UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2014-2015Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur les valeurs extrêmes
Jeudi 18 décembre 2014
Durée : 2 heures.
Documents distribués en cours, notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Donner toutes les commandes R utilisées.
Exercice 1. (10 points)
Une variable aléatoireX suit une loi de Pareto de paramètreθ >0si sa fonction de répartition est donnée parF(x;θ) = 1−x−θpour x≥1.
1. Montrer queF(.;θ)définit bien une fonction de répartition. Quelle est la densité associée ? 2. Calculer le quantile d’ordrepde la loi de Pareto de paramètreθ. En déduire que siU suit
une loi uniforme sur l’intervalle[0,1]alors(U)−1θ suit une loi de Pareto de paramètre θ. A quoi cette propriété peut-elle servir ?
3. Montrer que siX suit une loi de Pareto de paramètreθalorsX−1 suit une loiGP Ddont on précisera les paramètres.
4. Montrer que le théorème de Fisher-Tippet s’applique à la loi de Pareto. Pourquoi dit-on que la loi de Pareto est une loi à queue lourde ?
5. Illustrer le résultat de la question précédente en utilisant des simulations sous R.On reproduire sur la copie toutes les commandes R utilisées.
6. Montrer que siX suit une loi de Pareto de paramètreθ alors la loi conditionnelle des excès au dessus d’un seuilu≥1suit une loiGP D
Exercice 2. (10 points)
Dans cet exercice on s’intéresse aux températures journalière à Rennes. Elles peuvent être chargées sous R avec les commandes
load(url("http ://pagesperso.univ-
brest.fr/simailliot/doc_cours/M1EURIA/extreme/datatemp.Rdata"))
z=data[,3] On reproduire sur la copie toutes les commandes R utilisées.
1. Quelle est la plus forte température observé à Rennes sur la période considérée ? A quelle date a-t-elle été observée ? Peut-on observer une tendance dans les extrêmes ?
2. Est-il réaliste de modéliser la distribution des températures par une loi normale ? On répondra à l’aide d’un graphique simple.
3. Modéliser la partie supérieure de la distributionz à l’aide de la méthode des maxima par blocs. On discutera notamment les points suivants :
— Choix de la taille des blocs.
— Intervalle de confiance pour les paramètres et interprétation.
— Validation de modèle : le modèle ajusté est-il adapté ? On répondra en reproduisant schématiquement un ou deux graphiques appropriés.
4. Modéliser la partie supérieure de la distribution dez à l’aide de la méthode des dépassements de seuil. On discutera notamment les points suivants :
1
— Choix du seuil.
— Intervalle de confiance pour les paramètres et interprétation.
— Validation de modèle : le modèle ajusté est-il adapté ? On répondra en reproduisant schématiquement un ou deux graphiques appropriés.
5. Rappeler la définition du niveau de retour.
(a) Expliciter comment cette quantité s’estime en utilisant la méthode des maxima par blocs et la méthode des dépassements de seuil.
(b) Donner une estimation de la température centenale ainsi qu’un intervalle de confiance à 95% pour cette quantité en utilisant la méthode des maxima par blocs puis la méthode des dépassements de seuil.
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