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Estimation d’erreur a posteriori sur la réponse forcéeSauf erreur, je ne me trompe jamais.
(N. Sarkozy)
Résumé. À partir des méthodes de calcul du champ de vitesses exposées au chapitre 4, il est possible de développer deux estimateurs d’erreur en semi-norme H1. Le premier est basé sur la méthode de lissage superconvergent par groupe d’éléments, il consiste simplement à substituer dans le calcul d’erreur la champ de vitesses exact par le champ de vitesses lissé. Le deuxième consiste à définir une erreur par le résidu en la relation pression-vitesses, seule relation non satisfaite a priori par les grandeurs admissibles définies au chapitre 4. Au cours de ce chapitre, nous démontrons la relation qui lie les erreurs exacte et en champs admissibles et montrons que dans le cadre de l’acoustique, l’erreur en champs admissibles est asymptotiquement une borne supérieure de l’erreur exacte. Par contre, à nombres d’onde élevés, pour des maillages courants, cette propriété n’est pas satisfaite à cause de la k-singularité.
Ce chapitre définit également les indicateurs de qualité des estimateurs d’erreur a posteriori parmi lesquels nous utiliserons essentiellement l’indice d’efficacité défini par le rapport de l’erreur estimée à l’erreur exacte.
Les tests numériques montrent que les estimateurs d’erreur a posteriori que nous avons développés sont fiables avec des comportements similaires à ceux obtenus pour un opérateur de Laplace. Par contre, à nombres d’onde élevés, s’ils restent convergents, les estimateurs d’erreur ne sont pas fiables car ils estiment uniquement l’erreur d’approximation polynomiale, c’est-à-dire l’erreur sur l’interpolant, et ne permettent pas d’estimer l’erreur de pollution qui est prépondérante.
5.1 Introduction
Nous avons vu (paragraphe 2.3) que le calcul de la réponse harmonique forcée conduit à un problème elliptique uniquement lorsque la fréquence d’excitation est inférieure à la première fréquence propre. Or, la plupart des estimateurs d’erreur a posteriori ont été développés et investigués le plus souvent pour des problèmes purement elliptiques. Il se pose alors le problème du choix d’une méthode qui puisse s’adapter au cas de l’estimation d’erreur sur la réponse forcée. Les estimateurs d’erreur a posteriori disponibles dans la littérature sont essentiellement basés sur trois méthodes
1) méthodes de lissage. Dans cette catégorie se trouvent évidemment toutes les méthodes de lissage décrites au chapitre 4 parmi lesquelles nous nous proposons d’investiguer l’estimateur SPR et ses variantes. En effet, la non fiabilité des méthodes de lissage par moyenne ou de Hinton et Campbell pour obtenir une estimation d’erreur est maintenant avérée [ZIE92/1, DEW93]. Malgré cela, on trouve encore des utilisations hasardeuses de telles techniques, tel CATIA [DAS97] qui met à la disposition de l’utilisateur un champ de contraintes lissé dans le domaine intérieur par une technique de moyenne pondérée ou ANSYS [TET96] dont les auteurs testent avec succès la méthode de Hinton et Campbell sur des éléments linéaires et omettent de traiter les éléments quadratiques pour lesquels on sait que la méthode ne converge pas [DEW93, STR92/1, STR92/2].
I. Babuska et al. montrent numériquement que l’estimateur d’erreur en lissage superconvergent par groupe d’éléments (SPR) dû à Zienkiewicz et Zhu [ZIE92/1] est le plus fiable pour les noeuds internes [BAB93, BAB94/1, BAB94/2]. Par contre, ils observent également que l’estimation se détériore le long de la frontière. Nous nous proposons alors de suivre la stratégie proposée par N.-E. Wiberg et al. [WIB93/1] et d’incorporer dans la formulation du lissage les résidus d’équilibre (méthodes SPREB, paragraphe 4.4). Enfin, remarquons que la méthode SPR présente les énormes avantages de pouvoir s’appliquer aisément aux maillages quelconques 2D et 3D comme le montrent les tables 4.1 à 4.5, et d’avoir fait l’objet de nombreuses études numériques illustrant ses bonnes performances. Il existe par contre peu de résultats théoriques permettant de garantir la robustesse de la méthode SPR. À l’exception d’une démonstration pour des problèmes unidimensionnels et en postulant la superconvergence [ZHA95], il n’existe pas de démonstrations mathématiques.
2) méthodes des résidus. Principalement développées par I. Babuska et al., ces estimateurs se comportent numériquement comme les estimateurs par lissage [ZHU90, BAB96/1]. Ils présentent l’avantage d’être mathématiquement bien posés. Toutefois, ils sont plus coûteux que les précédents et moins généraux, nous n’investiguerons donc pas d’estimateur de ce type,
3) méthodes de résolution de problèmes locaux. Dans cette catégorie, nous rangeons notamment l’erreur en loi de comportement due à P. Ladevèze, basée sur la construction de champs admissibles [LAD75]. Cette méthode présente les avantages de s’appliquer à tous les types de problèmes (élasticité linéaire [ROU89, PEL93, COO94, COO95] et non linéaire [LAD92, GAL95, GAL96], dynamique des structures [COO92, COO93] et calcul des valeurs propres [LAD84, LAD89], thermique [LAD83], acoustique [BOU96/3, BOU96/4, BOU97/1], etc.) et, dans le cadre restreint de l’élasticité linéaire, il est possible de montrer que l’erreur en loi de comportement borne supérieurement l’erreur exacte en norme énergie. Nous avons déjà exposé comment construire les champs admissibles (paragraphe 4.6), ce chapitre montre
comment en déduire une mesure de l’erreur et quel est le lien entre cette grandeur et l’erreur en semi-norme H1.
