥§¨

Figure 1-6: Décomposition en signaux incidents et réfléchis ^¥ ^¡

Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies ^¨©¦

Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle ^¨©¨

Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé ^¨ Figure 1-10: Graphe de fluence d'un quadripôle chargé ^¨ ^¡

Figure 1-11 : Puissance délivrée à un dipôle ^¨ ^£

Figure 1-12 : Générateur chargé ^¨ ^£

Figure 1-13: Graphe de fluence d'un générateur chargé ^¨«ª Figure 1-14 : Pertes d’insertion d’un quadripôle ^¬

Figure 1-15: Plans de référence d'un quadripôle ^§£

Figure 1-16: Insertion de quadripôles connus aux accès du quadripôle à

mesurer ^§£

Figure 1-17 : Conventions pour l’étude des quadripôles non réciproques ^¡ ^¦

Figure 1-18 : Cercles de stabilité ^¡ ^¥

Figure 1-19 : Zones de stabilité et d’instabilité ^¡ ^¥

Figure 1-20 : Stabilité inconditionnelle ^¡ ^¨

Figure 1-21 : Pertes par désadaptation ^¡©¡

Figure 1-22 : Puissances mises en jeu ^¡£

Figure 1-23: Graphe de fluence d'un quadripôle alimenté et chargé ^¡ ^ª Figure 1-24: Conventions pour le calcul du gain en tension ^® ^¡ Figure 2-1 : Topologies d’atténuateurs résistifs ^£¯

Figure 2-2 : Atténuateur en té ponté ^£ ^¥

Figure 2-3 : Protection d’un appareil de mesure ^£ ^¨

Figure 2-4 : Masquage d’une désadaptation ^£°

Figure 2-5 : Topologies de déphaseurs ^£ ^®

Figure 2-6: Structure en pi ^£ ^®

Figure 2-7 : Déphaseur 90° à 1 GHz ^£«±

Figure 2-8 : Modulateur QAM ^£ ^ª

Figure 2-9 : Protection d’une source avec un isolateur idéal ^±²

Figure 2-10 : Protection d’une source avec un isolateur réél ^±²

Figure 2-11 : Circulateur idéal ^± ^¥

Figure 2-12 : Equivalence entre circulateur chargé et isolateur ^± ^¨ Figure 2-13 : Dépendance de l’isolation en fonction de la charge ^± ^¨

Figure 2-14 : Duplexeur ^±¢

Figure 2-15 : Amplification à résistance négative ^±©¡

Figure 2-16 : Diviseur de puissance ^± ^®

(10)

Figure 2-17 : Combineur de puissance ^ÄÅ

Figure 2-18 : Diviseur de puissance résistif ^Ä©Ä

Figure 2-19 : Bilan de puissance ^ÄÆ

Figure 2-20 : Diviseur de Wilkinson ^ÆÇ

Figure 2-21 : Prélévement de puissance pour un asservissement ^Æ¯È

Figure 2-22 : Combinaison de puissance ^Æ¯È

Figure 2-23 : Coupleur bidirectionnel ^Æ¢É

Figure 2-24 : Coupleur microstrip ^Æ«Ê

Figure 2-25 : Contrôle de niveau et asservissement ^Æ©Ë Figure 2-26 : Mesure d’un coefficient de réflexion ^Æ©Ë

Figure 2-27 : Jonction hybride ^Æ©Å

Figure 2-28 : Jonction branchline ^Æ©Æ

Figure 2-29 : Coupleur de Lange ^Æ©Æ

Figure 2-30 : Jonction «rat - race» ^ÈÇ©Ç

Figure 2-31 : Jonction branchline de base ^ÈÇÌ

Figure 2-32 : Décomposition en 2 quadripôles de modes pair et impair ^ÈÇÌ Figure 2-33 : Décomposition en 4 coefficients de réflexion élémentaires ^ÈÇ§Ê

Figure 2-34 : Jonction 90° c hargée ^ÈÇ«Å

Figure 2-35 : Atténuateur équilibré ^ÈÇ§Ä

Figure 2-36 : Amplificateur équilibré ^ÈÇ§Ä

Figure 2-37 : Jonction 180° c hargée ^ÈÇ«Æ

Figure 2-38 : Mélangeur équilibré ^ÈÇ«Æ

Figure 3-1 : Modèle électrique d’un tronçon de ligne de transmission ^È©ÈÍÉ Figure 3-2 : Ligne de transmission excitée et chargée ^È©È¢Ä

