Table of Integrals. Learning Resource Center - Math Center. 1. u dv = uv v du 11. csc ucot u du = csc u + C

Table of Integrals

1.

∫

u dv = uv −

∫

^{v du} _11.

∫

csc ucot u du = − csc u + C

2.

∫

^{un = u}_n+1 ^{n+1 + C, n≠ − 1 12.}

∫

tan u du = lm |sec u | + C

∫

^du

3. _u = ln |u| + C 13.

∫

cot u du = ln |sin u | + C

4.

∫

^{eu = eu + C 14.}

∫

sec u du = ln |sec u + tan u | + C

a^u

5.

∫

^{audu =} _{ln a} ^{+ C 15.}

∫

csc u du = ln |csc u − cot u | + C

6.

∫

sin u du = − cos u + C 16.

∫

^du _{2 2} = sin^{−1 u} _a + C

√^{a −u}

7.

∫

cos u du = sin u + C 17.

∫

a 2^du +u2 ^{= 1} a ^{tan−1 u} a ^{+ C}

8.

∫

^sec2u du = tan u + C 18.

∫

^du _{2 2} ^{= 1} _a^{sec−1 u} _a ^{+ C}

u √^{u −a}

du 1 u+a

9.

∫

csc²u du = − cot u + C 19.

∫

a 2−u 2 = 2aln | u−a | + C

du 1 u−a

10.

∫

sec utan u du = sec u + C 20.

∫

u 2−a 2 ⁼ 2a^{ln |} u+a ^{| + C}

​

FORMS INVOLVING

√a² + u² , a > 0 21.

∫

^{√a2+ u2du = u} ₂^{√a2+ u2+ a}₂ ^{2 ln (u + √a2+ u2) + C}

u a⁴

22.

∫

^{u2√a2+ u2du =} ₈ ^{(a2 + 2u2)√a2+ u2−} ₈ ^{ln (u + √a2+ u2) + C}

2 2 2 2

√^{a +u a+}√^{a +u}

23.

∫

_u du = √a²+ u²− a ln| _u | + C

2 2 2 2

√^{a +u} √^{a +u}

24.

∫

u^{3 du = −} u ^{+ ln(}⁡ u +

√

^{a2+ u2) + C}

25.

∫

du_{2 2} = ln (u + √a²+ u²) + C

√^{a +u}

u²du a²

26.

∫

_{√a 2+u 2} ^{= u} ₂^{√a2+ u2−} ₂ ^{ln (u + √a2+ u2) + C}

du 1 √^{a +u +a} 27.

∫

_{2 2} ⁼⁻ _a^{ln| 2} _u^{2 | + C}

u√^{a +u}

du √^{a +u} 28.

∫

u²√^a ₂^+u ₂ =− _a²2u ² + C

29.

∫

(a 2 ^du +u 2 2 ) 3 ⁼ a²√^{a u} 2^+u2 ^{+ C}

FORMS INVOLVING

√a²− u², a > 0

a² −1

30.

∫

^{√a2− u2du = u} ₂ ^{√a2− u2+} ₂ ^{sin u} _a ^{+ C}

u a⁴ −1

31.

∫

u²√a²− u²du = ₈(2u²− a²)√a²− u²+ ₈ sin _a^u + C

2 2 2 2

√^{a −u a+}√^{a −u}

32.

∫

_u du = √a²− u²− aln | _u | + C

√^{a −u}

33.

∫

_u²2 ^{2 du = 1}u^{√a2 − u2− sin−1 u} a ^{+ C}

u²du a² −1+ C

34.

∫

_{√a2−u 2} ⁼⁻ ₂^{u √a2− u2+} ₂ ^sin

du 1 a+√^{a −u} 35.

∫

₂ ⁼⁻ _a^ln| _u^{2 2| + C}

u√^a2−u

du 1 √a²− u²+ C 36.

∫

u²√^a ₂^−u ₂ =− _a2u

3 2

u 3a⁴ −1

37.

∫

(a² − u²) du =− ₈(2u²− 5a²)√a²− u²+ ₈ sin ^u _a + C

38.

∫

^du 3 = ^u _{2 2} + C

2 2 2 a²√^{a −u}

(a −u )

FORMS INVOLVING √u²− a², a > 0

a²

39.

∫

^√u²− a²du = ^u ₂ √u²− a²− ₂ ln|u + √u²− a²| + C

u a⁴

40.

∫

^{u2√u2− a2du =} ₈ ^{(2u2− a2√u2 − a2−} ₈ ^{ln|u + √u2− a2| + C}

2 2

∫

^{√u −a}

42.