Notons qu’une excellente synthèse a été récemment publiée par M. Ainsworth et al. [AIN97].
Au cours de ce chapitre, nous illustrons surtout que l’efficacité des estimateurs a posteriori est limitée aux faibles nombres d'onde (adimensionnels) et l’extension des méthodes développées par ailleurs ne permet pas de traiter les spécificités de l’acoustique. En effet, nous avons montré l’existence de deux singularités globales
1) la k-singularité. Nous avons établi mathématiquement l’existence de la pollution qui se manifeste par un déphasage entre l’onde exacte et l’onde éléments finis. Pour des éléments finis de degré p, nous avons rappelé que
p - ph 1
p 1 ≤ C1 Θ + C2 κ Θ2
(5.1) où
Θ = κh p
p
(5.2) La relation (5.1) décompose l’erreur relative (en semi-norme H1) en erreur d’approximation (terme en Θ) et en erreur de pollution (terme en Θ2). Ce chapitre montre que les estimateurs d’erreur estiment correctement le premier terme mais ignorent le second. À faibles nombres d'onde (κ < 1), la pollution est négligeable et les estimateurs d’erreur sont fiables. Par contre, aux nombres d'onde plus élevés (κ > 1), les estimateurs conduisent à une sous-estimation de l’erreur, leur efficacité décroissant lorsque le nombre d'onde augmente,
2) la λ-singularité. Nous avons montré (paragraphe 3.9) que l’existence de fréquences propres associées à des problèmes intérieurs non amortis conduit à des valeurs de l’erreur infinies. Nous verrons au cours de chapitre (paragraphe 5.5.3) que l’estimation d’erreur est de mauvaise qualité lorsque la fréquence d’excitation est proche d’une fréquence propre.
5.2 Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses
Toutes les méthodes de lissage du champ de vitesses peuvent conduire à une estimation de l’erreur exacte en semi-norme H1 (3.24)qui sera notée de manière équivalente par la norme L2 sur le champ de vitesses, dans un souci d’alléger les notations. On a, si l’on note v* le champ lissé,
v - vh 0 ≈ v* - vh 0 (5.3)
où
v* - vh 02 = v* - vh t v* - vh dΩ
Ω (5.4)
Le champ de vitesses exact v de l’erreur exacte (3.24) a donc été remplacé par le champ lissé v*. La qualité de l’estimation dépend donc exclusivement de la qualité du champ lissé.
Il convient également d’estimer l’erreur relative. Ne disposant pas de l’énergie de la solution exacte, nous faisons l’approximation suivante
v - vh 0
v 0 ≈ v* - vh 0
v* 0 (5.5)
Toutefois, dans cette définition, le dénominateur peut s’annuler lorsque les normes sont évaluées au niveau élémentaire (la solution lissée peut être nulle dans un élément) sans que l’erreur relative élémentaire soit nécessairement grande. Pour contourner cet écueil, il est communément admis d‘estimer l’erreur relative par l’expression [ZIE87, ZHO91]
v - vh 0
v 0 ≈ v* - vh 0
v* 02 + v* - vh 02 (5.6)
5.3 Erreur en champs admissibles
5.3.1 Solutions exacte, éléments finis et admissible
Avant d’exposer les principes du calcul d’erreur en champs admissibles, il est nécessaire d’avoir toujours à l’esprit les concepts de solutions exacte, éléments finis et admissible (paragraphe 4.6). En particulier, nous résumons dans la table 5.1 les équations de la formulation forte du problème modèle général et la manière dont chaque solution y satisfait.
RESPECT DES ÉQUATIONS formulation forte du problème continu
¬ ¬ ¬ exact p,v
élém. finis ph, vh
admissible p, v Équation de Helmholtz dans Ω
-jρck ∇tv + k2p = 0 OUI NON OUI
C.L. Dirichlet sur ΓD
p = p OUI OUI OUI
C.L. Neumann sur ΓN
ntv= vn OUI NON OUI
C.L. Robin sur ΓR
ntv= An p OUI NON OUI
Relation pression-vitesses v = -1
jρck ∇p OUI OUI NON
Table 5.1. Formulation forte du problème continu et respect des équations
5.3.2 Définition de l’erreur en champs admissibles
Le principe du calcul d’erreur en champs admissibles consiste à construire un couple p, v admissible tel que le champ de pression admissible p respecte les conditions aux limites de Dirichlet sur ΓD, le champ de vitesses admissible v respecte l'équation de Helmholtz dans Ω et les conditions aux limites de Neumann sur ΓN et le couple admissible p, v respecte les conditions aux limites de Robin sur ΓR. Par contre, la relation pression-vitesses n'est pas satisfaite a priori et il en résulte une mesure de l’erreur portant sur la non satisfaction de la relation pression-vitesses (table 5.1)
v + 1 jρck ∇p
0
2 = v t
- 1
jρck ∇tp v + 1
jρck ∇p dΩ
Ω (5.7)
Dans cette définition, nous tenons compte du fait que le complexe conjugué du produit de deux variables complexes est égal au produit des complexes conjugués de ces variables (x y = x y). Remarquons déjà que si l’erreur en champs admissibles est nulle, la solution admissible est exacte, ce qui est une propriété importante dont les estimateurs de type lissage par exemple ne jouissent pas.