Figure 3-3 : Régime d’ondes stationnaires ^ÈÍÉ©É

Figure 3-4 : Impédance d’entrée d’une ligne en circuit ouvert ^ÈÍÉ«Ì Figure 3-5 : Impédance d’entrée d’une ligne en court circuit ^ÈÍÉ¯Ê

Figure 3-6 : Ligne quart d’onde chargée ^ÈÍÉ¯Ê

Figure 4-1 :Structure transversale d’une ligne coaxiale ^ÈÍÉ¯Ä

Figure 4-2 : Ligne microstrip ^ÈÎ©Ç

Figure 4-3 : Concept de permittivité diélectrique effective ^ÈÎ°É

Figure 4-4 : Effet de peau ^ÈÎ©Î

Figure 4-5 : Le circuit ouvert ^ÈÎ«Ë

Figure 4-6 : Schéma équivalent d’un coude ^ÈÎ«Ë

Figure 4-7 : Réduction de la capacité parasite ^ÈÎ«Å Figure 4-8 : Changement d’impédance caractéristique ^ÈÎ«Å Figure 4-9 : Jonction de 3 lignes microstrip ^ÈÎ«Å Figure 4-10 : Jonction de 4 lignes microstrip ^ÈÎ§Ä Figure 4-11 : Microcoupure dans une ligne microstrip ^ÈÎ«Æ Figure 4-12 : Encoche dans une ligne microstrip ^ÈÎ«Æ

Figure 4-13 : Ligne triplaque ^È Ì«Ç

Figure 4-14 : Ligne coplanaire ^È Ì«Ç

Figure 4-15 : Ligne à fente ^È Ì«Ç

(11)

Figure 5-1 : Plan des impédances complexes ^à áâ

Figure 5-2: Charge 50 ohms ^à á§ã

Figure 5-3: Lieu des charges capacitives ^à á§ä

Figure 5-4 : Lieu des charges inductives ^à á§ä

Figure 5-5 : Le circuit résonant parallèle ^à á²å

Figure 5-6 : Le circuit résonant série ^à á²å

Figure 5-7 : Le court circuit ^à á§æ

Figure 5-8 : Le circuit ouvert ^à á§æ

Figure 5-9 : Le coefficient de réflexion ^à¢ç°è

Figure 5-10 : Conversion impédance - admittance ^à¢ç²à

Figure 5-11 : Abaque en admittance ^à¢ç²à

Figure 5-12 : Impédance à partie réelle négative ^à¢ç¤â Figure 5-13 : Adaptation d’une charge complexe ^à¢ç°é Figure 5-14 : Insertion d’un réseau d’adaptation ^à¢ç°é

Figure 5-15 : Ajout d’une inductance série ^à¢ç¢á

Figure 5-16 : Ajout d’une capacité série ^à¢ç©ç

Figure 5-17 : Ajout d’une inductance parallèle ^à¢çã Figure 5-18 : Ajout d’une capacité parallèle ^à¢çã

Figure 5-19 : Adaptation d’une charge ^à¢çä

Figure 5-20 : Parcours sur l’abaque de Smith ^à¢ç©å Figure 5-21 : Solutions normalisées par rapport à 50 ohms ^à¢çæ Figure 5-22 : Solutions dénormalisées par rapport à 50 ohms et 1 GHz ^à¤ãè Figure 5-23 : Augmentation de la sélectivité d’un réseau d’adaptation ^à¤ã¯à

Figure 5-24 – Topologie série parallèle ^à¤ã¢â

Figure 5-25 – Topologie parallèle série ^à¤ã¢â

Figure 5-26 – Lieu des points pouvant être adaptés avec une topologie série

parallèle, et parallèle série ^à¤ãé

Figure 5-27 – Décomposition de l’abaque de Smith en 3 zones ^à¤ãé Figure 5-28 – Topologie L série, L parallèle ^à¤ã°á Figure 5-29 – Topologie L série, C parallèle ^à¤ã«ç Figure 5-30 – Topologie C série, L parallèle ^à¤ã©ã Figure 5-31 – Topologie C série, C parallèle ^à¤ã©ä Figure 5-32 – Topologie L parallèle, L série ^à¤ã«å Figure 5-33 – Topologie L parallèle, C série ^à¤ã©æ Figure 5-34 – Topologie C parallèle, L série ^à¤äè Figure 5-35 – Topologie C parallèle, C série ^à¤ä¯à Figure 5-36 – Synthèse des réseaux d’adaptation possibles en fonction de la

charge à adapter ^à¤ä¢â

Figure 5-37 : Tronçon de ligne sans pertes chargé ^à¤äé Figure 5-38 : Déplacements sur l’abaque de Smith ^à¤äé Figure 5-39 : Déplacements vers le générateur ^à¤ä°á