∫

_u2 ^{du =−} u + ln |u + √u²− a²| + C

43.

∫

du_{2 2} = ln|u + √u²− a²| + C

√^{u −a}

u²du a²

44.

∫

_{2 2} ^{= u} ₂^{√u2− a2+} ₂ ^{ln|u + √u2− a2| + C}

√^{u −a}

du √^{u −a} 45.

∫

⁼ _a ²2u

2 + C

2 2

u²√^{u −a}

46.

∫

(u 2 ^du −a 2) 2 3 ⁼⁻ a²√^{u u} 2^−a2 ^{+ C}

FORMS INVOLVING a + bu

∫

^{u du 1}

47. _a+bu = (a + bu − a ln|a + bu|) + C_b2

∫

^{u2du 1 2} − 4 ²

48. _a+bu = _2b3 [(a + bu) a(a + bu) + 2a ln|a + bu|] + C

du 1 u

49.

∫

_u(a+bu) ⁼ _a^ln| _a+bu ^{| + C}

du 1 + ^{b a+bu}

50.

∫

_u 2 _(a+bu) =− _{au a}2 ln| _u | + C

u du a 1

51.

∫

(a+bu)^{2 =} b 2(a+bu) ⁺ b 2 ln|a + bu| + C

du 1 1 a+bu

52.

∫

_u(a+bu)2 = _a(a+bu) − _a2 ln| _u | + C

u²du 1 a²

53.

∫

_(a+bu)2 = (a + bu − b³ a+bu − 2 a ln|a + bu|) + C

2 ₂

54.

∫

u√a + budu = _15b2(3bu − 2a)(a + bu)³ + C

∫

^{u du 2}

55. _√a+bu = _3b2(bu − 2a)√a + bu + C

u²du 2 2+ 3b²

56.

∫

_√a+bu = _15b3 (8a u²− 4abu)√a + bu + C

du 1 √a+bu−√a

57.

∫

_u√a+bu ⁼ _√a ^ln| _√a+bu+√a ^{| + C} if a > 0

2 −1

√

^a+bu

= _√−a tan _−a + C if a < 0

√a+bu du

∫ ∫

+ ₂

59.

∫

_u2 du =− _u +

∫

_u√a+bu

2 n ₂³ − na

∫

uⁿ⁻¹√a + budu]

60.

∫

uⁿ√a + budu = _b(2n+3)[u (a + bu)

u²du 2uⁿ 2na uⁿ⁻¹du

61.

∫

_√a+bu ⁼ _b(2n+1 ⁻ _b(2n+1)

∫

_{√ a+bu}

du √a+bu du

62.

∫

_un√a+bu ⁼ _a(n−1)un−1

∫

_{un−1√a+bu}

TRIGONOMETRIC FORMS

1 1

63. ∫^{sin2udu =} ₂ ^{u −} ₄ ^{sin 2u + C}

1 1

64. ∫^{cos2u du =} ₂^{u −} ₄sin 2u + C 65. ∫^tan2udu = tan u − u + C 66. ∫^cot2u du =− cot u − u + C

67. ∫^{sin3u du =−} ₃ 1^{(2 + sin2}u)cos u + C 68. ∫^{cos3u du = 1}₃^{(2 + cos3}u)sin u + C 69. ∫^{tan3u du = 1}₂ ^tan2u + ln|cos u | + C