L’erreur relative en champ admissible est alors définie par la rapport [PEL93]
η =
v + 1 jρck ∇p
0 2
v - 1 jρck ∇p
0 2
(5.8) qui ne peut pas être relié à la définition classique (3.26) de l’erreur relative exacte.
5.3.3 Lien entre l’erreur en champs admissibles et l’erreur en semi-norme H1
Un avantage majeur de l’erreur en loi de comportement définie pour des problèmes d’élasticité linéaire est qu’elle fournit théoriquement une borne supérieure de l’erreur exacte en norme énergie. Cette propriété remarquable avait déjà été énoncée par Präger et Synge [PRA47] qui en donnent une interprétation géométrique dans un espace des contraintes (connue depuis sous le nom d’hypercercle de Präger et Synge) mais qui ne proposent pas de méthode pour construire les champs admissibles. C’est véritablement P. Ladevèze qui a donné une impulsion déterminante à cette méthode [LAD75] en mettant au point des méthodes locales de construction des champs admissibles (paragraphe 4.6).
Il convient, dans le cadre de l’acoustique, de relier les erreurs en champs admissibles et en semi-norme H1 de manière à voir si la propriété de borne supérieure s’y applique également. Malheureusement, nous verrons qu’il n’en est rien, la présence de pollution annihilant cette propriété.
La démonstration est valable quel que soit le couple admissible p, v. Néanmoins pour alléger l’écriture, nous noterons
v + 1 jρck ∇p
0
2 = v - vh 02
(5.9) ce qui suppose
p = ph (5.10)
hypothèse qui n’est pas nécessaire pour la validité de la démonstration.
Théorème
L’erreur en champs admissibles et l’erreur en semi-norme H1 sont reliées par la relation v - vh 02 = v - v 02 + v - vh 02 - 2
ρ2 c2
p - ph 02
erreur en champs admissibles
erreur sur le champ admissible en semi-norme H1
erreur exacte en semi-norme H1
erreur exacte en norme L2
(5.11) Démonstration
Nous partons de la définition (5.7) de l'erreur en champs admissibles et mènerons la démonstration avec les notations usuelles du produit scalaire (annexe 9.3).
v - vh 02 = < v - 1
jρck ∇p , v + 1 jρck ∇p >
(5.12) Commençons la démonstration par un artifice de calcul faisant apparaître la solution exacte
v - vh 02 = < v - v + v - 1
jρck ∇p , v - v + v + 1
jρck ∇p >
(5.13) Comme la solution exacte v respecte la relation pression-vitesses (table 5.1), il vient
v - vh 02 = < v - v + 1
jρck ∇(p -p ) , v - v - 1
jρck ∇(p -p ) >
(5.14) Le produit scalaire étant un opérateur bilinéaire (sesquilinéaire en fait, annexe 9.3), on a immédiatement
v - vh 02 = < v - v , v - v > + < 1
jρck ∇(p -p ) , -1
jρck ∇(p -p ) >
- 1
jρck < v - v , ∇(p -p ) > + 1
jρck < ∇(p -p ) , v - v >
(5.15) Les deux derniers termes de (5.15) peuvent être développés par intégration par parties et application du théorème de Gauss
< v - v , ∇(p -p ) > = Ω
v - v
t ∇(p -p ) dΩ
= nt v - v p - p dΓ Γ
- ∇t v - v p - p dΩ
Ω (5.16)
Le premier terme du second membre de (5.16) se décompose en nt v - v p - p dΓ
Γ
= nt v - v p - p dΓ ΓD
+ ... dΓ ΓN
+ ... dΓ
ΓR (5.17)
L'intégrale étendue à ΓD s'annule car p et p respectent les conditions aux limites de Dirichlet (2.22). De même l'intégrale étendue à ΓN s'annule car v et v respectent les conditions aux limites de Neumann (2.30). Par contre, le dernier terme s'écrit, en tenant compte des conditions aux limites de Robin (2.31)
nt v - v p - p dΓ ΓR
= An p - p p - p dΓ ΓR
= - An p - p p - p dΓ
ΓR (5.18)
Le dernier terme du second membre de (5.16) se transforme en tenant compte de l'équation de Helmholtz sous la forme (2.18)
∇t v - v p - p dΩ Ω
= - k
jρc p - p p - p dΩ Ω
= + k
jρc p - p p - p dΩ
Ω (5.19)
De sorte que
< v - v , ∇ p - p > = - An p - p p - p dΓ ΓR
- k
jρc p - p p - p dΩ
Ω (5.20)
De même, le dernier terme de (5.15) s'écrit
<∇(p - p ),v - v> = ∇t(p - p ) v - v dΩ Ω
= p - p nt v - v dΓ Γ
- p - p ∇t v - v dΩ
Ω (5.21)
Le premier terme du second membre de (5.21) se décompose en p - p nt v - v dΓ
Γ
= p - p nt v - v dΓ ΓD
+ ... dΓ ΓN
+ ... dΓ