Figure 5-40 : Tronçon de ligne chargé ^à¤ä«ç

Figure 5-41 : Module du coefficient de réflexion ^à¤ä«ç

(12)

Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit ^û¤ü©ü

Figure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert ^û¤ü«ý

Figure 5-44 : Exemple de transformateur quart d’onde ^û¤ü©þ Figure 5-45 : Tronçons de ligne d’impédances caractéristiques différentes ^û¢ý°ÿ

Figure 5-46 : Adaptation simple stub ^û¢ý²û

Figure 5-47 : Exemple d’adaptation simple stub ^û¢ý Figure 5-48 : Première solution de l’adaptation simple stub ^û¢ý Figure 5-49 : Seconde solution de l’adaptation simple stub ^û¢ý

Figure 5-50 : Adaptation double stub ^û¢ý

Figure 5-51 : Exemple d’adaptation double stub ^û¢ý Figure 5-52 : Première solution de l’adaptation double stub ^û¢ý©ý Figure 5-53 : Seconde solution de l’adaptation double stub ^û¢ý©ý

Figure 6-1 : L’impédance série ^û¤þ©ü

Figure 6-2 : L’admittance parallèle ^û¤þ«ý

Figure 6-3 : Le transformateur idéal ^û¤þ©þ

Figure 6-4 : Le tronçon de ligne sans pertes ^§ÿ©ÿ Figure 6-5 : Graphe de fluence d’un quadripôle ^§ÿ Figure 6-6 : Graphe de fluence d’un générateur ^§ÿ

Figure 6-7 : Graphe de fluence d’une charge ^§ÿ

Figure 6-8 : Graphe de fluence d’un quadripôle alimenté et chargé ^§ÿ

(13)

1. PARAMETRES S

(14)

1.1. Matrice caractéristique d’un quadripôle linéaire Un quadripôle linéaire (dont le comportement ne dépend pas de l’amplitude du signal d’excitation) peut être caractérisé de plusieurs façons différentes suivant le choix des paramètres dépendants et indépendants. La majorité de ces paramètres concerne les tensions et les courants.

1.1.1. Conventions

Les courants et les tensions utilisés dans ce cours sont les suivants :

Q

I

V

1

I₂

V2

Figure 1-1 :Orientation des tensions et des courants

1.1.2. Matrice impédance

Les tensions sont exprimées en fonction des courants par l’intermédiaire des paramètres impédances.

I +Z I

=Z V

I +Z I

=Z V

2 2 1 1

2 12 1 11 1

2 2

2

Sous forme matricielle:

[Z][I]

= [V]

(15)

1.1.2.1. Définition et signification des paramètres impédance

Les 4 paramètres Zij sont définis comme suit :

11

I =0 1 1

12

I =0 1 2

21

I =0 2 1

22

I =0 2 2

Z = V

I Z = V I Z = V

I Z = V I

2 1



 





 



La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge en circuit ouvert.

1.1.2.2. Impédance d’entrée

L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit:

in 11

12 21

L 22

Z = Z - Z Z Z + Z

1.1.2.3. Association de quadripôles

Z

1

2

Figure 1-2 : Quadripôles en série

(16)

1.1.3. Matrice admittance

Les courants sont exprimés en fonction des tensions par l’intermédiaire des paramètres admittance

I = Y V + Y V I = Y V + Y V

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Sous forme matricielle

[I ] = [Y][V]

1.1.3.1. Définition et signification des paramètres admittance

Les 4 paramètres Yij sont définis comme suit :

11

V =0 1 1

12

V =0 1 2

21

V =0 2 1

22

V =0 2 2

Y = I

V Y = I V Y = I

V Y = I V

2 1



 





 



La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge en court circuit.

