UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2016-2017Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur la théorie de la crédibilité Mercredi 26 avril 2017
Notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Donner toutes les commandes R utilisées.
Exercice 1
SoitX etΘdeux variables aléatoires telles que
— Θsuit une loi Gamma de paramètresαetβ
— La loi conditionnelle deX sachant queΘ =θ est une loi Exponentielle de paramètreθ. Quelle est la loi deX? On démontrera le résultat.
Exercice 2
Deux urnes contiennent chacune une pièce de monnaie. La pièce dans l’urne A tombe sur face 40% des fois et celle dans l’urne B 80% des fois.
1. On lance la pièce de l’urne A en l’air cinq fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois face lors des cinq lancers ?
2. On choisit une urne au hasard (la probabilité de choisir l’urne A est la même que celle de choisir l’urne B) et on prend la pièce qui s’y trouve. On lance la pièce en l’air cinq fois.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois face lors des cinq lancers ?
3. On choisit une urne au hasard (la probabilité de choisir l’urne A est la même que celle de choisir l’urne B) et on prend la pièce qui s’y trouve. On lance la pièce en l’air cinq fois et elle retombe sur face une fois.
(a) Quelle est la probabilité que la pièce appartienne à l’urne A connaissant le résultat des cinq lancers ?
(b) Si on lance la pièce à cinq autres reprises, quel est le nombre espéré de fois que la pièce retombera sur face ?
4. Faire rapidement le lien avec la théorie de la crédibilité : à quel type de situation pourrait correspondre l’expérience précédente chez un assureur ?
Exercice 3
Année 1 2 3 4 5 Total
Contrat 1 10 0 10 0 10 30
Contrat 2 0 0 1 3 0 4
Contrat 3 0 0 2 0 0 2
Contrat 4 0 20 10 0 15 45
Contrat 5 0 0 0 0 2 2
Table1 – Sinistralité observée
Le tableau 1 donne le nombre de sinistres pour 5 assurés pendant 5 ans.
1. Peut-on supposer que le groupe d’assurés est homogène ? On répondra à l’aide d’un test statistique dont on précisera l’hypothèse testée ainsi que les hypothèses probabilistes sur lesquelles repose sa validité. On donnera les commandes R utilisées.
1
2. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 5 assurés du tableau à l’aide du modèle de crédibilité linéaire (modèle de Bühlmann). On rappellera rapidement (en quelques lignes) le principe de la méthode. Quel est la valeur du facteur de crédibilité ? Comment s’interprète ce paramètre ?
3. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 5 assurés du tableau à l’aide du modèle Exponentielle-Gamma. On rappellera rapidement (en quelques lignes) le principe de la méthode.
4. En utilisant le modèle de la question précédente, proposer une méthode permettant de simuler des sinistres pour chaque assuré pour l’année 6. On décrira l’algorithme et on donnera les codes R associés sur la copie. En déduire une estimation de la moyenne et de la variance de la sinistralité totale pour le portefeuille pour l’année 6.
2
