Fréquence Erreur relative globale estimée
(Hz) (%)
50 26.15
100 28.67
Table 7.4. Erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB
Comme on le voit, l’erreur relative globale estimée par la méthode de lissage du champ de vitesses SPRB est assez élevée bien que le maillage respecte largement le critère SYSNOISE. Il conviendrait de raffiner le maillage selon les cartes d’optimalité des figures 7.30-31 mais, malheureusement, les outils de génération automatique de maillage avec prescription locale de taille d’éléments ou les outils de raffinement que nous avons développés ne sont pas encore disponibles à trois dimensions.
L’estimation de l’erreur de discrétisation nous permet d’avoir confiance en les résultats du calcul acoustique par éléments finis à l’erreur évaluée près, c’est-à-dire à ± 30 %. Il ne faut cependant pas oublier que les conditions aux limites appliquées au fluide ont été obtenues par un calcul de réponse dynamique forcée qui est elle-même entachée d’une erreur dont l’évaluation ne fait pas partie du présent travail.
7.3 Estimation d’erreur de l’étude acoustique d’un résonateur
7.3.1 Description du problème
Un résonateur est un dispositif qui permet de dissiper une onde de pression acoustique sous forme d'énergie cinétique. Le dispositif considéré est très simple avec un tube cylindrique d’entrée, une chambre d’expansion et un tube cylindrique de sortie (figure 7.32).
figure 7.32. Résonateur : maillage acoustique par éléments finis
Les paramètres de l’étude sont
ρ = 1.225 kg/m3 c = 340 m/s Zn = 5 000 Pa s/m fréquences d’excitation : 100 et 600 Hz
Le maillage est constitué de 1553 noeuds et de 1180 éléments finis hexaèdraux à huit noeuds H8 (p=1) dont la taille est de h = 0.045 m (figure 7.32). Les limites imposées par la règle de bonne pratique SYSNOISE (3.14) d’une part, et de contrôle de l’influence de la k-singularité d’autre part sont donc (la longueur de la cavité vaut 1.7 m) :
critère κh = 1 κ ≤ 39.56 (7.7)
critère κ3h2
= 1 κ ≤ 11.26 (7.8)
De plus, un calcul préalable des fréquences propres éléments finis a été mené et la table 7.5 présente les fréquences propres qui encadrent les fréquences pour lesquelles nous allons procéder à une estimation de l’erreur, soit f1=100 Hz (κ=3.14) et f2=600 Hz (κ=18.85). De cette manière, nous étudions à la première fréquence f1 une situation affranchie des k- et λ-singularités et une seconde f2 pour laquelle nous savons que les valeurs fournies par l’estimation d’erreur seront sous-évaluées.
Mode Fréquence
(Hz)
Nombre d’onde κ (-)
3 91 2.86
4 331 10.40
14 556 17.47
15 770 24.19
Table 7.5. Résonateur : fréquences propres proches des fréquences d’excitation
7.3.2 Contrôle de la qualité de la solution éléments finis
Fréquence (Hz)
η SPRB
% 100 12.54 600 14.40
Table 7.6. Résonateur : erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB
La distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) est donnée pour chaque fréquence aux figures 7.33 (a) et 7.34 (a). Afin de bien distinguer les zones de raffinement, on n’a conservé aux figures 7.33 (b) et 7.34 (b) que les cas où le raffinement est requis ξτ > 1. On observe que les zones de fort raffinement sont concentrées à la sortie, particulièrement à proximité des singularités géométriques.
figure 7.33. (a) Résonateur : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f1=100 Hz, κ=3.14)
figure 7.33. (b) Résonateur : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) > 1 Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f1=100 Hz, κ=3.14)
figure 7.34. (a) Résonateur : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f2=600 Hz, κ=18.85)
figure 7.34. (b) Résonateur : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) > 1 Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f2=600 Hz, κ=18.85)
7.4 Estimation d’erreur pour l’analyse acoustique d’un pot d’échappement
7.4.1 Description du problème
Il s’agit d’étudier le silencieux d’un pot d’échappement classique à quatre chambres séparées par des parois percées (figure 7.35). L’onde acoustique se propage successivement par le tube cylindrique d’entrée, par les chambres (avec expansion) et une contraction du fluide pour le tube cylindrique de sortie.