Y11 représente l’admittance d’entrée lorsque la sortie est court circuitée

Y22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est court circuitée

(17)

1.1.3.2. Admittance d’entrée

L’admittance d’entrée du quadripôle chargé par YL s’écrit :

in 11

12 21

L 22

Y = Y - Y Y Y + Y

Y

1

2

Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle

1.1.4. Matrice hybride

La tension d’entrée et le courant de sortie sont exprimés en fonction de la tension de sortie et du courant d’entrée

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V = H I + H V I = H I + H V



 Sous forme matricielle :

























V [H] I

= I V

2 1 2

1

(18)

1.1.4.1. Définition et signification des paramètres hybrides

Les 4 paramètres Hij sont définis comme suit :

11

V =0 1 1

12

I =0 1 2

21

V =0 2 1

22

I =0 2 2

H = V

I H = V V H = I

I H = I V

2 1



 





 



La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge en circuit ouvert et court circuit.

H11 représente l’impédance d’entrée lorsque la sortie est court circuitée.

H12 représente le gain en tension lorsque l’entrée est en circuit ouvert.

H21 représente le gain en courant lorsque la sortie est en court circuit.

H22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est en circuit ouvert.

L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit :

in 11

12 21 L

22 L

Z = H - H H Z 1+ H Z

(19)

1.1.5. Matrice chaîne

Aucune des représentations évoquées jusqu’à présent ne permet la décorrélation de l’entrée et de la sortie. La matrice chaîne comble cette lacune en permettant d’exprimer la tension et le courant à l’entrée en fonction de la tension et du courant à la sortie.

V = AV - B I I = CV - D I

1 2 2



 Sous forme matricielle

1 1

2 2

V

I = [C] V - I



 

 

 



1.1.5.1. Définition et signification des paramètres

Les quatre paramètres chaîne sont définis comme suit :

A représente le gain en tension inverse lorsque la sortie est en circuit ouvert

B et C représentent une impédance et une admittance de transfert

D représente l'opposé du gain en courant inverse lorsque la sortie est en court circuit.

(20)

L’impédance d’entrée du quadripôle charge par ZL s’écrit

in

L L

Z = A Z + B C Z + D

C C

1 2

C

3

Figure 1-4 : Quadripôles en cascade

1.1.6. Généralisation à des multipôles

Le formalisme utilisé par les matrices impédances et admittance peut être étendu sans aucun problème à des multipôles. La relation matricielle est identique.

1.1.7. Problème des hautes fréquences

Les fréquences de l’ordre de grandeur de quelques GHz ont ceci de particulier qu’elles mettent en jeu des longueurs d’onde comparables aux dimensions du circuit ce qui ne permet pas d’utiliser les hypothèses simplificatrices du formalisme employé en basse fréquence. Ceci implique que :

• La mesure directe des courants et des tensions n’est pas possible à cause de la fréquence très élevée des signaux. Les appareils de mesure doivent intégrer des étages de conversion.

(21)

• A chaque mesure doit être associée une référence géométrique, appelée plan de référence, rendue nécessaire par le fait que ces grandeurs peuvent varier rapidement sur quelques centimètres.

• Les références en circuit ouvert sont difficiles à réaliser du fait des dimensions physiques proches de la longueur d’onde. Le rayonnement est alors difficile à éviter

• Les transistors peuvent ne pas supporter des court circuits (courant maximum) et des circuits ouverts (tension maximum) à leurs extrémités.

La caractérisation des circuits électriques fait souvent appel à des grandeurs qui varient peu en fonction de la position de la sonde de mesure, ce qui est le cas de la tension et du courant aux fréquences basses. Aux fréquences plus élevées, la grandeur invariante est la puissance transportée sur la ligne, sous réserve que cette dernière soit correctement dimensionnée. Ce sera la grandeur fondamentale mesurée en hyperfréquences. Elle présente l’avantage de pouvoir être mesurée directement.

Par contre, celle ci s’exprime de façon complexe en fonction des paramètres tension - courant :

( )

P= 1 VI 2Re ^*

Il faut donc introduire de nouveaux paramètres caractéristiques permettant de manipuler aisément les puissances mises en jeu et rendant mieux compte des phénomènes physiques.

