5. L’ABAQUE DE SMITH ET SES APPLICATIONS
5.2. Les applications de l’abaque de Smith
5.3.2. L’adaptation à éléments distribués 1. Le tronçon de ligne sans pertes
(
L
)
L
l 0
* = * e xp
in L - 2 j+ l
Figure 5-37 : Tronçon de ligne sans pertes chargé
Le module du coefficient de réflexion d’une ligne sans pertes de longueur l et d’impédance caractéristique Zc est indépendant de la longueur l. Sur l’abaque de Smith, on se déplace donc sur un cercle à coefficient de réflexion constant (qui est un cercle de centre l’origine des coordonnées si l’impédance de normalisation est l’impédance caractéristique Zc de la ligne).
Ve rs le g é n é ra t e u r
Ve rs la c h a rg e
Figure 5-38 : Déplacements sur l’abaque de Smith
L’abaque de Smith est conçue de telle sorte qu’un déplacement de λ/2 correspond à un tour (360° ). Ceci s’explique par le fait que l’abaque de Smith permet de tracer des coefficients de réflexion et non de transmission, ces derniers étant de préférence lus sur un graphe de type polaire. Le déphasage est alors compté deux fois : une fois vers la charge et une fois vers le générateur.
> / 2
> / 8
Figure 5-39 : Déplacements vers le générateur
Exemple :
On considère un tronçon de ligne 50 Ω chargé par ZL = 10 Ω + j 30 Ω
10 + j3 0 Q 50 Q , 90°
Figure 5-40 : Tronçon de ligne chargé
Le module du coefficient de réflexion de la charge se déduit du rayon du cercle de centre 0 passant par le point représentatif de cette charge.
0 .7 4 e xp
j 1 1 7 °
0.74 e xp- j 6 3 °
Figure 5-41 : Module du coefficient de réflexion
L’angle associé à ce point représente deux fois la longueur électrique de la ligne. A l’entrée du tronçon de ligne sans perte, on retrouve donc
exp exp
d
d
-j63 -j180
L
in=ρ =0.74
ρ
5.3.2.2. Le stub court circuit
Un stub court circuit est un tronçon de ligne sans perte chargé par un court circuit. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et de la longueur l.
in c
Z = j Z tg lβ
L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de l’abaque de Smith.
Exemple
L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 court circuitée vaut Zin = + j
v / 8 v e rs le g é n é ra t e u r
Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit
5.3.2.3. Le stub circuit ouvert
Un stub circuit ouvert est un tronçon de ligne sans pertes chargé par un circuit ouvert. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et de la longueur l.
in
Z = Zc
jtg lβ
L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de l’abaque de Smith.
Exemple
L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 en circuit ouvert vaut zin = - j.
/ 8 v e rs le g é n é ra t e u r
Figure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert
5.3.2.4. Le transformateur quart d’onde
L’impédance d’entrée d’un tronçon de ligne sans perte de longueur quart d’onde chargé par une impédance de charge ZL s’écrit :
in c 2
L
Z = Z Z
Si l’impédance de charge ZL est purement réelle, l’impédance ramenée est également purement réelle (en supposant que l’impédance caractéristique de la ligne est elle aussi purement réelle ce qui sera toujours le cas pour les lignes sans pertes).
1 00
Z = 25
in
/ 4, 50
Figure 5-44 : Exemple de transformateur quart d’onde
5.3.2.5. Le changement d’impédance de normalisation
L’impédance de normalisation choisie pour l’abaque de Smith est celle de la ligne de transmission. Il peut arriver que l’on ait besoin de travailler avec des lignes d’impédance caractéristique différentes. Il faut effectuer une opération de dénormalisation renormalisation à chaque interface.
Exemple
On considère le circuit de la figure 5-45 :
10 0 °
± / 8, 25 ° ± / 8 , 50 °
z1
z2
Figure 5-45 : Tronçons de ligne d’impédances caractéristiques
différentes
Pour obtenir l’impédance d’entrée à partir de l’abaque de Smith on suit la démarche ci-dessous:
• On normalise l’impédance de charge par rapport à 50 Ω
L
z = ZL
50 = 2
• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de centre l’origine de l’abaque passant par zL , à partir de zL
z1 = 0.8 - j 0.6
• On dénormalise z1 par rapport à 50 Ω
Z1 = 40 - j 30 Ω
• On renormalise Z1 par rapport à 25 Ω
z’ = Z
25 = 1.6 - j1.2
1
1
• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de centre l’origine de l’abaque passant par z’1 à partir de z’1
z2 = 0.425 - j 0.4
• On dénormalise z2 par rapport à 25 Ω
Z2 = 10.625 - j 10 Ω 5.3.2.6. Adaptation simple stub
Une ligne de transmission et un stub court circuit ou circuit ouvert permettent d’adapter une charge complexe à 50 Ω
l , 5 0 Ã d , 5 0 Ã
y
y
ys d
Figure 5-46 : Adaptation simple stub
Pour qu’il y ait adaptation y doit être égal à 1.
