1 – Limite à l’infini

Leçon 59

Limite à l’infini d’une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d’une fonction. Exemples. (Calculatrice)

Pré-requis : - Notion de limite finie ou infinie d’une fonction en un point de IR.

Pré-requis : - IR = IR ∪ {± ∞} Pré-requis : - Inégalité triangulaire

Pré-requis : - DL (dans le dernier exemple)

Dans toute la leçon f désigne une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I non borné (i.e ∃ a ∈ IR tel que I = ]–∞, a[ ; I = ]a, +∞[ ou I = ]–∞, +∞[).

1 – Limite à l’infini

a) Limite finie Définition : Soit l∈ IR.

On dit que f a pour limite l en +∞∞∞∞ (ou que f (x) tend vers l lorsque x tend vers +∞) si : (∀ ε > 0) (∃ A ∈ IR) (∀ x ∈ I) x > A ⇒ |f (x) – l | < ε.

On dit que f a pour limite l en –∞∞∞∞ si : (∀ ε > 0) (∃ A ∈ IR) (∀ x ∈ I) x < A ⇒ |f (x) – l | < ε.

Remarque : Tous les résultats suivant seront donnés pour la limite de f en +∞. On aura des résultats analogue en –∞.

Interprétation graphique

Proposition 1 : Si f admet une limite en +∞∞∞∞ alors cette limite est unique.

Preuve : Soit llll et l’l’l’l’ deux limites de f en +∞∞∞∞ ^avec llll≠≠≠≠l’l’l’l’. Soit εεεε ^{= |}llll – l’l’l’l’ | 4 > 0.

Par définition : ∃∃∃∃ A > 0, ∀∀∀∀ ^x ∈∈∈∈ ^I, x > A ⇒⇒⇒⇒ _{|f(x) –} llll | < εεεε

∃∃∃∃ B > 0, ∀∀∀∀ ^x ∈∈∈∈ I, x > B ⇒⇒⇒⇒ _{|f(x) –}l’ l’ l’ l’ | < εεεε

Soit C = max (A, B) > 0, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ I , x > C ⇒⇒⇒⇒ _{|f(x) –} llll _{| <} εεεε et |f(x) – l’ l’ l’ l’ _{| <} εεεε. 0 < |llll – l’ l’ l’ l’ | ≤≤≤≤ ^{|f(x) –} llll | + |f(x) – l’l’l’l’ | < 2εεεε ^{= |}llll – l’ l’ l’ l’ |

2 ⇒⇒⇒⇒ _{0 < |}llll – l’l’l’l’ | < 0. Absurde ! Donc llll = l’l’l’l’, d’où l’unicité. ■

Notation : Si l est la limite de f en +∞, on note lim

x → +∞f (x) = l. Remarque : Si lim

x → +∞f (x) = l alors ∃α > a tel que f est bornée sur [α, +∞[ et si lim

x → –∞f (x) = l alors ∃α < a tel que f est bornée sur ]–∞, α].

Exemple : ♠ f :



^{IR*→ IR} x ^→3x + 1

x

admet 3 comme limite en +∞.

En effet, pour x ∈ IR^*, 3x + 1 x – 3 = 1

x . Soit ε > 0, on pose A = 1

ε ; donc ∀ x ∈ IR^*, x > A ⇒ |f (x) – 3| = 1 x < ε.

b) Limite infinie

Définition : On dit que f admet +∞∞∞∞ (resp. –∞) pour limite en +∞ si :

(∀ B ∈ IR) (∃ A ∈ IR) (∀ x ∈ I) x > A ⇒ f (x) > B (resp. f (x) < B).

On dit aussi que f (x) tend vers +∞∞∞ quand x tend vers +∞ (resp. –∞). ∞ Notation : Dans ce cas, on note lim

x → +∞f (x) = +∞ (resp lim

x → +∞f (x) = –∞).

Remarque : ♣ On a définition analogue pour la limite en –∞ : On dit que f admet +∞∞∞∞ (resp. –∞) pour limite en –∞ si :

(∀ B ∈ IR) (∃ A ∈ IR) (∀ x ∈ I) x < A ⇒ f (x) > B (resp. f (x) < B).

♣ Dans les conditions de ces définitions, f n’est bornée sur aucun intervalle du type [α, +∞[ (resp. ]-∞, α]) et f n’a pas de limite réelle en +∞ (en -∞).