(22)

(23)

1.2. Paramètres S

1.2.1. Ondes incidentes et réfléchies

Lorsque les dimensions du circuit ne sont plus très grandes devant la longueur d’onde, un phénomène de propagation du signal électrique apparaît, ce qui introduit la notion de signaux incidents et réfléchis. Considérons le circuit ci dessous :

Z_S

ZL

V_S

VL

I

Figure 1-5 : Générateur chargé

Le courant circulant dans la maille s’écrit :

L S

S

Z Z I V

= +

La tension aux bornes de la charge s’écrit :

L S

S L

L Z Z

Z V

V = +

La puissance délivrée à la charge s’en déduit :

( ) (

²

)

²

2

*

) 2 2 (

1

S L S

L S L L

L R R X X

V R I V Re

P = ⋅ = + + +

(24)

On recherche la valeur de XL qui maximise PL :

( )

( ) ( )

(

^L ^S ^L ^L ^S ^S

)

^L ^S

S L L

L X X

X X R

R

X V X

R X

P = ⇔ =−

+ + +

+

= −

∂

∂ 2 0

2 ² ² ²

2

Dans ce cas, la puissance délivrée à la charge se met sous la forme suivante :

( )

²

2

2 _L _S

S L X L X

R R V R P

S

L₌₋ = +

On cherche alors la valeur de RL qui maximise à nouveau PL :

( ) ( )

(

L S

)

^L ^S

S L L S

S L L

X L X

R R R

R

R R R R

V R R

P

S

L = ⇔ =

+

−

= +

∂

∂ ₌₋

2 0

2 ⁴

2 2

On en déduit que le générateur délivre sa puissance maximum s’il est chargé par son impédance conjuguée. Dans ce cas, cette puissance vaut :

S S L L

S R

P V Z

Z 8

2

* ⇔ =

=

Acceptons maintenant le fait que tout signal électrique (tension ou courant) présent sur un circuit dont les dimensions ne sont pas très grande devant la longueur d’onde, subit un phénomène de

propagation.

Il peut donc se décomposer en signaux incident et réfléchi :

R I

I I I

V V V

−

= +

=

(25)

Z_S

Z_L

V_S

V_I V_R

II I

R

Figure 1-6: Décomposition en signaux incidents et réfléchis

Il est clair que la puissance délivrée à la charge par le générateur sera maximum s’il n’y a pas de signal réfléchi, c’est à dire si la charge est conjuguée de l’impédance interne du générateur. Dans ce cas :

I R I

I I I I

V V V V

=

−

=

= +

=

Sur la charge :

*

1

S S S I

S S

S S I L

Z V Z

I I

Z Z V Z V V

= +

=

= +

=

On en déduit les termes réfléchis dans le cas général :

( )

( ) ⁽ ⁾

(

^S ^L^S

) ⁽

^S^S ^L

⁾

S I

R

L S S S

S L S S I R

Z Z Z Z

Z V Z

I I I

Z Z Z Z

Z Z V Z

V V V

+ +

= −

−

=

+ +

= −

−

=

*

(26)

On vérifie aisément que les tension et courant réfléchis s’annulent lorsque le générateur est chargé par son impédance interne conjuguée.

Les signaux incidents et réfléchis sont reliés entre eux par l’impédance interne du générateur:

R S R

I S I

I Z V

⋅

=

⋅

= ^*

Cette impédance est appelée impédance de normalisation et on la note souvent Z0.

R R

I I

I Z V

⋅

=

⋅

=

0 0

1.2.2. Paramètres S généralisés

Les paramètres S répondent à la nécessité d’un nouvel outil de caractérisation des circuits linéaires aux fréquences microondes.

D’un point de vue purement mathématique, les paramètres qu’ils relient sont issus d’une combinaison linéaire des tensions et des courants aux N accès du circuit et représentent des ondes incidentes aj et réfléchies bj.

Au jième accès, l’onde sortante s’écrit comme une combinaison linéaire des ondes entrantes à chacun des autres accès :

∑

= N

k

k j= Sjka b

1

(27)

Les paramètres a et b sont définis par :

jR j j j

jI j j j

Z I b Z

Z I a Z

+ ⋅

=

+ ⋅

=

2 2

* 0 0

Z0j est l’impédance de normalisation du j^ième port, c’est à dire l’impédance interne du générateur connecté au port j.