1 2

70. ∫^{cot3u du =−} ₂ ^cot u − ln|sin u | + C

71. ∫^{sec3u du = 1} ₂ sec utan u + ¹₂ ln|sec u + tan u | + C

1 1

72. ∫^{csc3u du =−} ₂csc ucot u + ₂ln|csc u − cot u | + C

1 n−1

73. ∫^{sin3u du =−} _n^{sin cos u + n−1} _n ∫^{sinn−2u du}

74. ∫^{cos2u du + 1}_n^{cosn−1usin u + n−1} _n ∫^{cosn−2u du}

1 n−1

75. ∫^{tannu du =} _n−1 ^{tan u −}∫^{tann−2u du}

−1 n−1

76. ∫^{cotnu du =} _n−1 ^{cot u −}∫^{cotn−2u du}

77. ∫^{secnu du =} _n−1 ^{1 tan u secn−1u + n−2} _n−1 ∫^{secn−2u du}

−1 n−2 +

78. ∫^{cscnu du =} _n−1 ^{cot u csc n−2} _n−1 ∫^{cscn−2u du}

sin (a−b)u sin (a+b) u

79. ∫sin ausin bu du = _2(a−b) − _2(a+b) + C

sin (a−b) u sin (a+b) u

80. ∫cos au bu du = _2(a−b) + _2(a+b) + C

cos (a−b) u

− cos (a+b) u

81. ∫sin aucos bu du =− _{2(a−b) 2(a+b)} + C 82. ∫usin u dn = sin u − ucos u + C

83. ∫ucos u dn = cos u + usin u + C + n∫^u−1

84. ∫^unsin u dn =− u²cos u cos u du

− n∫^un−1

85. ∫^uncos u du = uⁿsin u sin u du

n−1 m+1

m sin u cos u + ^{n−1 m}

86. ∫^{sinnu cos u du =−} _{n+m n+m} ∫^{sinn−2u cos u du}

n+1 m−1

sin ucos u −1 m−2

= _n+m + ^m _n+m ∫ ^{sinnu cos u du}

−1 −1 −1

87.

∫

^sin−1u du = u sin u + √1 − u²+ C 92.

∫

^u tan u du = ^u2₂ ⁺¹ tan u ^{− u} ₂ + C

−1 − √1 − u²+ C

∫

^{un −1 1 n+1 −1 −}

∫

^{u du}

88.

∫

^cos−1u du = u sin u 93. sin u du = _n+1 [u sin u ⁿ⁺¹ ], n≠ − 1

√^1−u2

−1 1 −1 1 n+1 −1u +

∫

^un+1du

89.

∫

^tan−1u du = u tan u − ₂ ln (1 + u²) + C 94.

∫

^{uncos u du =} _n+1 ^{[u cos} _√ ^{], n≠ − 1}

1−u²

−1 2u²−1 −1 u√^1−u2 −1 1 n+1 −1 u du

90.

∫

^{u sin u du =} ₄ ^{sin u +} ₄ ^{+ C 95.}

∫

^{untan u du =} _n+1 ^{[u tan u −}

∫

_1+u^{n+1 2 ], n≠ − 1}

−1 2u²−1 −1 u√^1−u2 91.

∫

^{u cos u du =} ₄ ^{cos u −} ₄ ^{+ C}

EXPONENTIAL LOGARITHMIC FORMS

∫

^{ueau 1 au + C}

96. du = (au − 1)e _a2 100.

∫

ln u du = uln u − u + C

au 1 n au − ⁿ

∫

^{un−1 au un+1}

97.

∫

^{une du =} _au e _a ^{e du 101.}

∫

^{unln u du =} _(n+1)2 [(N + 1)ln u − 1] + C

∫

^{eau 1}

98. sin bu du = a^2e+b ^au 2(asin bu − bcos bu) + C 102.

∫

uln u dn = ln|ln u | + C

∫

^{eau eau}

99. cosbu du = _a 2 _+b 2(acos bu + bsin bu) + C

HYPERBOLIC FORMS

103.

∫

sinh u du = cosh u + C 108.

∫

csch u du = ln|tanh 1₂ u | + C 104.

∫

cosh u du = sinh u + C 109.

∫

^sech2u du = tanh u + C 105.

∫

tanh u du = ln cosh u + C 110.

∫

^csch2udu =− coth u + C

106.

∫

coth u du = ln|sinh u | + C 111.

∫

sech utanh u du =− sech u + C

107.

∫

sech u du = tan⁻¹|sinh u | + C 112.

∫

csch ucoth u du =− csch u + C

√2au − u², a > 0

a² −1 a−u

113.

∫

^{√2au − u2du = u−a} ₂ ^{√2au − u2+} ₂ ^{cos (} _a ^{) + C}

2 2 a³

2u −au3a −1 a−u

114.

∫

^{u√2au − u2du =} ₆ ^{√2au − u2+} ₂ ^{cos (} _a ^{) + C}

√2au−u² −1 a−u

115.

∫

_u ^{du = √2au − u2+ a cos (} _a ^{) + C}

√2au−u² 2√2au−u² a−u

116.

∫

_u^{2 du =} _u ^{− cos−1(} _a ^{) + C}

du a−u

117.

∫

_√ ^{= cos−1(} _a ^{) + C}

2au−u²

u du −1 a−u

118.

∫

=− √2au − u²+ a cos ( _a ) + C

√^2au−u2

u²du (u+3a)√2au − u²+ ^{3a −1 a−u} 119.

∫

_√ ⁼⁻ _{2 2} ^{2 cos (} _a ^{) + C}

2au−u²

du √2au−u²

120.

∫

⁼⁻ _au ^{+ C}

u√^2au−u3