ΓR (5.22) L'intégrale étendue à ΓD s'annule car p et p respectent les conditions aux limites de Dirichlet (2.22). De même l'intégrale étendue à ΓN s'annule car v et v respectent les conditions aux limites de Neumann (2.30). Par contre, le dernier terme s'écrit, en tenant compte des conditions aux limites de Robin (2.31)
p - p nt v - v dΓ ΓR
= p - p An p - p dΓ ΓR
= - An p - p p - p dΓ
ΓR (5.23)
Le deuxième terme du second membre de (5.21) se transforme en tenant compte de l'équation de Helmholtz (2.18),
p - p ∇t v - v dΩ Ω
= + k
jρc p - p p - p dΩ Ω
= - k
jρc p - p p - p dΩ
Ω (5.24)
De sorte que,
< ∇ p - p , v - v > = - An p - p p - p dΓ ΓR
+ k
jρc p - p p - p dΩ
Ω (5.25)
Enfin, il vient, en tenant compte de (5.20) et (5.25) dans (5.15) v - vh 02 = < v - v , v - v > + < 1
jρck ∇(p -p ) , -1
jρck ∇(p -p ) >
- 2 ρ2c2
p - p p - p dΩ
Ω (5.26)
Si nous considérons le cas où p = ph, nous obtenons le résultat (5.11) annoncé : v - vh 02 = v - v 02 + v - vh 02 - 2
ρ2 c2
p - ph 02
(5.27) Les conséquences de ce théorème sont
1) le calcul d’erreur en champs admissibles est asymptotiquement (h∅0) une borne supérieure de l’erreur exacte car les ordres de convergence asymptotiques de chacun des termes sont respectivement
v - vh 0 = o(hp) v - v 0 = o(hp)
v - vh 0 = o(hp) p - ph 0 = o(hp+1) (5.28) 2) pour les maillages courants, la propriété de borne supérieure peut être violée par la
présence du terme d’erreur en norme L2 sur la pression. En effet, au contraire de l’élasticité par exemple, l’erreur en norme L2 n’est pas négligeable devant l’erreur en semi-norme H1. Nous avons déjà illustré numériquement cette propriété à la figure 3.19. La figure 5.1 en donne une autre illustration numérique pour le problème modèle 2 en traçant la contribution de chaque terme de la relation (5.27) à l’erreur en champs admissibles. On constate que l’erreur en norme L2 p - ph 0
est négligeable devant l’erreur en semi-norme H1 v - vh 0 à faible nombre d’onde, mais très vite, si l’on fait abstraction de l’influence de la λ-singularité, l’erreur en norme L2 tend à devenir du même ordre de grandeur que l’erreur en semi-norme H1. On en déduit que la propriété de borne supérieure se détériorera jusqu’à être violée lorsque le nombre d'onde augmente, ce qui sera également illustré par les tests numériques (paragraphe 5.5)
0%
50%
100%
150%
200%
250%
300%
0 5 10 15 20
v-v 02 v-vh 02
C p -ph 02
κ proportion
d'erreur
figure 5.1. Problème modèle 2 : contribution à l’erreur en champs admissibles en fonction du nombre d’onde (éléments triangulaires, p=1, h=0.05 m)
5.4 Qualité des estimateurs d’erreur
5.4.1 Indice d’efficacité
Plusieurs indices de qualité des estimateurs ont été publiés dans la littérature parmi lesquels l’indice d’efficacité fait l’unanimité. Il est défini par le rapport de l’erreur estimée à l’erreur exacte. Pour l’estimateur SPR, il s’écrit
θ = v* - vh 0
v - vh 0 (5.29)
et pour l’erreur en champs admissibles, il s’écrit
θ =
v + 1 jρck ∇p
0
v - vh 0 (5.30)
L’indice d’efficacité peut être calculé globalement ou au niveau élémentaire. L’estimateur d’erreur sera dit efficace si son indice d’efficacité est compris entre 0.8 et 1.2
0.8 ≤ θ≤ 1.2 (5.31)
Il est asymptotiquement efficace, ou convergent, si son indice d’efficacité tend vers l’unité en même temps que la solution éléments finis tend vers la solution exacte
h→0lim θ = 1
(5.32)
5.4.2 Autres indices
D’autres indices ont parfois été définis. L’indice d’efficacité calculé globalement traduisant une moyenne, on peut définir un indice de type écart-type qui traduit l’étalement de l’indice d’efficacité élémentaire θτ par rapport à l’indice d’efficacité global [ZH091, WAR93/2]
SD2 = 1
#Th
θ - θτ 2 τ∈ Th
(5.33) où θ désigne la moyenne arithmétique des indices d’efficacité élémentaires. Dans son étude très détaillée sur la fiabilité des estimateurs d’erreur a posteriori sur les maillages périodiques de triangles, C. S.