Le pot d’échappement étant parfaitement symétrique, seule une moitié a été modélisée et une vitesse normale nulle est imposée dans le plan de symétrie. De plus, de façon à modéliser la grande rigidité des parois du pot, une grande impédance y est appliquée. Les paramètres de l’étude sont :
ρ = 1.225 kg/m3 c = 340 m/s Zn = 10 000 Pa s/m fréquence d’excitation : 100 Hz
Il faut remarquer que ce type de pot d’échappement présente des parois internes (figure 7.35) de façon à répartir le fluide intérieur dans quatre chambres. Le maillage fluide tient compte de ces parois ce qui implique que le seul contact entre les chambres se fait par l’intermédiaire des orifices des parois.
figure 7.35. Pot d’échappement : coupe montrant les 4 chambres
Le maillage est constitué de 2659 noeuds et de 1832 éléments finis (1488 hexaèdres à huit noeuds H8 et 344 prismes à six noeuds P6, p=1) dont la taille est de h = 0.02 m (figure 7.36, la longueur de la cavité vaut 0.7 m). Les limites imposées par la règle de bonne pratique SYSNOISE (3.14) d’une part, et de contrôle de l’influence de la k-singularité d’autre part sont donc :
critère κh = 1 κ ≤ 36.65 (7.9)
critère κ3h2
= 1 κ ≤ 10.7 (7.10)
figure 7.36. Pot d’échappement : maillage acoustique par éléments finis
De plus, un calcul préalable des fréquences propres éléments finis a été mené et la table 7.7 présente les fréquences propres qui encadrent la fréquence pour laquelle nous allons procéder à une estimation de l’erreur, soit f=100 Hz (κ=1.29). De cette manière, nous étudions une fréquence pour laquelle nous savons que l’estimation d’erreur est un outil fiable permettant de guider le raffinement de maillage éventuellement nécessaire.
Mode Fréquence (Hz)
Nombre d’onde κ (-)
2 57 0.73
3 118 1.53
Table 7.7. Pot d’échappement : fréquences propres proches de la fréquence d’excitation
7.4.2 Contrôle de la qualité de la solution éléments finis
Fréquence (Hz)
η SPRB
%
100 18.56
Table 7.8. Pot d’échappement : erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB La distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) est donnée à la figure 7.37 (a) et l’identification des éléments à raffiner ( ξτ > 1) est donnée à la figure 7.37 (b). Compte tenu de la complexité géométrique du modèle (par la présence des chambres), on observe que le maillage doit être raffiné presque partout, avec les zones de fort raffinement toujours à proximité des singularités géométriques.
figure 7.37. (a) Pot d’échappement : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f=100 Hz, κ=1.29)
figure 7.37. (b) Pot d’échappement : distribution de l’indice de raffinement ξτ (η= 5 %) > 1 Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB (f=100 Hz, κ=1.29)
7.5 Conclusions
Ce chapitre a permis de montrer que l’estimateur d’erreur a posteriori basé sur le lissage du champ de vitesses SPRB s’applique à faibles nombres d’onde à tous les types de maillage que l’on rencontre en pratique. Les cartes d’optimalité illustrent également que, tel que nous l’avons formulé, il existe un maillage optimal pour chaque fréquence. Cette méthode est évidemment irréaliste lorsque l’on s’intéresse à une gamme de fréquences pour laquelle il y a lieu d’un chercher un maillage optimal pour toute la gamme. Nous avons également systématiquement travaillé en l’absence de singularités spécifiques à l’acoustique de manière à garantir la fiabilité des résultats présentés.
