Chapitre 7 Calcul de primitive

Chapitre 7

Calcul de primitive

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50 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE

7.1 Th´ eorie

7.1.1 Primitives et int´ egrales

D´ efinition : Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I . On dit que F est une primitive de f sur I si F est d´erivable sur I et F ^� = f.

Exemples : La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [, la fonction exp est une primitive d’elle-mˆeme sur R , la fonction sin est une primitive de la fonction cos, la fonction f 1 : x �→ 3

4 x ⁴ + 5x ² + 18 est une primitive de la fonction f 2 : x �→ 3x ³ + 10x sur R , mais ´egalement f 1 − 12 ou encore f 1 + 5421 (puisque les constantes disparaissent `a la d´eriva- tion).

On voit sur le dernier exemple qu’une fonction f qui admet une primitive F en admet en fait une infinit´e puisque F + k sera encore une primitive de f quel que soit k ∈ R (ou mˆeme k ∈ C si on consid`ere des fonctions `a valeurs complexes). Cependant, ce sont les seules :

Propri´ et´ e : Soit f une fonction qui admet une primitive F sur un inter- valle I . Alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F + k avec k constante. De plus, si a ∈ I, alors f admet une unique primitive qui s’annule en I.

Remarque : Ca n’a donc pas de sens de parler de ¸ la primitive d’une fonction f puisqu’elle en a une infinit´e, mais ¸ca en a un de parler de la primitive de f qui s’annule en a.

Consid´erons maintenant une fonction f qui admet une primitive F sur un intervalle I et (a, b) ∈ I ² . Si G est une autre primitive de f sur I alors il existe une constante k telle que G = F + k. Donc G(b) − G(a) = (F (b) + k) − (F (a) + k) = F (b) − F (a). Donc l’accroissement de la primitive entre a et b ne d´epend pas de la primitive consid´er´ee, mais uniquement de la fonction f et des nombres a et b. On lui donne un nom :

D´ efinition : Si f admet une primitive F sur un intervalle I et si (a, b) ∈ I ² , alors on appelle int´egrale de f entre a et b, not´ee

� b a

f (x)dx le nombre

F (b) − F (a).

Remarques :

– Si g est une fonction quelconque, on note [g(x)] ^b _a le r´eel g(b) − g(a). On a donc

� b a

f (x)dx = [F (x)] ^b _a . – On a

� b a

f(x)dx = −

� a b

f(x)dx.

– On sait que lorsque l’on a une somme, le nom de l’indice de sommation ne change rien au r´esultat de la somme :

� n

k=0

a _k =

� n

j=0

a _j =

� n

p=0

a _p . De mˆeme pour l’int´egrale, le nom de la variable intervenant dans l’intr´egale n’intervient pas dans le r´esultat :

� b a

f(x)dx =

� b a

f(t)dt =

� b a

f (u)du.

Attention cependant `a ne pas choisir comme nom de variable une des bornes de l’int´egrale (i.e ´eviter

� b a

f(b)db).

Exemples : –

� 10 6

(t ³ + 5t)dt =

� 1 4 t ⁴ + 5

2 t ²

� 10 6

=

� 1

4 10 ⁴ + 5 2 10 ²

�

−

� 1 4 6 ⁴ + 5

2 6 ²

�

= 2750 − 414 = 2336.

–

� 32 1

dt

t = [ln(t)] ³² ₁ = ln(32) − ln(1) = ln(32) = 5 ln(2).

–

� π/4 0

tan(x)dx =

� π/4 0

sin(x)

cos(x) dx = [ − ln(cos(x))] ^π/4 ₀ = 1 2 ln(2).

–

� π/2 0

(sin(x) + x cos(x))dx = [x sin(x)] ^π/2 ₀ = π 2 .

7.1.2 Propri´ et´ es de l’int´ egrale

On va voir quelques propri´et´es calculatoires de l’int´egrale.

Soit f une fonction qui admet une primitive F sur un intervalle I et (a, b, c) ∈ I ³ . Alors F (c) − F (a) = F (b) − F (a) + F (c) − F (b). Autrement dit, on a la propri´et´e suivante :

Propri´ et´ e (relation de Chasles) : On a

� c a

f (x)dx =

� b a

f (x)dx+

� c b

f(x)dx (sous r´eserve d’existence des trois int´egrales).

De mˆeme, nous montrons :

52 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE Propri´ et´ e : L’int´egrale est lin´eaire :

� b a

(λf (x) + µg(x))dx = λ

� b a

f (x)dx + µ

� b a

g(x)dx

Propri´ et´ e : Si f � 0 (resp. f � 0) sur un segment [a, b] (et admet une primitive), alors

� b a

f(x)dx � 0 (resp.

