Début de TS Plan d’étude d’une fonction

(1)

Début de TS Plan d’étude d’une fonction

➀

Ensemble de définition

« ^{f x}

 

existe si et seulement si ……… » ou « ^{f x}

 

existe  ……… » A

B existe si et seulement siB0 A existe si et seulement si A0

➁

Parité - Périodicité

Fonction paire Fonction impaire

Df centré en 0

 x Df ^f



^^x



^ ^{f x}

 

Df centré en 0

 x Df ^f



^^x



^{ }^{f x}

 

Cf admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie dans un repère orthogonal.

Cf admet l’origine du repère pour centre de symétrie dans un repère quelconque.

Etude sur Df  ^*_

f est périodique de période T



^T ^⁰



^lorsque

 

   

f f

f

x D x T D

x D f x T f x

   



   



Etude sur un intervalle d’amplitude T

Cf est globalement invariante par la translation de vecteur T i .

➂

Dérivabilité ; dérivée Justifier la dérivabilité

 

f x ^{f ' x}

 

k (k) 0 xn (n*) n xⁿ^¹

1

xn (n*) ⁿ_n ₁ x ^



x 1

2 x

cosx sinx

sinx cosx

uv u' v'

ku ku'

uv u' v uv' un(n*) nu' uⁿ^¹

1

un ⁿ ¹

nu' u ^



u

v ²

u' v uv' v



(2)

Si ^{g x}

 

^ ^{f ax b}



^



^{, alors}^{g ' x}

 

^{ }^a ^{f ' ax b}



^



^.



^{ax b '}^



^₂ _{ax b}^a_

 



^cos ^{ax b}^



^'^{ }^a^sin

^

^{ax b}^

^

 



^sin ^{ax b}^



^'^^a^cos



^{ax b}^



➃

Signe de la dérivée

 Principe de LAGRANGE (le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction)

 Signe de ax b

 Signe de ax²bxc



^a^⁰



 0 du signe de a

 0 du signe de a à l’extérieur des racines

 Si f ' x

 

0 0, alors Cf admet une tangente horizontale au point de coordonnées



^x⁰^;^{f x}

 

⁰



^.

➄

Limites

 

lim ⁿ

x x

  

 

lim ⁿ

x x

     si n est pair ; _x^lim_{  }

 

^xⁿ ^{ } si n est impair lim

x x

  

lim 1_n 0

x^ x

 

 

 

lim 1_n 0

x^{  }x 

lim 1 0

x^ x  ;

0

lim 1_n

x^ x   si n est pair

0

lim 1_n

x^ ^ x   si n est impair ;

0

lim 1_n

x^ ^ x   si n est impair

(3)

Si f a pour limite m m m   

Si g a pour limite n     

Alors f ga pour limite mn     F.I.

Si f a pour limite m m0 m0 m0 m0    0

Si g a pour limite n         ou 

Alors f ga pour limite m n       ^. F.I.

Si f a pour limite

m m    

0 m

ou



0 m

ou



0 m

ou



0 m

ou





ou



0 Si g a

pour limite

0 n



ou



0

n n0 n0 n0

0 en restant positif

0 en restant négatif

0 en restant positif

0 en restant négatif



ou



0 Alors

f g a pour limite

m

n 0         F.I F.I

Fonctions polynômes et rationnelles non nulles en ou en  : règle sur les monômes de plus haut degré La limite d’une fonction polynôme non nulle en  ou en  est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

La limite d’une fonction rationnelle non nulle en ou en  est égale à la limite du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré.

4 types de F.I. cette année :

«    », « 0  », « ^

 », « ⁰ 0 » (mais pas «    » !)

Branches infinies ; asymptotes

Lorsque La courbe Cf admet la droite  d’équation 1°) Asymptote horizontale ^lim

 

x f x a

  ^y^^a pour asymptote horizontale en +

2°) Asymptote verticale ^lim

 

^ou

x a f x

     xa pour asymptote verticale

3°) Asymptote oblique

   

lim 0

x f x ax b

    ou

   

lim 0

x f x ax b

   

yax b pour asymptote oblique en + ou en – 

N.B. : on peut voir une asymptote oblique + ou en –  ou les deux

➅

Tableau de variations Variations, limites, extremums

N.B. : Dans un tableau de variation, on laissera toujours les valeurs exactes.

