PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 1 - 1 -
Harmoniques basse fréquence sur le réseau 50 Hz Corrigé
1) i(t) est une fonction paire; sa série de Fourier ne présente donc que des termes en cosinus i(t) présente une symétrie de glissement [i(t + T
2 ) = –i(t)]; sa série de Fourier ne présente donc que des harmoniques de rang impair.
0
Iˆ
t i
M
fondamental
2)
3.1) 49 A
2 92 . 9 2
8 , 24 2
40 2
Ieff = 502 + 2 + 2 + 2 = ou :
( )
( )
[ ( ) ]
A 6 49 Iˆ 6 I Iˆ
6 Iˆ 3 2 Iˆ )
t ( i
2 t. Iˆ
. 3 cos . Iˆ
2 eff
2 2
2 moy
2 moy 2
=
=
=
⇒
=
=
⇒
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡ ω
m i
0
Iˆ2
2 Iˆ2
)2
t (
i
[
I.ˆcos(3.ω.t)]
2t
3.2) En appliquant le théorème de superposition:
i1
1 mH
e(t) u1(t) L f
+
i3
1 mH
u3(t) L 3f
+ ...
( )
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ +
=
⇒
−
=E jL I. u (t) 220. 2.cos100. t. 0,25 15,7.cos 100. t. 2
U1 ω 1 1 π π π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
⇒
−
= jL.3 I. u (t) 37,7.cos 300. t. 2
U3 ω 3 3 π π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
⇒
−
= jL.5 I. u (t) 39.cos 500. t. 2
U5 ω 5 5 π π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
⇒
−
= .7 . 7 7( ) 21,8.cos 700. . 2
7 jL ωI u t πt π
U
) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t (
u = 1 + 3 + 5 + 7
⇒
PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 1 - 2 - Ci dessous, la reconstitution de u(t) à partir de ses harmoniques jusqu’à l’ordre 7 :
0
400V
t u approximation à
l’harmonique 7
M0
400V
t graphe réel et
approximation à l’harmonique 7 u
On voit que la tension d'alimentation u(t) en entrée du variateur de vitesse est sensiblement déformée par le courant i(t).
3.3) Schéma équivalent pour le calcul de l'harmonique 5:
C i5
1 mH
u5 5f i5
L
Les résultats concernant l'harmonique 5 (à 5x50Hz soit donc à 250 Hz) sont donnés dans le tableau suivant:
A 250 Hz:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
⇒
=
t. 2 500 cos . 2987 )
t ( u
j 5 , 5 120 . C . j // 1 5 . L . j
5 π π
ω ω
Le calcul de la valeur de u(t) jusqu'à l'harmonique 7 donne les résultats suivants:
fréquence 50 Hz 150 Hz 25O Hz 350 Hz
1 . n . jL . 1 n . jC
−
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
ω ω 0,327j 1,467j 120,5j – 2,35j
Harmoniques de u(t)
324.cos(100πt+0,25)+
16,35.cos(100πt – π 2 )
58,5.cos(300πt – π
2 ) 2987.cos(500πt – π
2 ) 23,3.cos(700πt + π 2 ) Au-delà de l'harmonique 7, l'amplitude des harmoniques de u(t) décroît rapidement car l'impédance du
condensateur ( –j
Cω ) devient prépondérante devant jLω.
Ci-contre: e(t) et u(t)
-2000 0 2000
e
t
A la fréquence de l'harmonique 5, on voit que le circuit LC est au voisinage de sa fréquence de résonance. Ce qui engendre de très fortes surtensions dangereuses pour le matériel.
u
Ce problème illustre un phénomène réel mais dans une configuration fortement simplifiée par rapport à une distribution électrique réelle (nombreuses mailles avec des courants harmoniques divers).
