UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE

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Licence EURIA

Analyse de données, TD1

On note

X =







x_1,1 · · · x_1,p ... . .. ... x_n,1 · · · x_n,p







un tableau des n observations desp variables. On noteraX_i,. la ième ligne du tableau (c’est à dire le ième individu) et X_.,j la jème colonne du tableau (c’est à dire la jème variable). On rappelle les définitions suivantes, pour j ∈ {1, ..., p}.

— x¯_j = _n¹Pn

i=1x_i,j est la moyenne empirique de la j^me variable.

— v_j =var(X_.,j) = ¹_nPn

i=1(x_i,j −x¯_j)² est la variance empiriquede la j^me variable.

— s_j =√

v_j est l’écart-type empirique de la j^me variable.

— v_j,k =cov(X_.,j, X_.,k) = _n¹Pn

i=1(x_i,j −x¯_j)(x_i,k −x¯_k) est la covariance empirique entre les variablesj et k.

— la matrice de covariance V est la matrice carré de dimension pqui contient les covariances empiriques V = (v_j,k)

— r_j,k =cor(X_.,j, X_.,k) = _s^vj,k

jsk est la corrélation empirique entre les variables j etk.

— la matrice de corrélation R est la matrice carré de dimension p qui contient les corrélations empiriques R= (r_j,k)

Exercice 1

1. Montrer quev_j = _n¹ Pn i=1x²_i,j

−(¯x_j)².

2. Montrer quex¯_j =argminµ∈R(F(µ)) avecF(µ) = Pn

i=1(x_i,j−µ)². Interprétation ?

3. On considère le tableau de donnéesY = (y_i,j)avec y_i,j =x_i,j −x¯_j. Calculer

¯

y_j etvar(Y ., j). On appelle Y le tableau de données centré. Pourquoi ? 4. On considère le tableau de donnéesZ = (z_i,j) avec z_i,j = (x_i,j−x¯_j)/s_j.

Calculer z¯_j etvar(Z., j). On appelle Z le tableau de données centré-réduit.

Pourquoi ?

5. Vérifier que V =Y⁰Y etR=Z⁰Z.

6. Vérifier que r_j,k = _kY^(Y.,j,Y.,k)

.,jkkY_.,kk = (Z_.,j, Z_.,k) avec(., .)le produit scalaire euclidien.

1

7. En déduire que r_j,k ∈[−1,1] avec les cas extrêmes

— si r_j,k = 1 alors il existe λ >0 tel que x_i,j =λx_i,k

— si rj,k =−1alors il existe λ <0 tel que xi,j =λxi,k

8. Proposer un exemple de couple de variables(X_.,1, X_.,2) tel que x_i,2 =f(x_i,1) avecf :R→R mais cor(X_.,1, X_.,2) = 0

Exercice 2

Soit v ∈R^p tel que kv k= 1 ety=Xv la nouvelle variable associée.

1. On pose w=U⁰v. Montrer quekwk= 1 2. Montrer quevar(y) =Pp

i,j=1v_iV_i,jv_j =Pp

i=1λ_iw²_i 3. En déduire que λ_p ≤var(y)≤λ₁

Exercice 3

1. Simuler un jeu de données X avecn = 100individus et p= 2 variables de telle manière que

— la première variable est simulée selon une loi N(0,1)

— la deuxième variable est simulée selon le modèle x_i,2 =x_i,2 +_i avec _i une réalisation d’un échantillon iid de la loi N(0,0.1).

Les variables seront centrées avant de continuer l’exercice.

2. Tracer le nuage de point. Caluler les vecteur propres u₁ etu₂ de la matrice de covariance et représenter les espaces vectoriels vect(u₁) etvect(u₂)sur la même figure.

3. Quelle est l’inertie totaleI du nuage de points ? Que vaut I_vect(u1)? Vérifier que I =I_vect(u1)+I_vect(u2).

4. Ecrire une fonction R Itheta=function(theta,X)qui calcule I_vect(uθ) avec uθ = (cos(θ), sin(θ))⁰.

5. Tracer la fonctionθ 7→I_vect(uθ) et vérifier que cette fonction atteint son maximum lorsque u_θ =u₁ et atteint son minimum lorsqueu_θ =u₂

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