UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2015-2016Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur la théorie de la crédibilité Mardi 19 avril 2016
Notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Exercice 1 (10 points)
Un portefeuille d'assurance est composé de 25 % de bons risques (groupe 1), 60 % de risques moyens (groupe 2) et 15 % de mauvais risques (groupe 3). Tous les risques ont une distribution de sinistres de type gamma, mais dont les paramètresαk et βk dièrent selon le tableau ci-dessous.
Groupe Proportionπk αk βk
k= 1 0.25 4 0.5
k= 2 0.6 4 1
k= 3 0.15 10 0.5
Table 1 Composition du portefeuille pour l'exercice 1.
Un dossier choisi au hasard dans le portefeuille indique des sinistres de 2 et 1 au cours des deux premières années. L'objectif de cet exercice est de calculer la prime de ce dossier pour la troisième année.
On suppose que les hypothèses du cours de crédibilité sont valides et on utilise les mêmes notations :Xi,j à valeurs dansR+ désigne les sinistres pour l'assuré il'annéej et Θi à valeurs dans{1,2,3}le prol de risque de l'assuréi. On rappelle que la moyenne et la variance d'une loi gamma de paramètresαetβ sont données respectivement par αβ etαβ2.
1. Dans cette question on considère le modèle de crédibilité bayésienne.
(a) Calculer la prime a priori du portefeuille décrit dans le tableau 1.
(b) Montrer que la prime a posteriori pour l'annéen+ 1est donnée par
E[Xi,n+1|Xi,1=xi,1, ..., Xi,n=xi,n] =
∑3
k=1
E[Xi,n+1|Θi=k]p(Θi=k|Xi,1=xi,1, ..., Xi,n=xi,n)
(c) Calculer la prime a posteriori pour la troisième année pour le dossier particulier qui a été choisi au hasard (xi,1= 2et xi,2= 1). On pourra utiliser la formule de la question précédente.
2. Dans cette question on considère le modèle de crédibilité linéaire.
(a) Montrer queE[Xi,j|Θi] =∑3
k=1αkβk1l(Θi=k).
(b) Calculer M2=var(E[Xi,j|Θi])pour le portefeuille décrit dans le tableau 1.
(c) CalculerΣ2=E[(Xi,j−E[Xi,j|Θi])2]pour le portefeuille décrit dans le tableau 1.
(d) En déduire le facteur de crédibilité linéaire puis la prime de crédibilité linéaire pour la troisième année pour le dossier particulier qui a été choisi au hasard (xi,1= 2et xi,2= 1).
Exercice 2 (10 points)
Le tableau 2 donne le nombre de sinistres pour 3 assurés pendant 6 ans.
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Année 1 2 3 4 5 6 Contrat 1 0 1 2 1 2 0 Contrat 2 3 8 2 1 4 4 Contrat 3 3 3 2 1 2 1 Table 2 Sinistralité observée
1. Peut-on supposer que le portefeuille est homogène ? On répondra à l'aide d'un test statistique.
2. Donner une estimation de la prime pour l'année 7 pour les 3 assurés du tableau à l'aide du modèle de crédibilité linéaire. On donnera le facteur de crédibilité et les primes sur la copie (les codes R ne sont pas demandés).
3. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 3 assurés du tableau à l'aide du modèle Binomial-Négatif. On donnera le facteur de crédibilité et les primes sur la copie (les codes R ne sont pas demandés).
4. En utilisant le modèle de la question précédente, proposer une méthode permettant de simuler des sinistres pour chaque assuré pour l'année 7. On décrira l'algorithme et on donnera les codes R associés sur la copie. En déduire une estimation de la moyenne et de la variance de la sinistralité totale pour le portefeuille pour l'année 7.
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