Upadhyay [UPA97] préfère quant à lui définir deux indices correspondant aux bornes supérieure et inférieure de l’indice d’efficacité élémentaire variant avec des paramètres géométrique (motifs élémentaires), matériel (coefficient de Poisson) et régularité de la solution,
CU = max θτ (5.34)
CL = min θτ (5.35)
L’indice de robustesse R est alors défini par
R = max ( 1 - CL + 1 - CU , 1 - CL-1 + 1 - CU-1 ) (5.36) et doit être proche de zéro.
Dans le cadre de ce travail, compte tenu de notre but principal qui est de montrer le champ d’application des estimateurs d’erreur a posteriori en acoustique, nous utilisons essentiellement l’indice d’efficacité (5.29) ou (5.30), selon le contexte.
5.5 Tests numériques
5.5.1 Estimation de l’erreur à faibles nombres d’onde
À faibles nombres d’onde (κ < 1), en l’absence de k- ou λ-singularité, nous nous attendons à ce que nos estimateurs d’erreur a posteriori soient efficaces avec les mêmes propriétés que celles observées pour d’autres opérateurs (Laplace, élasticité, ...) [BAB94/1].
Illustrons cette affirmation sur le problème modèle 2. Les figures 5.2 (a-b) donnent la convergence de l’indice d’efficacité de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses à κ=0.92 (f=50 Hz) respectivement pour les éléments quadrilatéraux et triangulaires de degré 1 et 2. On observe
1) selon le critère (5.31), l’estimateur d’erreur basé sur le lissage SPR est globalement efficace, quel que soit le maillage,
2) l’estimateur d’erreur basé sur le lissage SPR est convergent (critère 5.32).
θ
0.8 0.9 1 1.1 1.2
1 10 100
Q4 Q8
1/h
figure 5.2. (a) Problème modèle 2 : convergence de l’indice d’efficacité de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
(éléments quadrilatéraux, p=1 ou 2, κ=0.92, f=50 Hz) θ
0.8 0.9 1 1.1 1.2
1 10 100
T3 T6
1/h
figure 5.2. (b) Problème modèle 2 : convergence de l’indice d’efficacité de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
(éléments triangulaires, p=1 ou 2, κ=0.92, f=50 Hz)
Pour le même problème modèle étudié à la même fréquence, les variantes de la méthode de lissage superconvergent (SPR, SPRE, SPREB, SPRB) sont évaluées à la figure 5.3 (a) qui donne la convergence de l’indice d’efficacité global. On observe
1) la méthode SPRE est inefficace pour les maillages grossiers mais est convergente, 2) les autres variantes se comportent sensiblement de la même manière et ne peuvent
pas être départagées sur base de ce test.
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0 2 4 6 8 10 12 14 16
SPR SPRB SPRE SPREB θ
1/h
figure 5.3. (a) Problème modèle 2 : convergence de l’indice d’efficacité selon les variantes SPREB de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
(p=1, κ=0.92, f=50 Hz)
De même, l’efficacité de l’erreur en champs admissibles montre qu’à cette fréquence d’excitation, l’erreur estimée est une borne supérieure de l’erreur exacte en semi-norme H1 quel que soit le maillage (figure 5.3 b). Les deux variantes présentées au paragraphe 4.6 (avec division en sous-triangles LL1 et sans division LL2) se comportent pratiquement de la même manière.
θ
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
1 10 100
LL1 LL2
1/h
figure 5.3. (b) Problème modèle 2 : convergence de l’indice d’efficacité de l’erreur en champs admissibles (variantes LL1 et LL2)
(p=1, κ=0.92, f=50 Hz)
Outre l’indice d’efficacité global, il est indispensable de s’intéresser à la distribution élémentaire de l’erreur de manière à vérifier que les estimateurs d’erreur peuvent fournir l’information fiable nécessaire à l’adaptation du maillage. La figure 5.4 (a-b) donne la distribution respectivement de l’erreur absolue en semi-norme H1 et en champs admissibles pour le problème modèle 2 (κ=1.84, f=100 Hz). Les échelles des deux figures étant identiques, on observe que l’erreur en champs admissible borne supérieurement l’erreur exacte au niveau élémentaire, ce qui n’a pas encore pu être démontré mais a déjà été observé numériquement par ailleurs [UPA97]. En reprenant les mêmes figures mais avec des échelles différentes
(générées automatiquement par l’interface graphique), on voit (figure 5.5 a-b) l’excellente corrélation entre les distributions d’erreur exacte et en champs admissibles.
figure 5.4. (a) Problème modèle 2 : distribution de l’erreur absolue en semi-norme H1 (p=1, κ=1.84, f=100 Hz, échelle fixe)
figure 5.4. (b) Problème modèle 2 : distribution de l’erreur absolue en champs admissibles (p=1, κ=1.84, f=100 Hz, échelle fixe)
figure 5.5. (a) Problème modèle 2 : distribution de l’erreur absolue en semi-norme H1 (p=1, κ=1.84, f=100 Hz, échelle libre)
figure 5.5. (b) Problème modèle 2 : distribution de l’erreur absolue en champs admissibles (p=1, κ=1.84, f=100 Hz, échelle libre)
Les tests de ce paragraphe permettent de montrer qu’à faibles nombres d’onde adimensionnels, les estimateurs d’erreur a posteriori développés sont efficaces. Ces conclusions étant obtenues sur des problèmes unidimensionnels ne présentant pas de singularités géométriques, il convient d’évaluer quel est le comportement de la solution éléments finis dans ce cas, ce sera fait sur un exemple plus réaliste au paragraphe 5.6.