ys est purement imaginaire
y = s ± j( ) yd doit donc être de la forme suivante :
y = 1+ j( )d
Exemple
On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 + j 70 Ω avec un dispositif simple stub. Les lignes ont une impédance caractéristique de 50 Ω.
l , 50 Ö d , 50 Ö
y
y
ys d
30 + j7 0 Ö
Figure 5-47 : Exemple d’adaptation simple stub
On normalise ZL par rapport à 50 Ω
L
z = ZL
50 = 0.6 + j1.4
Par symétrie on en déduit l’admittance normalisée yL = 0.26 - j 0.6
On se déplace vers le générateur sur un cercle de centre 0 passant par yL (à partir de yL) jusqu’à rencontrer une admittance à partie réelle unitaire. La première admittance vérifiant cette condition est :
yd = 1 + j 1.85
La longeur de ligne parcourue entre yL et yd vaut 0.275é λ
Le stub court circuit doit donc présenter une admittance d’entrée permettant d’annuler la partie imaginaire de yd
yS = - j 1.85
La longueur êìëîíðïòñóëîôíñóëîíõöïø÷úùûïüïùý÷ÿþõ ñòïòñþõ ë ù ñï íù ù õöïûù
l’abaque de Smith
l = 0.078 λ
La solution est donc:
0.07 8/ , 5 0 0 0 .2 75/ , 50 0
y = 1
30 + j7 0 0
Figure 5-48 : Première solution de l’adaptation simple stub
La seconde solution est obtenue de façon similaire :
0.07 8/ , 5 0 0 0 .2 75/ , 50 0
y = 1
30 + j7 0 0
Figure 5-49 : Seconde solution de l’adaptation simple stub
5.3.2.7. Adaptation double stub
Pour des raisons pratiques (réglages à posteriori, connaissance imprécise de l’impédance à adapter, etc...) on est parfois amené à modifier légèrement les longueurs des lignes d’adaptation. Dans la structure simple stub ceci est quasiment impossible du fait de la ligne série. L’adaptation double stub apporte une réponse à ce problème en fixant la longueur d de la ligne série et en reportant les réglages sur deux stubs l1 et l2.
l 1, 50 C d 1 , 5 0 C
y
y
ys 1 d 1
ys 2
d 2 , 50 C
l 2, 50 C yd 2
Figure 5-50 : Adaptation double stub
On résout le problème en faisant les remarques suivantes :
• y’L est l’admittance de charge transformée par d1
• yd1 aura même partie réelle que y’L
• yd2 aura une partie réelle unitaire
Les solutions seront donc issues de l’intersection des deux cercles suivants :
C1 : cercle à partie réelle d’admittance y’L constante C2 : cercle à partie réelle d’admittance unitaire pivoté de C2 vers la charge
Exemple :
On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 - j 50 Ω à 50 Ω avec un dispositif double stub.
l 1, 50 V 0.02 W , 5 0 V
y
y
ys 1 d 1
ys 2
W / 8 , 50 V
l 2, 50 V yd 2
3 0 - j50 V
Figure 5-51 : Exemple d’adaptation double stub
On normalise ZL par rapport à 50 Ω
L
z = ZL
50 = 0.6 - j On se déplace de 0.02 λ vers le générateur
z’L = 0.48 - j 0.8
Par symétrie, on déduit l’admittance équivalente y’L = 0.54 + j 0.92
On trace le cercle unitaire pivoté de λ/8 vers la charge
L’intersection avec le cercle à partie réelle d’admittance égale à 0.55 donne 2 solutions:
yd1 = 0.54 + j 1.9 y’d1 = 0.55 + j 0.19
On pivote ces deux points vers le générateur en tournant de jlknmporq s
une ligne 50 Ω
yd2 = 1 - j 2.6 y’d2 = 1 + j 0.6
La longueur du second stub doit compenser la partie imaginaire yl2 = + j 2.6 ce qui conduit à l2 = 0.442 λ
y’l2 = - j 0.6 ce qui conduit à l2 = 0.164 λ
La longueur du premier stub est donnée par la différence entre y’L
et yd
yl1 = j 0.98 ce qui conduit à l1 = 0.375 λ y’l1 = - j 0.82 ce qui conduit à l1 = 0.14 λ
0 .3 75 , 50 0.02 , 5 0
y = 1
/ 8 , 50
0.442 , 50
3 0 - j50
Figure 5-52 : Première solution de l’adaptation double stub
0 .1 40 , 50 0.02 , 5 0
y = 1
/ 8 , 50
0.164 , 5 0
3 0 - j50
Figure 5-53 : Seconde solution de l’adaptation double stub
6. ANNEXES
6.1. Les relations de passage entre les différentes