Lors de la conception de circuit micro-ondes, on utilise plusieurs grandeurs caractéristiques du transfert de puissance que l’on va détailler maintenant.
1.5.1. Pertes par désadaptation
Le calcul des pertes par désadaptation utilise les conventions de la figure 1.21.
PL
PA VS
Figure 1-21 : Pertes par désadaptation
Les pertes par désadaptation ML (Mismatch Loss) se définissent comme le rapport de la puissance effectivement délivrée à la charge sur la puissance disponible de la source:
AVS L
P ML= P
On a vu précédemment que la puissance disponible d’un générateur de coefficient de réflexion interne ΓS s’écrit :
2
La puissance délivrée à la charge vaut :
(
1 2 1 2)
12 1 2(
1 2)
On voit que les pertes par désadaptation font apparaître le rapport a1/bS:
Ce rapport vaut :
L
Finalement les pertes par désadaptation s’écrivent :
( )( )
Exemple :
Les pertes par désadaptation entre une charge 40 Ω et une charge 60 Ω valent : ML=1.04=0.18dB
1.5.2. Gains en puissance des quadripôles
On définit le gain transducique GT comme le rapport de la puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du générateur. Le gain en puissance GP représente le rapport de la puissance délivrée à la charge sur la puissance entrant effectivement dans le quadripôle. Enfin, le gain disponible se définit comme le rapport de la puissance disponible du quadripôle sur la puissance disponible du générateur.
S
Pi n P
A VN
PL
PA VS
Figure 1-22 : Puissances mises en jeu
Ces différents gains s’expriment en fonction des paramètres S du quadripôle et des coefficients de réflexion de source et de charge (les différentes expressions provenant de la façon de calculer les gains) :
Le gain transducique est toujours inférieur ou égal au gain disponible GA (respectivement au gain en puissance GP), l’égalité n’étant assurée que pour un transfert de puissance optimum en sortie (respectivement en entrée).
1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les graphes
On peut établir la formule du gain transducique en utilisant la théorie des graphes.
a1 b
Figure 1-23: Graphe de fluence d'un quadripôle alimenté et chargé
Le gain transducique est le rapport entre la puissance délivrée à la charge PL et la puissance disponible du générateur PAVS.
On peut mettre PL et PAVS sous la forme suivante :
Le calcul du gain transducique se réduit donc au calcul de la fonction de transfert entre bs et b2 :
On en déduit la fonction de transfert entre bs et b2 :
Le gain transducique s’en déduit par factorisation du dénominateur :
( )( ) ( ) ( )
1.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique Cette façon de procéder diffère uniquement par la manière de calculer la fonction de transfert entre bS et b2. Il s’agit ici de la décomposer comme suit :
S
Les équations qui régissent le comportement d’un quadripôle alimenté et chargé sont rappelées ci dessous :
On a également vu (paragraphe 1.2.7.2) que l’onde directe émise par un générateur (bS, ΓS) vers une charge ΓL se mettait sous la forme :
1 ΓLΓS
Ici la charge est égale à Γ1, le coefficient de réflexion d’entrée du quadripôle chargé par ΓL:
Γ
On aboutit à une autre forme du gain transducique :
( )( ) ( ) ( )
1.5.2.3. Relations entre les gains en puissance Les trois gains sont bien entendu reliés entre eux, et la seule connaissance du gain transducique (le plus général des trois) suffit pour retrouver les deux autres puisqu’il tient compte du quadripôle lui-même, mais aussi des deux impédances de charge. En effet, le gain en puissance (respectivement le gain disponible) s’obtient en supposant l’adaptation d’entrée (respectivement de sortie) idéale dans la formule du gain transducique. Les adaptations idéales en entrée et en sortie se traduisent par Γ1 = Γ*S et Γ2 = Γ*L .
1.5.2.4. Relation entre gain transducique et pertes par désadaptation
Le calcul des pertes par désadaptation peut être effectué à l’aide du gain transducique d’un quadripôle particulier dont les paramètres S sont donnés ci dessous :
S11 = 0, S12 = 1, S21 = 1 et S22 = 0
On obtient alors :
1.5.2.5. Expression du gain transducique en fonction des paramètres chaîne En fonction des paramètres chaîne, la tension et le courant à l’entrée du quadripôle s’expriment en fonction de la tension et du courant à la sortie :
2 ce qui permet d’écrire :
( )
La puissance disponible du générateur vaut :
2
La puissance dissipée dans la charge s’écrit :
2
2 2
1R I PL = L
Le gain transducique s’en déduit :
2
1.5.2.6. Gain transducique unilatéral
Une simplification importante intervient pour les quadripôles unilatéraux (S12 = 0). Le gain transducique associé (appelé gain transducique unilatéral) se simplifie de la façon suivante :
TU
Puisqu’il n’y a plus de réaction de la sortie sur l’entrée, on peut donner une signification physique aux trois termes qui composent ce gain. Le premier caractérise le transfert d’énergie entre le source et le quadripôle, le second représente le gain propre du quadripôle, alors que le troisième mesure la désadaptation en sortie.
Si les adaptations en entrée et en sortie sont parfaites (ΓS = S*11 et ΓL = S*22) le gain unilatéral sera maximum et vaudra :
TUmax
11
2 21
2
22
G = 1 2
1-|S | |S | 1 1-|S |
Lorsque l’on calcule des circuits amplificateurs aux fréquences micro-ondes (quelques GHz), on utilise souvent cette formule pour approximer le gain maximum que l’on peut espérer tirer de l’amplificateur si le transistor peut être considéré unilatéral (|S12| < -20 dB).
Exemple :
Considérons un transistor MESFET AsGa possédant les paramètres S suivants à 1 GHz (transistor Avantek ATF-25735) : S11=0.94 exp –j 45° S12=0.04 exp –j 64°
S21=4.61 exp j 142° S22=0.52 exp –j 20°
Le gain du transistor entre deux charges 50 ohms vaut : dB
3 . 13 25 .
2 21
21
50Ω = S = =
G
Si on place le transistor entre ses deux charges complexes conjuguées, le gain vaut alors :
dB
Favoriser le transfert de puissance aux accès augmente le gain et ceci d’autant plus que le coefficient de réflexion propre du transistor est éloigné de 50 ohms.
1.5.3. Gain en tension
On peut exprimer les tensions à l’entrée et à la sortie d’un quadripôle en fonction des ondes incidentes et réfléchies aux accès.
Figure 1-24: Conventions pour le calcul du gain en tension
Si R0 est la résistance de normalisation :
On peut définir une forme de gain en tension du quadripôle de la façon suivante :
1
On peut calculer ce gain en tension avec la théorie des graphes en introduisant la variable indépendante bS :
S
Il ne reste plus qu’à calculer les 4 fonctions de transfert élémentaires.
Les boucles du premier ordre sont : ΓSS11, ΓLS22 et S12 S21ΓSΓL
Il n’y a qu’une boucle du second ordre : ΓSS11ΓLS22
Avec la règle de Mason on obtient :
(
11 22 12 21)
11 22(
11 22 12 21)
11 22On en déduit le gain en tension :
( )
On peut en tirer l’expression du gain en tension G’V défini comme le rapport entre la tension de sortie V2 et la tension aux bornes du générateur non chargé VS :
1.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain transducique
On rappelle que le gain transducique est défini comme le rapport de la puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du générateur.
Avec les conventions utilisées, et en posant :
)
On obtient :
' 2 2
2 2 2
2 2
4 4
8 2 1
V L S L S
S
S S
L AVS
L
T G
R R V
V R R R
V R V P
G = P = = =