Université Félix-Houphouët-Boigny
Année 2019-2020Master 1ère ANNEE
Théorie de la crédibilité
Exercice 1
Le tableau ci-dessous décrit le montant des sinistres pour10contrats pendant10ans.
Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Contrat 1 0 0 10 0 0 0 0 5 0 0 15
Contrat 2 15 0 0 12 0 0 5 10 0 0 42
Contrat 3 0 0 2 0 0 0 3 0 5 0 10
Contrat 4 0 20 0 0 15 0 0 25 0 0 60
Contrat 5 0 0 0 0 5 0 0 10 0 0 15
Contrat 6 0 0 0 3 0 0 2 0 0 5 10
Contrat 7 5 0 0 0 2 0 5 0 0 0 12
Contrat 8 0 30 0 15 0 0 20 0 0 20 85
Contrat 9 0 0 2 0 0 0 5 0 2 0 9
Contrat 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 10
Table1 – Sinistralité observée
1. Vérifier à l’aide d’une analyse de la variance à un facteur si on peut supposer que le portefeuille est homogène.
2. Dans cette question, on considère le modèle Exponentielle-Gamma avec les notations du cours.
(a) Exprimer l’espéranceE[Xi,j]et la variancevar(Xi,j)de la loi a priori en fonction des paramètresαetβ de la loi gamma.
(b) Inverser les relations précédentes pour exprimerαetβ en fonction deE[Xi,j] et var(Xi,j).
(c) Proposer une estimation deαetβ en utilisant la méthode des moments (c’est à dire en remplaçantE[Xi,j]et var(Xi,j)par leurs estimateurs usuels dans la relation de la question précédente).
(d) En déduire une estimation de la prime a posteriori pour les10assurés du tableau 1.
(e) Comparer la loi GPD ajustée à la loi des observations à l’aide d’un graphique simple et discuter.
3. Ecrire un code R qui permet de simulernannées de sinistre pourpassurés. Le résultat sera stocké dans un tableau de dimensionpparn. On prendra les valeursαetβ estimées dans la question précédente.
(a) Calculer la prime collective E[Xi,j]en utilisant une méthode de Monte Carlo et retrouver le résultat obtenu par le calcul.
(b) Vérifier que la loi marginale de Xi, j est une loi GPD à l’aide d’un graphique simple.
4. Dans cette question, on considère le modèle de crédibilité linéaire avec les notations du cours.
(a) Donner une estimation deµ,ΣetM.
(b) En déduire une estimation de la prime a posteriori pour les 10 assurés du tableau 1
1
Exercice 2
Un portefeuille d’assurance automobile est composé de75%de bons conducteurs et de25%de mauvais conducteurs. Les bons conducteurs ont une probabilité de1/15d’avoir un accident, alors que la probabilité est de1/10pour les mauvais conducteurs. On suppose que le coût d’un accident est de1000et qu’au plus un accident peut survenir dans une année.
1. On choisit un assuré au hasard. Quelle est la probabilité que cet assuré ait un accident dans l’année qui suit ? Quelle est la prime pure de cet assuré la première année ? 2. L’assuré choisi dans la question précédente a eu un accident dans la première année.
Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un bon conducteur ? Quelle est la prime pure de cet assuré pour la seconde année ?
Exercice 3
Dans un portefeuille se côtoient trois types de conducteur A, B et C. Les conducteurs de type A représentent la moitié du portefeuille et ceux de type B le tiers. Le nombre annuel de sinistre pour chaque type de conducteur est donné dans le tableau 2.
Un assuré pris au hasard a eu un sinistre la première année. Calculer l’espérance du nombre de sinistres pour la deuxième année.
Groupe P[Xi,t= 0|Groupe] P[Xi,t= 1|Groupe] P[Xi,t= 2|Groupe] P[Xi,t= 3|Groupe] P[Xi,t= 4|Groupe]
A 1/3 1/3 1/3
B 1/6 2/3 1/6
C 1/6 2/3 1/6
Table 2 – Nombre annuel de sinistres pour chaque groupe de conducteur Exercice 4
Le tableau 3 donne le nombre de sinistres pour 10 assurés sur 10 ans.
1. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 10 assurés du tableau à l’aide du modèle de Bühlmann.
2. Donner une estimation de la prime a posteriori pour les 10 assurés du tableau à l’aide du modèle Binomiale négatif. On utilisera une méthode similaire à celle de l’exercice 1 pour estimer les paramètres du modèle (on pourra utiliser que si X suit une loi binomiale négative de paramètres γ >0 etπ∈]0,1[alorsE[X] =γ(1π−π) et var(X) =γ(1π−2π)) et on vérifiera l’adéquation de la loi a priori à une loi Binomiale négative.
3. Comparer les facteurs de crédibilité des deux questions précédentes.
Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Contrat 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 0 4
Contrat 2 0 1 0 1 1 0 1 2 0 0 6
Contrat 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
Contrat 4 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2
Contrat 5 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 4
Contrat 6 2 0 2 1 0 0 2 2 0 2 11
Contrat 7 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3
Contrat 8 0 1 0 2 2 0 1 0 0 3 9
Contrat 9 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 4
Contrat 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
Table3 – Sinistralité observée
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