UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2017-2018Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur la théorie de la crédibilité Mercredi 26 mai 2018
Notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Exercice 1
Un portefeuille d’assurance automobile est composé de75%de bons conducteurs et de25%de mauvais conducteurs. Les bons conducteurs ont une probabilité de1/15d’avoir un accident, alors que la probabilité est de1/10pour les mauvais conducteurs. On suppose que le coût d’un accident est de1000et qu’au plus un accident peut survenir dans une année.
1. On choisit un assuré au hasard. Quelle est la probabilité que cet assuré ait un accident dans l’année qui suit ? Quelle est la prime pure de cet assuré la première année ? 2. L’assuré choisi dans la question précédente a eu un accident dans la première année.
Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un bon conducteur ? Quelle est la prime pure de cet assuré pour la seconde année ?
Exercice 2
On considère le modèle de Binomial-Négatif avec les notations du cours.
1. Calculer la prime de crédibilité linéaire (modèle de Bühlmann) en fonction des paramètres (α, β)de la loi Gamma.
2. D’après le cours, la prime de crédibilité bayésienne est une fonction linéaire des sinistres passés. Pourquoi est-ce que cela implique que la prime de crédibilité linéaire et la prime de crédibilité bayésienne coïncident ?
3. Vérifier que la prime de crédibilité linéaire et la prime de crédibilité bayésienne coincident bien pour le modèle Binomial-Négatif.
Exercice 3
Année 1 2 3 4 5
Contrat 1 1 0 0 0 0 Contrat 2 2 0 1 0 1 Contrat 3 3 1 1 1 0 Contrat 4 2 0 3 2 0 Contrat 5 0 2 0 0 1 Contrat 6 0 1 2 1 0 Contrat 7 0 0 0 1 0 Table1 – Sinistralité observée
Le tableau 1 donne le nombre de sinistres pour 7 assurés pendant 5 ans.
1. Peut-on supposer que le groupe d’assurés est homogène ? On répondra à l’aide d’un test statistique dont on précisera l’hypothèse testée ainsi que les hypothèses probabilistes sur lesquelles repose sa validité. On donnera les commandes R utilisées.
2. Donner une estimation de la prime pour l’année 6 pour les 7 assurés du tableau à l’aide du modèle de crédibilité linéaire (modèle de Bühlmann). Quel est la valeur du facteur de crédibilité ? Comment s’interprète ce paramètre ?
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3. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 7 assurés du tableau à l’aide du modèle Binomial-Négatif. Quel est la valeur du facteur de crédibilité ?
4. En utilisant le modèle de la question précédente, proposer une méthode permettant de simuler des sinistres pour chaque assuré pour l’année 6. On décrira l’algorithme et on donnera les codes R associés sur la copie. En déduire une estimation de la moyenne et de la variance de la sinistralité totale pour le portefeuille pour l’année 6.
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