� b a

f(x)dx � 0). De plus, si a < b et que l’in´egalit´e est stricte sur f, alors l’in´egalit´e sur l’int´egrale est stricte

´egalement.

Exemple : Sans calculer de primitive (en admettant qu’il y en ait), on sait que

� 1 0

e ^arcsin(x) dx > 0.

Remarque : Les nombres a et b ne sont pas quelconques : on doit avoir a � b, sinon, les signes des int´egrales sont invers´es.

Corollaire : On peut int´egrer les in´egalit´es entre a et b si a � b.

Propri´ et´ e (in´ egalit´ e triangulaire) : On a

� �

� �

� b a

f(x)dx

� �

� � � � b

a | f (x) | dx (sous r´eserve d’existence de ces int´egrales).

Exemple : Pour tout n ∈ N , on a :

� �

� �

� 1 0

cos ³ (x) sin ² (x)x ⁿ dx

� �

� � � � 1 0

| cos ³ (x) sin ² (x)x ⁿ | dx � � 1 0

x ⁿ dx = 1 n + 1 On en d´eduit que

� 1 0

cos ³ (x) sin ² (x)x ⁿ dx → 0 quand n → ∞ et ce, sans faire de calcul de primitives (en admettant que toutes ces fonctions en admettent).

7.1.3 Interpr´ etations graphiques

Proposition. Soit f une fonction continue admettant une primitive sur [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que

f (c) = 1 b − a

� b a

f (t) dt.

Propri´ et´ e : Soit f une fonction continue sur I. Alors f admet une (et donc des) primitive(s) sur I. De plus si (a, x) ∈ I ² , la valeur en x de la primitive de f qui s’annule en a est l’aire comprise entre la courbe repr´esentative de f et l’axe des abscisses sur l’intervalle [a, x] (avec des conventions de signes).

Remarques :

– L’existence de la plupart des int´egrales est donc quasi-automatique : `a partir du moment o` u une fonction f est continue sur un intervalle [a, b], on sait que

� b a

f(x)dx existe.

– Les propri´et´es telles que la relation de Chasles ou l’int´egration des in-

´egalit´es deviennent ´evidentes si on les regarde en termes d’aire sous la courbe.

Th´ eor` eme (Th´eor`eme de Cauchy-Schwartz). Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b], alors on a

�� b a

f(t)g(t) dt

� ²

≤

� b a

f ² (t) dt

� b a

g ² (t) dt.

Egalit´e ssi ∃ λ ∈ R tel que f (x) = λg(x) (ou g ≡ 0) ∀ x ∈ [a, b].

7.2 Calculs d’int´ egrales

On va voir comment calculer des int´egrales dans certains cas lorsque l’on ne dispose pas directement d’une primitive de la fonction `a int´egrer.

7.2.1 Int´ egration par parties et changement de variable

A l’aide des propri´et´es de la d´erivation (notamment le produit et la com- position), on peut d´eduire des m´ethodes de calculs d’int´egrales :

Soient u et v deux fonctions de classe C ¹ sur un intervalle [a, b]. On a alors (uv) ^� = u ^� v + uv ^� donc u ^� v = (uv) ^� − uv ^� . Comme toutes les fonctions sont continues sur [a, b], on peut les int´egrer :

� b a

u ^� (x)v(x)dx =

� b a

(uv) ^� (x)dx −

� b a

u ^� (x)v(x)dx

54 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE

Or, uv est une primitive de (uv) ^� sur [a, b], donc

� b a

(uv) ^� (x)dx = [u(x)v(x)] ^b _a . On a donc la propri´et´e suivante :

Propri´ et´ e (Int´ egration par parties) : Si u et v sont de classe C ¹ sur un intervalle [a, b] alors :

� b a

u ^� (x)v (x)dx = [u(x)v (x)] ^b _a −

� b a

u ^� (x)v (x)dx Exemples : Calculer

–

� 3 0

xe ^x dx.

– la primitive de f : x �→ x ³ ln(x) qui s’annule en 1.

Regardons maintenant ce que l’on peut obtenir avec des compositions.

Soit φ une fonction de classe C ¹ sur un intervalle [a, b] et f continue sur φ([a, b]). Notons F une primitive de f sur φ([a, b]). Alors (F ◦ φ) ^� = (F ^� ◦ φ)φ ^� = (f ◦ φ)φ ^� , autrement dit, F ◦ φ est une primitive de (f ◦ φ)φ ^� sur [a, b]. On a donc

� b a

f(φ(x))φ ^� (x)dx = [(F ◦ φ)(x)] ^b _a = F (φ(b)) − F (φ(a)). On en d´eduit la propri´et´e suivante :

Propri´ et´ e (changement de variables) : Si φ est de classe C ¹ sur un intervalle [a, b] et f continue sur φ([a, b]), alors :