5.5.2 k-singularité
Les tests numériques sur la qualité du champ de vitesses (paragraphe 4.5) ont déjà laissé présager que les estimateurs d’erreur a posteriori ne sont pas capables d’évaluer correctement l’erreur due à la k- singularité. La figure 5.6, obtenue pour le problème modèle 1, donne la convergence de l’indice d’efficacité global de l’estimateur par lissage superconvergent SPR pour différents nombres d’ondes. On observe
1) à faible nombre d’onde (κ=1.01), on retrouve les conclusions du paragraphe précédent,
2) lorsque le nombre d’onde augmente, on constate que l’estimateur n’est pas efficace (θ < 0.8) pour des maillages courants,
3) par contre, l’estimateur est convergent, c’est-à-dire asymptotiquement efficace.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
1 10 100
kL=1.01 ( f=40 Hz ) kL=10.05 ( f=400 Hz) kL=25.13 ( f=1000 Hz)
1/h θ
figure 5.6. Problème modèle 1 : convergence de l’indice d’efficacité global de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses pour différents nombres d’onde
(p=1)
Le comportement de l’indice d’efficacité à nombres d’onde élevés montre que l’estimateur d’erreur a posteriori par lissage du champ de vitesses n’évalue que l’erreur d’approximation et non celle de pollution. A la figure 5.7, on a porté les courbes de convergence des erreurs relatives exacte et estimée par lissage du champ de vitesses.
1.0%
10.0%
100.0%
1 10 100
vSPR-vh v-vh erreur 1/h
relative
κ=10.05
asymptotique pré-
asymptotique
figure 5.7. Problème modèle 1 : convergence de l’erreur en semi-norme H1. Comparaison entre l’erreur exacte et l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
(p=1)
On observe, pour κ=10.05, trois zones :
1) κh > 1 : l’erreur relative est arbitrairement grande car la résolution de l’onde par les éléments finis n’est pas suffisante,
2) κh ≤ 1 mais κ3h2> 1 : on est en zone préasymptotique. L’erreur exacte montre la présence de pollution tandis que l’erreur estimée laisse penser que l’on se trouve déjà dans la phase asymptotique,
3) κ3h2 ≤ 1 : en phase asymptotique, les deux courbes se rejoignent.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 5 10 15 20
κ erreur
relative
v -vh 0 v 0
v*-vh 0 v* 0 κ3 h 2 = 1 κh = 1
figure 5.8. Problème modèle 1 : erreurs relatives exacte et estimée par lissage du champ de vitesses en fonction du nombre d’onde
(p=1, h=0.1 m, L=1 m)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0 5 10 15 20
κ θ
κ3 h 2 = 1 κh = 1
figure 5.9. Problème modèle 1 : indice d’efficacité global de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses en fonction du nombre d’onde
(p=1, h=0.1 m, L=1 m)
L’identification de ces zones est également bien illustrée sur le problème modèle 1 lorsque l’on porte les erreurs exacte et estimée par lissage du champ de vitesses (figure 5.8) ou l’indice d’efficacité (figure 5.9) en fonction du nombre d’onde. A la figure 5.8 on observe que l’erreur relative estimée par lissage du champ de vitesses est une fonction linéaire du nombre d’ondes, ce qui, si l’on se rappelle de la relation a priori définissant l’erreur de pollution (3.56), montre que l’estimation prend uniquement en compte l’erreur d’approximation (terme en κh).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 50 100 150 200
p=1 p=2 θ 1/h
κ=10.05
figure 5.10 (a) Problème modèle 1 : convergence de l’indice d’efficacité global de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
comparaison p=1 ou 2 (κ=10.05, f=400 Hz)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 50 100 150 200
p=1 p=2 θ 1/h
κ=25.13
figure 5.10 (b) Problème modèle 1 : convergence de l’indice d’efficacité global de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
comparaison p=1 ou 2 (κ=25.13, f=1000 Hz)
Enfin, la comparaison entre les éléments de degré 1 et 2 sur base de l’indice d’efficacité (figures 5.10 a-b) confirme les résultats de convergence exposés au paragraphe 4.5. Les éléments de degré 2 permettent de contrôler l’influence de la k-singularité avec des maillages plus grossiers, et, corrélativement, l’efficacité
de l’estimateur d’erreur par lissage du champ de vitesses est efficace pour ces maillages. Cet effet est encore accentué lorsque le nombre d’onde adimensionnel κ augmente.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 50 100 150 200
p=1 p=2 θ 1/h
κ=50.27
figure 5.10 (c) Problème modèle 1 : convergence de l’indice d’efficacité global de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses
comparaison p=1 ou 2 (κ=50.27, f=2000 Hz) 5.5.3 λ-singularité