Interprétation graphique

Exemple : ♠ g :



^{IR–{1} → IR} x ^→x² – 1

2x – 2

admet +∞ comme limite en +∞.

En effet, g(x) = (x – 1)(x + 1) 2(x – 1) = x + 1

2 . Donc g(x) > B ⇔ x + 1

2 > B ⇔ x > 2B – 1. On prend A = 2B – 1.

2 – Opérations algébriques

Proposition 2 : Soit g une fonction définie sur I à valeurs dans IR. Si les fonctions f et g admettent pour limites respectives llll et l’l’l’l’ ∈∈∈∈IR en +∞∞∞∞, on a alors :

1. Limite de la fonction f + g.

lim f

lim g l +∞ –∞

l’ l + l’ +∞ –∞

+∞ +∞ +∞ FI

–∞ –∞ FI –∞

2. Limite de la fonction f.g lim f

lim g l ≠ 0 l = 0 +∞ –∞

l’≠ 0 l.l’ 0 sg(l)∞ –sg(l)∞

l’ = 0 0 0 FI FI

+∞ sg(l)∞ FI +∞ –∞

–∞ –sg(l)∞ FI –∞ +∞ 3. Limite de la fonction 1/f ; où f ne s’annule pas à partir d’un certain rang

lim f l ≠ 0 0⁺ 0^– +∞ –∞

lim 1 f

1

l +∞ –∞ 0⁺ 0^–

Remarque : ♣ La fonction sg donne simplement le signe du réel (par exemple, l > 0 ⇒ sg(l) est +).

♣ Les formes indéterminées correspondantes aux cas où l’on ne peut pas répondre directement.

Une indétermination signifie que l’on peut avoir toutes les limites possibles : +∞, –∞, limite finie ou pas de limite. Par exemple pour f + g avec f ^→ +∞ et g ^→ –∞ : (Avec a ∈ IR)

f g f + g limite éventuelle

x² –x

x² – x = x² 

 1 – 1

x +∞

x –x²

x – x² = 



 1

x – 1 x² –∞

x + a –x a a

x cos x – x cos x pas de limite finie

♣ Grâce à la limite d’un produit et à l’inverse, on en déduit la limite d’un quotient de deux fonctions.

Preuve : Les propriétés relatives aux opérations algébriques sont analogues à celles qui concernent les limites en un point réel.

Preuves partielles :

Lim f = +∞∞∞∞ et lim g = +∞∞∞∞^{. Soit} εεεε > 0, alors :

∃∃∃∃ ^A ∈∈∈∈ ^IR, ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ ^{A, f(x)} ≥≥≥≥εεεε ^et ∃∃∃∃ ^B ∈∈∈∈ ^IR, ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ ^{B, g(x)} ≥≥≥≥εεεε^{, d’où} ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ max(A, B), f(x) + g(x) ≥≥≥≥ ²εεεε d’où lim (f + g) = +∞∞∞∞^. Lim f = +∞∞∞∞ et lim g = –∞∞∞∞^{. Soit} εεεε > 0, alors :

∃∃∃∃ ^A ∈∈∈∈ ^IR, ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ ^{A, f(x)} ≥≥≥≥εεεε ^et ∃∃∃∃ ^B ∈∈∈∈ ^IR, ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ ^{B, g(x)} ≤≤≤≤εεεε^,

d’où ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ max(A,B), – f(x) g(x) ≥≥≥≥ ^–εεεε^² ⇔⇔⇔⇔ f(x)g(x) ≤≤≤≤εεεε² donc lim (f g) = –∞∞∞∞^. Lim f = 0 et f > 0. Soit εεεε ^{> 0,} ∃∃∃∃ A > 0, ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ A, |f(x)| ≤≤≤≤εεεε ^donc ∀∀∀∀ ^x ≥≥≥≥ ^A,

f(x)

1 ≥≥≥≥¹εεεε ^{donc 1f→→→→ +} ∞∞∞∞^. ■

Exercice : Montrer que la limite en ±∞ d’une fraction rationnelle est égale à celle du quotient des termes de plus haut degré.

B

A

En déduire la limite en +∞ de f : x ^→4x³ + 3x 2x + 1 .

