UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2015-2016Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur les valeurs extrêmes
Jeudi 17 décembre 2015
Durée : 2 heures.
Documents distribués en cours, notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Donner toutes les commandes R utilisées.
Exercice 1 (7 points). Dans cet exerciceX désigne une variable aléatoire dont la fonction de répartition est dénie par
F(x) =exp(−x2)1l]−∞,0[(x) +1l[0,∞[(x).
1. Montrer queX suit une loi GEV dont on précisera les paramètres. Donner la densité de la loiX. Quel est le support de la loi ?
2. Dans la suite de l'exercice(X1, ..., Xn)désigne un échantillon i.i.d. de même loi queX. Montrer queMn=max(X1, ..., Xn)suit une loi GEV dont on précisera les paramètres. En déduire que le théorème de Fisher-Tippett s'applique à la loi considérée dans cet exercice.
3. Donner la fonction de répartition de la loi des excès au dessus d'un seuilu.
4. Donner un équivalent de l'expression obtenue dans la question précédente lorsque u→0 avecu <0et montrer qu'on retrouve la fonction de répartition d'une loi GPD. Comment peut-on interpréter ce résultat ?
Exercice 2 (8 points). Dans cet exercice on s'intéresse aux données disponibles dans le chier pluie.csv. Il contient 2 colonnes : la première décrit la date et la deuxième la quantité de pluie journalière mesurée (en mm) dans une station météorologique près de Brest.
Le jeu de données contient une valeur manquante (NA) à la ligne 9445. Si cette valeur pose problème on pourra remplacer le NA par la valeur 0.
On reproduira sur la copie toutes les commandes R utilisées.
1. Combien d'années d'observations sont disponibles dans le jeu de données ? Combien d'observations sont disponibles chaque année ? Quelle est la plus forte valeur observée sur la période considérée ? A quelle date a-t-elle été observée ? Pouvez-vous imaginer des applications qui nécessitent la modélisation des précipitations extrêmes ?
2. Modéliser la partie supérieure de la distribution à l'aide de la méthode des maxima par blocs. On discutera notamment les points suivants :
Choix de la taille des blocs.
Intervalle de conance pour les paramètres et interprétation.
Validation de modèle : le modèle ajusté est-il adapté ? On répondra en reproduisant schématiquement un ou deux graphiques appropriés.
3. Modéliser la partie supérieure de la distribution à l'aide de la méthode des dépassements de seuil. On discutera notamment les points suivants :
Choix du seuil.
Intervalle de conance pour les paramètres et interprétation.
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Validation de modèle : le modèle ajusté est-il adapté ? On répondra en reproduisant schématiquement un ou deux graphiques appropriés.
4. Donner une estimation de la précipitation centenale ainsi qu'un intervalle de conance à 95% pour cette quantité en utilisant la méthode des maxima par blocs puis la méthode des dépassements de seuil. Comment s'interprète cette valeur ?
Exercice 3 (5 points). Une variable aléatoireY suit une loi log-normale standard si Y =exp(X)avecX∼ N(0,1).
On reproduira sur la copie toutes les commandes R utilisées.
1. Donner un code R permettant de simuler une réalisation(y1, ..., yn)d'une échantillon i.i.d.
de la loi log-normale standard.
2. Mettre en évidence à l'aide d'une simulation numérique et d'un graphique simple que la loi log-normale standard a une queue supérieure plus lourde que la loiN(0,1).
3. Montrer à l'aide d'une simulation numérique que la loi log-normale appartient au domaine d'attraction de la loi de Gumbel.
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