Nous considérons maintenant un problème intérieur en l’absence de tout amortissement structural. Nous avons défini dans ce cadre la λ-singularité par la singularité de la matrice du système éléments finis (3.7) aux fréquences propres numériques, toujours supérieures aux fréquences propres exactes. Le contrôle de la λ-singularité par une estimation d’erreur a posteriori sur la réponse forcée n’est pas possible car (figures 5.11 a-c)
0 1 2 3 4 5
0 3.14 6.28 9.42 12.56 15.7 18.84
λ λh κ v-vh 0
erreur absolue
v*-vh0
figure 5.11. (a) Problème modèle 2 : erreur absolue en semi-norme H1 exacte et estimée par lissage du champ de vitesses en fonction du nombre d’onde
(h=0.1 m, p=1, L=1 m)
1) comme évoqué au paragraphe 3.9, en présence de λ-singularité, c’est l’erreur sur la valeur propre elle-même qui est en cause, et non l’erreur sur l’amplitude infinie de la réponse forcée,
2) l’erreur estimée, quelle que soit la méthode, ne permet pas de connaître la fréquence propre exacte. Les courbes d’erreur absolue exacte et estimée en fonction du nombre d’onde (figures 5.11 a et b) montrent clairement que l’erreur estimée ne “voit” pas les fréquences propres exactes,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.00 3.14 6.28 9.42 12.56 15.70 18.84
κ v-vh 0
v-vh 0 v*-vh 0 erreur
absolue
figure 5.11. (b) Problème modèle 2 : erreur absolue en semi-norme H1 exacte, en champs admissibles et estimée par lissage du champ de vitesses en fonction du nombre d’onde
(éléments triangulaires, h=0.05 m, p=1, L=1 m)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 3.14 6.28 9.42 12.56 15.7 18.84
λ λh κ erreur
relative v-vh 0
v 0
v*-vh 0 v* 0
figure 5.11. (c) Problème modèle 2 : erreur relative en semi-norme H1 exacte et estimée par lissage du champ de vitesses en fonction du nombre d’onde
(h=0.1 m, p=1, L=1 m)
3) l’examen des courbes d’erreur relative en fonction du nombre d’onde (figure 5.11 c) montre que la qualité de cet indicateur diminue très vite avec le nombre d’onde et
qu’il ne constitue, ni en présence de fréquences propres exactes ni numériques, un indicateur fiable,
4) en présence d’amortissement structural, la problématique est légèrement différente et sera évoquée au paragraphe 8.2.1.
L’indice d’effacité de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses est donné en fonction du nombre d’onde à la figure 5.12 (a) et de l’erreur en champs admissibles à la figure 5.12 (b) qui confirment
1) l’inefficacité aux nombres d’onde correspondant aux fréquences propres,
2) la diminution très rapide de l’indice d’efficacité, phénomène qui relève plutôt de la k-singularité,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 3.14 6.28 9.42 12.56 15.7 18.84
κ λ λh
θ
figure 5.12. (a) Problème modèle 2 : efficacité de l’erreur estimée par lissage du champs de vitesses en fonction du nombre d’onde (h=0.1 m, p=1, L=1 m)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.00 3.14 6.28 9.42 12.56 15.70 18.84
κ θ
figure 5.12. (b) Problème modèle 2 : efficacité de l’erreur en champs admissibles en fonction du nombre d’onde (h=0.1 m, p=1, L=1 m)
3) que la borne supérieure est violée par l’influence des λ- et k-singularités (figure 5.12 b).
5.6 Application industrielle
5.6.1 Enoncé du problème
Afin d’illustrer les spécificités de l’acoustique mises en évidence sur des problèmes modèles simples, nous allons nous intéresser à l’étude acoustique du compartiment passager d’un véhicule automobile.
L’étude considérée est celle menée par J. Nefske [NEF92] et consiste en l’analyse d’une section d’une voiture type Sedan dont le volume fluide est excité par les vibrations du panneau pare-feu avant simulant les vibrations du moteur (à 1 mm/s) et en présence d’amortissement structural au niveau du toit (figure 5.13). Nous ne décrirons pas ici les résultats acoustiques de cette étude très simple qui sert aujourd’hui essentiellement à mettre en évidence les propriétés de ce type de cavités [NEF92, MIG97] mais nous nous attachons à évaluer l’erreur de discrétisation.
vn=1 mm/s
excitation du moteur
fluide
sièges
Zn=2000 Pa s/m
figure 5.13. Compartiment passager d’un véhicule : problème posé
La figure 5.14 donne le maillage utilisé pour les études [NEF92, MIG97] dont les caractéristiques sont résumées à la table 5.2. La satisfaction stricte de la règle de bonne pratique SYSNOISE limite l’étude à la gamme de fréquences de 0 à 600 Hz. Compte tenu des conclusions actuelles de notre travail, notre but est évidemment de démontrer d’une part que l’erreur de discrétisation n’est pas contrôlée pour cette gamme de fréquences et d’autre part, de montrer qu’il y a lieu de contrôler l’influence des singularités géométriques et physiques (discontinuité des conditions aux limites).