Les relations inverses conduisent à :

j j j jR

j j j jI

Z b I Z

Z a I Z

+ ⋅

=

+ ⋅

=

* 0 0

2 2

Le courant rentrant par l’accès j s’écrit :

(

^j ^j

)

j j jR

jI

j a b

Z I Z

I

I ⋅ −

= +

−

= _*

0 0

2

La tension présente à l’accès j se met sous la forme :

(

^j ^j ^j ^j

)

j j jR

j jI j jR jI

j a Z b Z

Z I Z

Z I Z V V

V _* ₀^* ₀

0 0 0

* 0

2 ⋅ ⋅ + ⋅

= +

⋅ +

= +

= _⋅

(28)

Les expressions de Ij et Vj ci dessus nous permettent de relier les paramètres a et b à chacun des accès aux tensions et courants à ces mêmes accès :

( )

(

⁰ ⁰^*

)

* 0

* 0 0

0

2 2

j j

j j j j

j j

j j j j

Z Z

I Z b V

Z Z

I Z a V

+

⋅

= −

+

⋅

= +

REMARQUE :

La dimension de ces paramètres a et b est une racine carrée de puissance. On verra par la suite que cette formulation permet de traiter de façon extrêmement simple les problèmes de transfert de puissance dans les circuits micro-ondes.

L’origine de la définition de a et b fait appel aux courants incident et réfléchi. On les appellera donc les ondes incidente et réfléchie.

Z0j, l’impédance de normalisation à l’accès j est complexe dans le cas général. Si on appelle R0j et X0j les parties réelle et imaginaire de Z0j, les paramètres a et b se mettent sous la forme suivante :

j j j j j

R I Z b V

R I Z a V

0

* 0 0 0

2 2

⋅

= −

⋅

= +

(29)

Si l’impédance de normalisation est purement réelle, Z0j = R0j :

j j j j j

R I R b V

R I R a V

0 0

2 2

⋅

= −

⋅

= +

Si l’impédance de normalisation est purement réelle et commune à tous les accès, Z0j = R0 :

0 0

2 2

R I R b V

R I R a V

j j

j

j j

j

⋅

= −

⋅

= +

Sauf indication contraire, nous nous placerons dans ce cas dans la suite de ce document.

1.2.3. Application à un quadripôle

Dans le cas général, les ondes incidentes et réfléchies prennent la forme suivante :

Z ) R ( 2

Z I V - b = Z ) R ( 2

I -Z

= V b

Z ) R ( 2

I +Z

= V a Z ) R ( 2

I +Z

= V a

2 e 2 2 2 1

e 1

* 1 1 1

2 e

2 2 2 2 1

e 1 1 1 1

* 2

Z1 et Z2 sont les impédances de normalisation aux accès 1 et 2.

(30)

Q

I

V

1

I2

V2

a1

b1

a2

b2

Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies

• a1 et b1 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès 1

• a2 et b2 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès 2

Pour un quadripôle possédant une impédance de normalisation purement résistive et commune aux 2 accès, on écrira :

1

1 0 1

0

2

2 0 2

0

1

1 0 1

0

2

2 0 2

0

a = V + R I

2 R a = V + R I 2 R b = V - R I

2 R b = V - R I 2 R

Aux fréquences microondes, R0 est très souvent prise égale à 50 ohms.

1.2.4. Définition

Comme on l’a vu précédemment, les paramètres S relient entre elles les ondes incidentes et réfléchies. Pour un quadripôle :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

b = S a + S a b = S a + S a

(31)

11 1 1

S =b 2

a lorsque a = 0.

C’est le rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente à l’entrée du quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 2 est nulle. D’un point de vue terminologie le rapport d’une onde réfléchie à une onde incidente s’appelle un coefficient de réflexion. C’est la fraction d’énergie réfléchie par le quadripôle dont on comprend bien qu’elle devra être minimisée pour favoriser le transfert du signal à la sortie du quadripôle.

12

1 2

S = b 1

a lorsque a = 0

C’est le «gain» inverse du quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 1 est nulle.

21

2 1

S = b 2

a lorsque a = 0

C’est le «gain» direct du quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 2 est nulle.

22

2 2

S = b 1

a lorsque a = 0

C’est le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 1 est nulle.

