UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2018-2019Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur les valeurs extrêmes.
Mardi 18 décembre 2018.
Durée : 2 heures.
Documents distribués en cours, notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Donner toutes les commandes R utilisées sur la copie.
Exercice 1.On dit qu’un échantillon i.i.d. de variables aléatoires réelles(X1, ..., Xn)provient d’une loi max-stable si, pour toutn∈N, il existe des constantes réellesan et bn telles que Mna−bn suit la même loi queX1, avecMn=max(X1, ..., Xn). n
1. Montrer qu’un échantillon d’une loi GEV est max-stable et expliciteran et bn en fonction des paramètres de la loi GEV.
2. En déduire que le théorème de Fisher-Tippett s’applique à la loiGEV.
Exercice 2. N’oubliez pas de donner toutes les commandes R utilisées, ainsi que les résultats (graphiques, valeurs numériques), sur la copie. Aucun code ne sera rendu à la fin de l’examen !
Soit(X1, ..., Xn, ...)une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur[0,1].
1. D’après le théorème central limite, on sait qu’il existe des constantes réelles an etbn telles que X¯na−bn
n converge en loi vers une loi normale, avecX¯n= n1∑n
i=1Xi. Après avoir explicité an etbn, illustrer ce résultat en utilisant des simulations réalisées avec R.
2. Montrer qu’il existe des suite réelles an etbn telles que Mna−bn
n converge en loi vers une loi non-dégénérée, avec Mn=max(X1, ..., Xn). Après avoir explicitéan etbn ainsi que la loi limite, illustrer ce résultat en utilisant des simulations réalisées avec R.
3. Expliciter la loi des dépassements d’un seuilupour la loi uniforme sur[0,1]. Illustrer ce résultat en utilisant des simulations réalisées avec R.
Exercice 3. N’oubliez pas de donner toutes les commandes R utilisées, ainsi que les résultats (graphiques, valeurs numériques), sur la copie. Aucun code ne sera rendu à la fin de l’examen !
On considère la série de températures journalières maximum à Brest depuis 1945 (les données ont été envoyées avant l’examen, contactez le surveillant si vous n’avez pas le jeu de données).
1. Décrire rapidement les données.
(a) Quelle est la température maximale observée à Brest ? A quelle date ? Peut-on observer visuellement une tendance (liée par exemple au réchauffement climatique) dans la distribution des extrêmes de température ?
(b) Peut-on les modéliser la distribution des températures à Brest par une loi normale ? On discutera notamment la qualité de l’ajustement gaussien en ce qui concerne les queues (inférieure et supérieure) de la distribution.
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2. Analyser la partie supérieure de la distribution à l’aide de la méthode des maxima par blocs. On décrira précisément la démarche utilisée, on donnera les commandes Rutilisées et on discutera les résultats obtenus. L’évaluation portera notamment sur cette discussion.
3. Proposer une estimation de la température centenale à Brest avec un intervalle de confiance à 95% en utilisant la méthode des maxima par blocs. On rappellera rapidement comment cette quantité est définie et peut se calculer à partir des résultats obtenus dans la question précédente.
4. Analyser la partie supérieure de la distribution à l’aide de la méthode des dépassements de seuil. On décrira précisément la démarche utilisée, on donnera les commandesR utilisées et on discutera les résultats obtenus. L’évaluation portera notamment sur cette discussion.
5. Proposer une estimation de la température centenale à Brest avec un intervalle de
confiance à 95% en utilisant la méthode des dépassements de seuil. On rappellera comment cette quantité peut se calculer à partir des résultats obtenus dans la question précédente.
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