UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2017-2018EURIA 1ère année
Examen du lundi 18 décembre 2017.
Polycopié distribué en cours et notes manuscrites autorisés.
L’utilisation d’internet est interdite durant l’épreuve.
Durée : 1 heure 30
Exercice 1
En utilisant le tableur de votre choix, donner une valeur approchée de
min{x2+y2|(x, y)∈R2, x+y= 1}. On décrira la méthode utilisée SUR LA COPIE.
Exercice 2 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées SUR LA COPIE.
1. Tracer sur un même graphique les fonctionsf(x) =ln(x2+ 1)etg(x) =cos(x)définies sur l’intervalle[0,1]en utilisant deux couleurs différentes. Reproduire le graphique sur la copie.
2. Donner les valeurs dex∈[0,1]telles quef(x) =g(x).
3. Donner une valeur approchée de ∫1
0 f(x)dx.
Exercice 3 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées SUR LA COPIE.
On considère dans cet exercice le jeu de donnéesiris.
1. Créer un jeu de données iris2qui contient uniquement les lignes deiristelles que
— la variable Speciesprend la valeur setosaouvirginica;
— et la variableSepal.Lengthprend une valeur inférieure à 6.
On répondra à cette question de deux manières différentes
— en utilisant une boucle ;
— sans utiliser une boucle.
2. Quelle est le nombre de lignes de l’objetiris2(le nombre de colonnes doit être identique au nombre de colonnes deiris) ? Trier les individus deiris2par ordre croissant de la variable Sepal.Width.
Exercice 4 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées SUR LA COPIE.
On considère la suite de Syracuse définie pourn≥1 para1=aaveca∈N∗ et {
an+1=an/2sian est pair an+1= 3an+ 1sian est impair
On vérifie facilement que sia= 1alors la suite de Syracuse est cyclique et prend les valeurs (1,4,2,1,4,2,1, ....). La conjecture de Syracuse est l’hypothèse selon laquelle la suite de Syracuse associée à n’importe quelle valeur initialeaatteint la valeur1 à partir d’un certain rang. Après avoir atteint cette valeur, la suite prend alors les valeurs cycliques(...,1,4,2,1,4,2,1, ....). Par exemple poura= 10, on obtient la suite (10,5,16,8,4,2,1,4,2,1, ...). On propose de tester cette conjecture en utilisant R.
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1. Ecrire une fonction RnomméeSyracusequi calcule lesnpremiers de la suite de Syracuse avecnle plus petit entier tel quean= 1. Par exemple, la commande Syracuse(10) renverra les valeurs10,5,16,8,4,2,1. On donnera le code de la fonction sur la copie. On écrira cette fonction de telle manière à éviter les calculs inutiles.
2. Quelle est la suite de Syracuse pour a= 30?
3. Quel est plus petit entierntel que an = 1poura= 1000?
4. Ecrire un code qui vérifie si l’hypothèse de Syracuse est valide poura∈ {2, ...,105}.
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