(32)

La mesure des paramètres S nécessite donc d’annuler tour à tour, non pas des tensions et des courants comme pour les paramètres descriptifs classiques mais des ondes incidentes. La nullité des ondes a1 ou a2 se traduit par :

I -R V = 0 a =

2 0 2 2

1 0 1 1

⇔

Dans le cas général, on aura :

I -Z V = 0

aj= ⇔ j 0j j

Ces conditions sont réalisées lorsque l’accès considéré est chargé par son impédance de normalisation ce qui évite d’utiliser des références en circuit ouvert ou en court circuit.

1.2.5. Graphe de fluence

Les graphes de fluence permettent d’analyser de façon graphique les circuits micro-ondes. On se reportera à l’annexe 5.3 pour une présentation de cette technique.

1.2.6. Coefficient de réflexion

Dans le domaine tension-courant un dipôle est caractérisé par son impédance Z (rapport entre tension et courant). Son équivalent dans le formalisme des paramètres S s’appelle le coefficient de réflexion Γ (rapport entre onde réfléchie et onde incidente).

(33)

I

V a

b

ZL

Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle

Le passage entre les deux domaines est immédiat :

2 R I Z -

=V b

2 R Z I +

=V a

0 0 0

* 0

+Z Z

Z Z - I = +Z V

I Z -

= V a

=b

0 L

L 0

* 0

*

Γ 0

Le coefficient de réflexion quantifie en amplitude et en phase l’énergie réfléchie par le dipôle. Il existe un autre formalisme, issu de la théorie des lignes de transmission, permettant de mesurer l’énergie réfléchie : le Taux d’Onde Stationnaire . Cependant, celui- ci ne donne aucune indication sur la phase de signal réfléchi. Sa définition est la suivante :

TOS = 1+| | 1-| |

Γ Γ

(34)

Exercice :

Que peut on dire du coefficient de réflexion et du TOS des dipôles suivants : résistance 50 Ω, résistance 100 Ω, résistance 25 Ω, court circuit, circuit ouvert, inductance sans perte, capacité sans perte ? Pour un quadripôle caractérisé par ses paramètres S et chargé par un coefficient de réflexion ΓL, le coefficient de réflexion à l’entrée s’écrit :

in

1 1

L

2 2

= b

a avec = a

Γ Γ b

On utilise la définition des paramètres S

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

b = S a + S a b = S a + S a

Q

a1

b₁

a₂

b2

ZL

L

in

Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé

On obtient :

Γ Γ Γ

L 22

L 21 12 11 1 1

in 1-S

S +S

=S a

=b

Une charge sera dite adaptée si elle ne réfléchit aucune puissance ( Γ = 0).

(35)

Dans le cas où l’impédance de charge ΓL est égale à l’impédance de normalisation, le coefficient de réflexion à l’entrée d’un quadripôle chargé est égal à S11. Sinon, un terme correctif tient compte des réflexions en sortie.

On peut également calculer l’expression du coefficient de réflexion d’un quadripôle chargé avec la théorie des graphes .

a₁ b

2

S1 1 S

2 2 S2 1

S1 2 a₂

b1

±

L

±

Figure 1-10: Graphe de fluence d'un quadripôle chargé

Le coefficient de réflexion Γin se définit par :

a

=b

1 1

Γin

La variable dépendante est b1. La variable indépendante est a1. Les chemins entre a1 et b1 sont :

C1=S11

C2=S21.ΓL.S12

(36)

Il n’y a qu’une seule boucle du premier ordre : ΣL1= S22.ΓL

Il n’y a pas de boucle du second ordre : ΣL2= 0

Le seul autre terme non nul est ΣL¹1 : ΣL¹1 = S22.ΓL

D’après la règle de Mason :

[ ] [ ]

[ ]

L L L

L L

3 2 1

2 2 2 1 2

1 2 1 1 1

S - 1

S S S

S - 1

S S S

- S 1

...

L + L - L + - 1

...

+ ...

L + L + - C 1 + ...

L - L + - C 1

= T

Γ + Γ

Γ = Γ +

= Γ

Σ Σ Σ

Σ

22 21 12 11 22

12 21 11 22

1.2.7. Notion de puissance 1.2.7.1. Le dipôle

Dans le domaine tension courant, lorsque la tension et le courant sont exprimés en valeur crête, la puissance délivrée à un dipôle s’écrit :

P = 1

2 R (V I )e *