Solution : Soit g une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes).

g(x) = P(x)

Q(x) = a_nxⁿ + … + a₁x + a₀ b_px^p + … + b₁x + b₀ =

a_nxⁿ



1 + … + a₁ a_n x^n-1 + a₀

a_n xⁿ b_px^p



1 + … + b₁ b_p x^p-1 + b₀

b_p x^p

. Donc lim

x → +∞ g(x) = lim

x → +∞

a_nxⁿ b_px^p .

On en déduit que lim

x → +∞

f (x) = lim

x → +∞

4x³

2x = 2x² = +∞. ♦

3 – Branches infinies

On muni le plan affine euclidien d’un repère orthonormal (O,^→i ,^→j ) et on note Cf la courbe représentative de f dans ce repère.

Soit x0 ∈ IR , une extrémité de l’intervalle I et Mx un point du plan tel que OM^→x = x ^→i + f (x) ^→j .

Interprétation graphique de la fonction inverse

a) Définition

Définition : On dit que Cf admet une branche infinie en x0 si lim

x → x0

||OM^→x|| = +∞.

Si x0 ∈ IR, on dit que Cf admet une branche infinie à gauche (resp. à droite) en x0 si lim

x → x0– ||OM^→x|| = +∞

(resp. lim

x → x0+ ||OM^→x|| = +∞). (i.e suivant que x0 soit l’extrémité droite ou l’extrémité gauche de I) Remarque : ♣ Cette définition ne dépend pas du point O.

En effet, si O’ ∈^P, O’ ≠ O, alors par inégalité triangulaire OO’ + O’Mx≥ OMx ⇔ O’Mx≥ OMx – OO’.

On en déduit que lim

x → x0

||OM^→x|| = +∞ ⇔ lim

x → x0

||O’M^→x|| = +∞.

Proposition 3 : 1) Si x0 ∈∈∈∈ IR, alors Cf admet une branche infinie en x0 si, et seulement si,

x →lim→→→ x0

|f (x)| = +∞∞∞∞.

2) Si x0 ∈∈∈∈ {+∞∞∞∞, –∞∞∞}, alors C∞ f admet toujours une branche infinie en x0.

Preuve : On a OMx = x² + f(x)² ; d’où OMx² = x² + f²(x).

1) On a lim

x →→→→ x0

OMx = x0² + lim

x →→→→ x0

f(x)², donc

x lim→→→→ x0

OMx =+∞∞∞∞ ⇔⇔⇔⇔ ^lim

x →→→→ x0

f(x)² = +∞∞∞∞ ⇔⇔⇔⇔ ^lim

x →→→→ x0

|f(x)| = +∞∞∞∞^. 2) Si x₀∈∈∈∈ ^{{ –}∞∞∞∞^{, +}∞∞∞∞ }. On a lim

x →→→→ x0

OM_x = +∞∞∞∞ ^{(i.e C}f admet une branche infinie en +∞∞∞∞ ^{ou –}∞∞∞∞). En effet,





→→→→

OM_x = x^{→→→→}i + f(x)^{→→→}j ^→ ⇒⇒⇒⇒ _OMx = x² + f(x)² ≥≥≥≥ |x|, et x ^→→→→ ± ∞∞∞∞ achève la démonstration. ■

b) Asymptotes

Définition : On suppose que Cf admet une branche infinie en x0.

Si x0∈ IR, on dit que la droite d’équation x = x0 est asymptote verticale à Cf en x0. Si lim

x → +∞f (x) = l, on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale à Cf en +∞.

Soit (a, b) ∈ IR^* × IR. Si lim

x → +∞

(

)

asymptote oblique à Cf en +∞.

Exemple : Soit la fonction g définie par



^{IR–{-1} → IR} x ^→ 1

1 + x .

On détermine facilement que lim

x → -1⁺ g(x) = +∞ et lim_{x → -1–} g(x) = –∞, donc x = –1 est asymptote verticale à Cf en –1.

De plus, lim

x → ±∞g(x) = 0 ; donc g admet une l’asymptote horizontale en +∞ et –∞ d’équation y = 0.

Représentation graphique de g

Remarque : La courbe représentative de f : x ^→1 x sin 1

x admet (Oy) comme asymptote à droite en 0 mais pourtant f n’a pas de limite à droite en 0.

En effet, montrons par le critère séquentiel que la f n’admet pas de limite en 0. On prend deux suites (xn) et (yn) définies pour n ≥ 1 par : xn = 1

2nπ et yn = 1

π/2 + 2nπ. Ces deux suites convergente bien vers 0, mais pour tout n ≥ 1, f (xn) = 0 et f (yn) = +∞. Ce qui prouve que f n’admet pas de limite en +∞.

