S´eries `a termes r´eels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence Etudier la s´erie de terme g´en´eral´ un revient `a ´etudier la suite (Sn)n≥n
0 des sommes partielles d´efinie par :
∀n≥n0, Sn= Xn
k=n0
uk. On notera plus simplementP
un.
1 S´ eries convergentes ou divergentes
D´efinition 1 On dit que la s´erieP
un est convergente si la suite de ses sommes partielles(Sn)n∈N est convergente. Dans le cas contraire, on dit que la s´erie est divergente.
Exercice 1 Montrer que la s´erie harmoniqueP1
n est divergente.
Th´eor`eme 1 Si la s´erie P
un est convergente, alors la suite(un)n∈Nconverge vers0.
Th´eor`eme 2 Soit(un)n∈Nune suite de r´eels positifs d´ecroissante. Si la s´erieP
un est convergente, alors la suite(nun)n∈N converge vers0,c’est-`a-dire que un=o
µ1 n
¶ . Th´eor`eme 3 Soient P
un etP
vn deux s´eries num´eriques et λ, µ deux scalaires.
1. Si ces deux s´eries convergent, il en est alors de mˆeme de la s´erie de terme g´en´eral λun+µvn et +∞P
n=0
(λun+µvn) = λ+∞P
n=0
un+µ+∞P
n=0
µvn. 2. Si la s´erieP
un converge et la s´erie P
vn diverge, alors la s´erieP
(un+vn)diverge.
3. Si la s´erieP
un converge, il en est de mˆeme de la s´erieP
un, o`uun est le complexe conjugu´e de un etP
un=P un.
2 S´ eries altern´ ees
D´efinition 2 On dit qu’une s´erie est altern´ee si son terme g´en´eral est de la formeun= (−1)nαn,o`u(αn)n∈N est une suite r´eelle de signe constant.
Th´eor`eme 4 SoitP
(−1)nαnest une s´erie altern´ee. Si la suite(αn)n∈Ntend vers0en d´ecroissant, alors la s´erieP
(−1)nαn
est convergente et une majoration des restes est donn´ee par :
∀n∈N, |Rn|=
¯¯
¯¯
¯
+∞X
k=n+1
(−1)kαk
¯¯
¯¯
¯≤αn+1.
3 Convergence absolue, semi-convergence
D´efinition 3 On dit que la s´erieP
un est absolument convergente si la s´erieP
|un|est convergente.
D´efinition 4 Une s´erie num´erique convergente, mais non absolument convergente est dite semi-convergente.
Th´eor`eme 5 Soit(un)n∈Nune suite num´erique. Si la s´erie P
|un|est convergente, alors la s´erieP
un est convergente et :
¯¯
¯¯
¯
+∞X
n=0
un
¯¯
¯¯
¯≤ X+∞
n=0
|un|. Th´eor`eme 6 Soit P
un une s´erie semi-convergente. Pour tout r´eel S, il existe une permutation σ deN telle que la s´erie Puσ(n)soit convergente de somme S.
On peut aussi trouver des permutation σ etσ0 deNtelles que la s´erie P
uσ(n) soit divergente vers −∞et la s´erie P uσ(n) soit divergente vers+∞.
62
4 S´ eries ` a termes positifs
Th´eor`eme 7 Une s´erie `a termes positifs P
un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est major´ee. En cas de divergence, on a lim
n→+∞Sn = +∞.
Th´eor`eme 8 Soient P
un etP
vn deux s´eries `a termes r´eels positifs.
S’il existe un entier n0 tel que :
∀n≥n0, un≤vn
alors : ½ P
vn<+∞ ⇒P
un<+∞
Pun = +∞ ⇒P
vn= +∞
Th´eor`eme 9 Soient P
un etP
vn deux s´eries `a termes r´eels positifs telles queunvvn. 1. SiP
un est convergente il en est alors de mˆeme de P
vn et les restes de ces s´eries sont ´equivalents, soit :
Rn= X+∞
k=n+1
uk vR0n= X+∞
k=n+1
vk. 2. SiP
un est divergente il en est alors de mˆeme deP
vn et les sommes partielles de ces s´eries sont ´equivalents, soit : Sn=
Xn
k=0
uk vTn = Xn
k=0
vk.
Th´eor`eme 10 (Cauchy) Soit(un)n∈N une suite `a valeurs r´eelles positives telle que lim
n→+∞
√n
un=λ.
La s´erie P
un est convergente pour λ <1 et divergente pourλ >1.
Th´eor`eme 11 (d’Alembert) Soit(un)n∈N une suite `a valeurs r´eelles strictement positives telle que lim
n→+∞
un+1
un
=λ.
La s´erie P
un est convergente pour λ <1 et divergente pourλ >1.
5 Produit de deux s´ eries
D´efinition 5 Etant donn´ees deux s´eries num´eriques´ P
un etP
vn,le produit de Cauchy de ces deux s´eries est la s´erie de terme g´en´eralwn= Pn
k=0
ukvn−k.
Th´eor`eme 12 Le produit de CauchyP
wnde deux s´eries num´eriquesP
un etP
vnabsolument convergentes est absolument convergent et :
+∞X
n=0
wn= Ã+∞
X
n=0
un
! Ã+∞
X
n=0
vn
! .
6 La transformation d’Abel
Th´eor`eme 13 (Abel) Soient (un)n∈N une suite r´eelle qui tend vers 0 en d´ecroissant et (αn)n∈N une suite de nombres complexes telle que la suite(An)n∈Nd´efinie par :
∀n∈N, An= Xn
k=0
αk. soit born´ee. Dans ces conditions la s´erie P
unαn est convergente et, en d´esignant par M > 0 un majorant de la suite (|An|)n∈N,on a les majoration des restes :
∀n∈N, |Rn+1|=
¯¯
¯¯
¯
+∞X
k=n+1
αkuk
¯¯
¯¯
¯≤2M un+1. Th´eor`eme 14 Soit(un)n∈Nune suite de r´eels positifs.
1. Si la s´erieP
un est convergente, alors la s´erie P
uneint est absolument convergente pour tout r´eelt.
2. Si la suite (un)n∈Ntend vers 0 en d´ecroissant, alors la s´erieP
uneint est convergente pour tout r´eelt∈R\2πZ.
Th´eor`eme 15 (Abel) Soient et(αn)n∈N et(un)n∈N deux suite de nombres complexes telles que la s´erieP
αn soit conver- gente et la s´erie P
(un+1−un)absolument convergente.
Dans ces conditions la s´erie P
αnun est convergente.
63