� b a

f (φ(x))φ ^� (x)dx =

� φ(b) φ(a)

f(x)dx

Exemple : On calcule

� π/2 0

(sin ³ (x) − 5 sin(x)) cos(x)dx. Pour cela, il suffit d’appliquer la formule avec φ(x) = sin(x) et f (x) = x ³ − 5x. On a alors :

� π/2 0

(sin ³ (x) − 5 sin(x)) cos(x)dx =

� 1 0

(x ³ − 5x)dx = − 9 4

En g´en´eral, on r´edige cela de la mani`ere suivante (mˆeme si ¸ca n’est pas tr`es rigoureux, c’est suffisant pour indiquer les fonctions mises en jeu) : on pose u = sin(x). On a alors du = cos(x)dx (car sin ^� (x) = cos(x)), donc :

� π/2 0

(sin ³ (x) − 5 sin(x)) cos(x)dx =

� 1 0

(u ³ − 5u)du

Remarques :

– C’est le mˆeme principe que lorsque l’on fait un changement de variables dans une somme.

– Attention `a bien changer les bornes d’int´egration.

– Attention au φ ^� (x) dans la propri´et´e. On n’a pas

� b a

f (φ(x))dx =

� φ(b) φ(a)

f (x)dx.

Autres exemples : – On calcule

� 1 0

e ^x

e ^2x + 1 dx. On fait le changement de variables u = e ^x (donc du = e ^x dx). On a alors :

� 1 0

e ^x

e ^2x + 1 dx =

� e 1

du

u ² + 1 = [arctan(u)] ^e ₁ = arctan(e) − π 4 – On utilise souvent le changement de variables pour obtenir une ex-

pression plus simple. Mais on peut aussi l’utiliser dans l’autre sens : on calcule

� 1 0

√ 1 − t ² dt. Pour cela, on fait le changement de variable u = arcsin(t) de sorte que t = sin(u). On a dt = cos(u)du et u varie de 0 `a π

2 . Donc :

� 1 0

√ 1 − t ² dt =

� π/2 0

�

1 − sin ² (u) cos(u)du

=

� π/2 0

cos ² (u)du car

�

1 − sin ² (u) = cos(u) sur � 0; π

2

�

=

� π/2 0

� 1 2 + 1

2 cos(2u)

� du

=

� 1 2 u + 1

4 sin(2u)

� π/2

0

= π 4

7.2.2 Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle de variable r´eelle est une fonction F de la forme

F (x) = ^N(x) _D(x) , o` u x ∈ R et N et D sont des fonctions polynˆomes `a coefficients

r´eels, premiers entre eux. Les racines de D sont appel´es pˆ oles de la fraction

F. On dit qu’un pˆole a est d’orde n ssi D(x) = (x − a) ⁿ R(x) avec R(a) � = 0.

56 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE D´ ecomposition en ´ el´ ements simples

Pour d´ecomposer en ´el´ements simples, nous proc´edons en plusieurs ´etapes.

Nous illustrerons la suite avec trois exemples de fractions rationnelles : F 1 (x) = 1

x ³ − 7x + 6 , F 2 (x) = x ⁵

x ⁴ − 2x ³ + 2x − 1 , F 3 (x) = 6x ² + 2 x ⁴ + x ² + 1 . 1) Division euclidienne. Si deg N ≥ deg D, nous faisons la division eu- clidienne de N par D :

N (x) = Q(x)D(x) + R(x) avec deg R < deg D, ce qui implique :

F (x) = Q(x) + R(x) D(x) . Par exemple :

F 2 (x) = (x + 2) + 4x ³ − 2x ² − 3x + 2 x ⁴ − 2x ³ + 2x − 1 .

Attention : si on oublie la division euclidienne, ce qui suit est FAUX si deg N ≥ deg D.

2) Factorisation. On factorise D en polynˆomes irr´eductibles sur R (ou sur C ). Sur R les polynˆomes irr´eductibles sont les polynˆomes de degr´e 1 ou de degr´e 2 sans racines r´eelles.

Par exemple : D 1 (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) poss`ede 3 racines simples dans R , D 2 (x) = (x − 1) <sup>3</sup> (x + 1) a une racine simple et une d’ordre trois, D <sub>3</sub> (x) = (x <sup>2</sup> + x + 1)(x <sup>2</sup> − x + 1) ne poss`ede pas de racine r´eelle.

3) D´ecomposition en ´el´ements simples.

A un pˆole a d’ordre n de F , il lui correspond une d´ecomposition de la forme

α 1

x − a + α 2

(x − a) ² + · · · + α n

(x − a) ⁿ .