Montrons maintenant qu’elle admet bien une asymptote verticale en 0. On a lim

n → ∞

f (y_n) = +∞ ; donc f admet bien une branche infinie par la proposition 3. Finalement f admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

Proposition 4 : Soit a et b deux réels, tels que a ≠≠≠≠ 0.

Si lim

x →→→ +∞→ ∞∞∞

f (x)

x = a et lim

x →→→→ +∞∞∞∞f (x) – ax = b, alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à Cf

en +∞∞∞∞.

Preuve : lim

x →→→→ +∞∞∞∞f(x) – ax = b ⇒⇒⇒⇒ _lim

x →→→→ +∞∞∞∞f(x) – (ax + b) = 0 ⇒⇒⇒⇒ y = ax + b asymptote à Cf en +∞∞∞∞. ■

Exercice : Soit f :



^{IR → IR}

x ^→4x³ – 3x² + 4x – 2 x² + 1

. Montrer que la droite ∆ d’équation y = 4x – 3 est asymptote oblique à Cf en +∞.

Solution : Pas facile de voir l’asymptote à la calculatrice. On calcule f (x) – (4x – 3) = 4x³ – 3x² + 4x – 2

x² + 1 – 4x + 3 = 1

x² + 1^→ 0⁺. Donc ∆ est bien asymptote oblique à la courbe en +∞, en plus on trouve que la courbe se situe au dessus de l’asymptote. ♦

c) Branches paraboliques Définition :

Si lim

x → +∞

f (x)

x = +∞, alors on dit que Cf admet une branche parabolique de direction (Oy) en +∞. Si lim

x → +∞

f (x)

x = 0, alors on dit que Cf admet une branche parabolique de direction (Ox) en +∞.

Si lim

x → +∞

(

)

Exemples : 1) x ^→ e^x ; x ^→ x² 2) x ^→ ln x ; x ^→ x 3) x ^→ 3x + ln x ; x ^→2x + 5 + x x 3x + 2

Exercice : Montrer que Cf avec f :



^{IR → IR} x ^→ x

1 + e^1/x

admet une asymptote en –∞ et +∞.

Solution : On utilise la proposition 4. En effet, f (x) x = 1

1 + e^1/x ⇒ lim

x → +∞

f (x) x = 1

2. On a donc trouvé le nombre a non nul de cette proposition. On continue

On a pu utiliser le développement limité de l’exponentielle au voisinage de 0 car 1/x tend justement vers 0 lorsque x → ∞. Ceci nous donne alors

On trouve ainsi le nombre b de la proposition 4, qui nous permet donc d’affirmer que la droite D d’équation y = 1 2 x – 1

4 est asymptote oblique à C_f en +∞. Il se trouve que les calculs donnent le même résultat pour –∞, et on peut donc dire que D est asymptote oblique à Cf en ±∞.

Pour la position, il suffit de calculer lim

x → +∞ f (x) – x 2 + 1

4, et de comparer avec 0. ♦

Définition : Soit a ∈ IR^*. Si lim

x → +∞

f (x)

x = a, et f (x) – ax n’a pas de limite en +∞, alors Cf admet une direction asymptotique y = ax.

Exemple : f : _^IR ^→ IR

x ^→ x + sin x.

3 – Compléments

Théorème de comparaison et d’encadrement

Récapitulatif des branches infinies

f(x) n’a pas de limite f(x)

x n’a pas de limite pas de conclusion f(x) = x sin x

lim

x → +∞

f(x)

x = 0 direction

asymptotique (Ox) f(x) = sin x

lim

x → +∞f(x) = b asymptote

horizontale y = b f(x) = 3x + 1 x

lim

x → +∞f(x) = ±∞ f(x)

x n’a pas de limite pas de conclusion f(x) = x(sin x+2)

lim

x → +∞

f(x)

x = a f(x) – ax n’a pas de limite

direction

asymptotique y = ax f(x) = 2x + cos x

lim

x → +∞

f(x) – ax = ±∞ branche parabolique

de direction y = ax f(x) = x – ln x

lim

x → +∞f(x) – ax = b asymptote oblique

y = ax + b f(x) = 3x² + 1 x + 1

lim

x → +∞

f(x)

x = ±∞ branche parabolique

de direction (Oy) f(x) = x³ + 1 x – 2