#Nh 287
#Th 264 (p=1)
h 0.09 m
L 2.65 m
f [0,600] (Hz)
Table 5.2. Compartiment passager d’un véhicule : caractéristiques de l’étude éléments finis (c=340 m/s, ρ=1.225 kg/m3)
figure 5.14. Compartiment passager d’un véhicule : maillage éléments finis (p=1) 5.6.2 Erreur estimée
Pour cette analyse, nous ne disposons évidemment pas de solution analytique. Aussi, nous allons adopter une méthodologie, irréaliste sur le plan industriel, qui va nous permettre à la fois d’illustrer la k-singularité et, ensuite, les singularités géométriques. Générons, à partir du maillage initial , trois raffinements uniformes (chaque élément est divisé en quatre éléments) et traçons la courbe de convergence de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses SPRB (figure 5.15). Insistons bien : il s’agit de l’erreur estimée et nous savons déjà qu’en présence de pollution, cette estimation n’est pas fiable. Néanmoins, la figure 5.15, où nous avons tracé les courbes κh=1 et κ3h2=1 afin de délimiter les zones pré- et asymptotique, nous permet de tirer les conclusions suivantes, pour le maillage initial :
1) f ≤ 200 Hz : ces courbes sont déjà en phase asymptotique pour laquelle nous savons que l’estimation d’erreur est efficace. En-dessous de cette valeur, nous pouvons donc nous intéresser aux singularités géométriques,
2) 200 Hz < f ≤ 600 Hz : ces courbes sont en phase préasymptotique. Nous savons que la fiabilité de l’erreur estimée n’est pas garantie mais l’observation du fait que ces courbes ne sont pas des droites conforte l’idée que le comportement asymptotique n’est pas encore atteint. Les valeurs d’erreur relative estimée pour le maillage initial (figure 5.14) ont été groupées à la table 5.3 et sont donc très probablement sous- estimées. L’analyse acoustique dans cette gamme de fréquence est donc fort probablement entachée d’une erreur de plus de 50 % (en semi-norme H1),
3) f > 600 Hz : au-delà de cette valeur, le critère SYSNOISE (3.14) n’est plus satisfait.
La valeur de l’erreur estimée est évidemment tout à fait sous-évaluée.
Fréquence (Hz)
η SPRB
% Fréquence
(Hz)
η SPRB
%
100 12.6 500 26.7
200 15.7 600 35.5
300 19.9 700 39.6
400 21.8 800 46.2
Table 5.3. Compartiment passager d’un véhicule : erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB
1%
10%
100%
10 100 1000
kL=4.9 (f=100Hz) kL=9.79 (f=200Hz)
kL=14.69 (f=300Hz) kL=19.59 (f=400Hz) kL=24.49 (f=500Hz) kL=29.38 (f=600Hz) kL=34.28 (f=700Hz) kL=39.18 (f=800Hz) v*-vh 0 L/h
v* 0
κh=1
κ3h2=1
figure 5.15. Compartiment passager d’un véhicule : convergence de l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses (p=1)
Cet exemple plus réaliste nous permet donc de conclure que le critère de bonne pratique SYSNOISE ne permet pas de contrôler l’erreur de discrétisation. Les niveaux d’erreur atteints sont d’ailleurs inadmissibles. Il reste évidemment à nuancer ce jugement par le fait que la mesure d’erreur en norme intégrale ne fournit pas une bonne indication sur la qualité de la courbe de réponse fréquentielle, nous y reviendrons au paragraphe 8.2.1.
De plus, aux fréquences inférieures à 200 Hz, il y a lieu de contrôler la pollution (au sens de l’élasticité, annexe 9.3) due aux singularités géométriques et physique comme l’illustrent les figures 5.16 (a-b) qui donnent la distribution d’erreur élémentaire absolue et qui montrent les pics d’erreur dans les zones de singularités. A ce stade, nous ne disposons pas encore des outils de raffinement de maillage nécessaires au contrôle local du maillage, aussi l’analyse adaptative du compartiment passager d’un véhicule est-elle reportée au paragraphe 6.4 après l’exposé des méthodes de raffinement de maillage (chapitre 6).
figure 5.16. (a) Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’erreur élémentaire en semi-norme H1 estimée par lissage du champ de vitesses SPRB (p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, κ=1.47) - ηSPRB=11.5 %
figure 5.16. (b) Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’erreur élémentaire en semi-norme H1 estimée par lissage du champ de vitesses SPRB (p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, κ=2.45) - ηSPRB=12.2 %
Enfin, sur un maillage composé strictement de triangles, les figures 5.17 (a-b) montrent la bonne corrélation des distributions élémentaires d’erreur absolue entre l’erreur estimée par lissage du champ de vitesses et l’erreur en champs admissibles.
figure 5.17. (a) Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’erreur élémentaire en semi-norme H1 estimée par lissage du champ de vitesses SPRB (p=1, f=100 Hz, k=1.85 m-1, κ=4.9) - ηSPRB=12.6 %
figure 5.17. (b) Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’erreur élémentaire en champs admissibles
(p=1, f=100 Hz, k=1.85 m-1, κ=4.9)