A un polynˆome irr´eductible de degr´e 2, (x ² + ax + b) ⁿ (i.e. a ² − 4b < 0), il lui correspond une d´ecomposition de la forme

α ₁ x + β ₁

x ² + ax + b + α ₂ x + β ₂

(x ² + ax + b) ² + · · · + α _n x + β _n (x ² + ax + b) ⁿ . Par exemple,

F 1 (x) = a

x − 1 + b

x − 2 + c x + 3 F 2 (x) − (x + 2) = a 1

x − 1 + a 2

(x − 1) ² + a 3

(x − 1) ³ + b x + 1 F ₃ (x) = αx + β

x ² + x + 1 + ax + b

x ² − x + 1

4) D´etermination des coefficients α i , β i . La d´ecomposition pr´ec´edente est UNIQUE. Pour d´eterminer les coefficients, plusieurs possibilit´es :

– tout mettre sous le mˆeme d´enominateur et en d´eduire un syst`eme d’´equations lin´eaires. Cette m´ethode marche tout le temps, mais peut ˆetre un peu lourde. Il est conseill´e de d´eterminer un maximum de constante grˆace aux astuces qui suivent, puis de mettre sous mˆeme d´enominateur si besoin.

– si a est un pˆole d’ordre n, on multiplie l’´egalit´e par (x − a) ⁿ puis on pose x = a, ce qui donne directement α n = . . . .

– dans le cas des pˆoles non simple, nous pouvons aussi multiplier l’´egalit´e par x et calculer la limite quand x → + ∞ .

– prendre une valeur particuli`ere de x (par exemple x = 0) nous donne une ´egalit´e entre les coefficients.

Exemple : on trouve F 1 (x) = − ¹ ₄

x − 1 +

1 5

x − 2 +

1 20

x + 3 F 2 (x) = (x + 2) +

31 8

x − 1 +

9 4

(x − 1) ² +

1 2

(x − 1) ³ +

1 8

x + 1 F ₃ (x) = − 2x + 1

x ² + x + 1 + 2x + 1 x ² − x + 1 Primitive des ´ el´ ements simples

La primitive de la fraction rationnelle revient donc `a une somme de pri- mitive d’´el´ements simples. Il est bien connu qu’une primitive de _(x−a)k ¹ est

−

(x−a)

si k � = 1, et ln | x − a | sinon.

Exemple : on a

− 1

4 ln | x − 1 | + 1

5 ln | x − 2 | + 1

20 ln | x + 3 | primitive de F 1 (x) 1

2 x ² + 2x + 31

8 ln | x − 1 | −

9 4

x − 1 −

1 4

(x − 1) ² + 1

8 ln | x + 1 | primitive de F ₂ (x).

Il reste `a int´egrer _(x

+cx+d) ^ax+b

. Apr`es un changement de variable, on est en fait ramener `a trouver la primitive de _(u ^au+b

+1)

. La premi`ere partie _(u

^au +1)

admet pour primitive ⁻

a 2(n−1)

(u

+1)

si n � = 1, et ^a ₂ ln | u ² + 1 | sinon.

Nous n’avons plus qu’`a trouver une primitive de _(u

+1) ¹

.

Si n = 1, nous savons qu’une primitive est Arctan u.

58 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE Si n = 2, nous remarquons que :

� u u ² + 1

� �

= 1

u ² + 1 − 2u ²

(u ² + 1) ² = − 1

u ² + 1 + 2 (u ² + 1) ² d’o` u ¹ ₂ �

Arctan u + u u ² + 1

� est une primitive de 1 (u ² + 1) ² . Pour n > 2, nous r´esonnons de mˆeme, en calculant

� u

(u ² + 1) ^{n − 1}

� _� , et nous d´eduisons par r´ecurrence la primitive de 1

(u ² + 1) ⁿ . Exemple : une primitive de F 3 (x) est

− ln(x ² + x + 1) + ^{√ 4} ₃ Arctan ^{2x+1 √} ₃ + ln(x ² − x + 1) + ^{√ 4} ₃ Arctan ^{2x−1 √} ₃ .

7.2.3 R` egle de Bioche

Nous cherchons la primitive de fonction F (cos x, sin x) avec F une fraction rationnelle. Par exemple,

� cos x

1 + 2 sin x − cos ² x dx,

� dx

sin x + tan x . Posons ω(x) = F (cos x, sin x) dx.

– Si ω( − x) = ω(x), on pose u = cos x, d’o` u du = − sin x dx.

– Si ω(π − x) = ω(x), on pose u = sin x, d’o` u du = cos x dx.

– Si ω(π + x) = ω(x), on pose u = tan x, d’o` u du = (1 + tan ² x) dx =

1 cos

x dx.

– Sinon, on pose t = tan ^x ₂ , d’o` u dt = ¹ ₂ (1 + t ² ) dx, et on se rappelle que cos x = 1 − t ²

1 + t ² , sin x = 2t

1 + t ² , tan x = 2t

1 − t ² .