UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2012-2013Licence EURIA
Examen du jeudi 15 Novembre 2012 Durée : 2 heures
Exercice 1 Cet exercice est à réaliser en utilisant le tableur de votre choix. On reproduira schématiquement la feuille de calcul et les formules utilisées sur la copie.
Trouver une valeur approchée de x∈Rtel que ln(1 +x2) =exp(−x).
Exercice 2 Cet exercice est à réaliser en utilisant le tableur de votre choix. On reproduira schématiquement la feuille de calcul et les formules utilisées sur la copie.
Calculer les 20premières lignes du triangle de Pascal à l'aide de la formule de récurrence Cn+1k =Cnk−1+Cnk pourk ∈ {1...n} et les valeurs initialesCn0 = 1 et Cnk = 0 pour k > n.
On donnera les valeurs qui apparaissent sur la quinzième ligne du triangle de Pascal.
Exercice 3 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées.
Ecrire une fonction qui recherche la position du premier élément négatif dans un vecteur. Par exemple, pour le vecteur (1,3,6,−1,2), la fonction rendra la valeur 4. On écrira trois versions : une avec un boucle for, une avec une boucle while et une sans boucle. Pourquoi est-il préférable d'éviter les boucles avec R ?
Exercice 4 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées.
1. Tracer sur un même graphique le graphe de la fonction y= tan(x) en noir et la droite y =x en rouge. On restreindra la fenêtre graphique aux intervalles x∈[−10,10] ety∈[−15,15] et on donnera le titre "Graphe de la fonction tan et droite d'équation y=x" au graphique.
2. Combien de solutions a l'équation tan(x) = x sur l'intervalle x∈[−10,10]? On répondra en utilisant le graphique de la question précédente (il n'est pas demandé de faire une preuve mathématique). Donner une valeur approchée de ces diérentes racines en utilisant R.
3. Utiliser R pour donner une valeur approchée deR1 0
tan(x) x dx. 1
Exercice 5 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées.
Ecrire une fonction qui prend en entrée un nombre x et renvoie en sortie, selon le cas, un message d'erreur si xn'est pas un entier naturel
TRUE si x est un entier naturel divisible par 3
FALSE si x est un entier naturel qui n'est pas divisible par3
Exercice 6 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées.
La liste des entiers naturels strictement inférieurs à 10 et qui sont des multiples de 3 ou5 est(3,5,6,9). La somme de ces nombres est 23. Quelle est la somme des entiers naturels strictement inférieurs à 1000 et qui sont des multiples de 3ou 5?
Exercice 7 Cet exercice est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les commandes R utilisées.
2520 est le plus petit entier divisible par tous les entiers compris entre 1et 10. Ecrire un programme permettant de vérier ce résultat. Quel est le plus petit entier divisible par tous les entiers compris entre 1 et20?
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