UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Année 2018-2019Master EURIA 1ère ANNEE
Examen sur la théorie de la crédibilité
Notes manuscrites et ordinateurs autorisés.
Exercice 1.
Année 1 2 3 4 5
Contrat 1 1 0 0 0 0 Contrat 2 2 0 1 0 1 Contrat 3 3 1 1 1 0 Contrat 4 2 0 3 2 0 Contrat 5 0 2 0 0 1 Contrat 6 0 1 2 1 0 Contrat 7 0 0 0 1 0 Table1 – Sinistralité observée
Le tableau 1 donne le nombre de sinistres pour 7 assurés pendant 5 ans.
1. Peut-on supposer que le groupe d’assurés est homogène ? On répondra à l’aide d’un test statistique dont on précisera l’hypothèse testée ainsi que les hypothèses probabilistes sur lesquelles repose sa validité. On donnera la p-value du test. Il n’est pas nécessaire de reporter les codes R sur la copie.
2. Donner une estimation de la prime pour l’année 6 pour les 7 assurés du tableau à l’aide du modèle de crédibilité linéaire (modèle de Bühlmann). Quel est la valeur du facteur de crédibilité ? Comment s’interprète ce paramètre ? Il n’est pas nécessaire de reporter les codes R sur la copie.
Exercice 2.
On considère le modèle Binomial-Négatif avec les notations du cours. En particulier, on noteαet β les paramètres de la loi Gamma.
1. Exprimer les paramètres M2,Σ2et µdu modèle de crédibilité linéaire (modèle de Bühlmann) en fonction de αet β.
2. Exprimer le facteur de crédibilité du modèle de crédibilité linéaire en fonction de αet β.
Vérifier qu’on retrouve les mêmes expressions que pour la prime bayésienne du modèle Binomial-Négatif. Justifier ce résultat.
3. Calculer le facteur de crédibilité du modèle Binomial-Négatif pour les données de l’exercice 1 en estimant αetβ par la méthode des moments et les formules de la question
précédente. Obtient-on la même valeur numérique que pour le modèle de crédibilité linéaire ? Pourquoi ? Quelle méthode vous semble la plus adaptée ? Justifier votre réponse.
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