(4)

➆

Tangente à Cf au point d’abscisse x₀

 

0 0

  

0

y f ' x xx  f x

( f ' x

 

0 coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x₀)

➇

Centre et axe de symétrie Centre de symétrie



^{a b}^;





   

est centré en

Pour tout réel tel que , on a

2

f

D a

f a h f a h

h a h D b



   

  



Axe de symétrie

: x a

 

   

est centré en

Pour tout réel tel que , on a

f

D a

h a h D f a h f a h



     



➈

Courbe représentative

 Tangentes horizontales

 Asymptotes

 Respecter les unités

4 « trucs » à ne pas confondre

f ^{f x}

 

Df Cf

la fonction l’image de x par f l’ensemble de définition la courbe

variation/monotonie (croissante, limites centré en a position décroissante, monotone) relative

(au-dessus/au-dessous) parité (paire/impaire) tangente

extremum (minimum ; maximum) asymptote valeurs positives, négatives branche infinie limite axe/centre de symétrie majorant, minorant (majorée, minorée, bornée)

ensemble de définition (f est définie sur …)

dérivable (f est dérivable en … / f est dérivable sur …) fonction constante

périodique (période)

Attention : les mots « supérieur » et « inférieur » ne s’emploient pas avec le mot « courbe ».

(5)

Fonctions associées

Le plan est muni d’un repère



^{O, ,}^{ }^{i j}



^.

 Si ^{g x}

 

^ ^{f x a}



^



^^b, alors on passe de Cf à Cg par la translation de vecteur ai b j  .

 Si ^{g x}

 

^{ }^{f x}

 

et que le repère est orthogonal, alors on passe de Cf à Cg par la symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses.

 Si ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

et que le repère est orthogonal, alors on passe de Cf à Cg en conservant la partie de Cf située au-dessus de l’axe des abscisses et en effectuant la symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses de la partie située au-dessous de l’axe des abscisses.

 Si ^{g x}

 

^ ^f



^^x



et que le repère est orthogonal, alors on passe de Cf à Cg par la symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées.

 Si ^{g x}

 

^^{k f x}

 

, alors on obtient Cg en multipliant par k les ordonnées de tous les points de Cf.

Fonctions composées

f et g sont deux fonctions.



^g^o^f

 

^x ^^{g f x}^_

 

^_



^g^o^f

 

^x existe si et seulement si

 

f

g

x D f x D

 



 



.

Sens de variation et opérations algébriques sur les fonctions

La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle I est croissante sur I.

La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle I est décroissante sur I.

Le produit de deux fonctions croissantes qui sont à valeurs positives sur un intervalle I est croissante sur I.

Le produit de deux fonctions décroissantes qui sont à valeurs positives sur un intervalle I est décroissante sur I.

u est une fonction définie sur un intervalle I et k est un réel.

La fonction v définie par ^{v x}

 

^^{u x}

 

^^k a le même sens de variation que u sur I

La fonction v définie par ^{v x}

 

^{ }^{k u x}

 

a le même sens de variation que u sur I si k 0et le sens de variation contraire de u si k0.

u est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J ; v est une fonction définie sur l’intervalle J à valeurs dans .

Si u et v ont le même sens de variation, alors v o u est croissante sur I.

Si u et v ont des sens de variation contraire, alors v o u est décroissante sur I.

(6)

Fonction majorée, minorée, bornée

f est minorée sur D signifie qu’il existe un réel m tel que  x  ^{f x}

 

^^m^.

(On dit alors que m est un minorant de f sur D)

f est majorée sur D signifie qu’il existe un réel M tel que  x  ^{f x}

 

^^M^.

(On dit que M est un majorant de f sur D).

f est bornée sur D signifie que f est majorée et minorée sur D c’est-à-dire qu’il existe deux réels m et M tels que  x  ^m^ ^{f x}

 

^^M ^.

On peut aussi dire que f est bornée sur D signifie qu’il existe un réel M positif ou nul tel que x D

  ^{f x}

 

^^M ^.

Méthode pour démontrer qu’une fonction est bornée Il faut encadrer f par deux nombres fixes.

Exemples :

Fonctions sinus et cosinus x

   1 cosx1 et  x   1 sinx1.

Fonctions monotones

 Fonction monotone sur un intervalle I : fonction qui ne change pas de sens de variation sur I c’est-à-dire fonction croissante ou décroissante sur I.

 Fonction strictement monotone sur un intervalle I : fonction strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues

Définition ( )

' ' '

ax by c S a x b y c

 



 



(a, b, c, a’, b’, c’ sont des réels appelés les coefficients du système) Interprétation

géométrique

Si



^{a b}^;

 

^ ^{0 ; 0}



^et



^a^{' ; '}^b

 

^ ^{0 ; 0}



, intersection des droites :

D axbyc et

' : ' ' '

D a x b y c

dans le plan muni d’un repère

Déterminant

det ' '

' '

S a b ab a b

a b

    

 Si  0, alors il y a un unique couple solution

 Si  0, il y a soit aucun couple solution

soit une infinité de couples solutions

Méthodes de résolution par le calcul

substitution

combinaison linéaire

Dans les 2 cas, on procède par équivalence donc il n’y a pas de vérification à faire.