UNITES ET GRANDEURS

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UNITES

ET GRANDEURS

1-Introduction

Les scientifiques utilisent des unités pour

évaluer leurs mesures. Au cours du temps, divers systèmes d’unités ont été inventés et utilisés.

Aujourd’hui, le « système international » est le seul valide, mais d’autres sont encore en usage, pour des raisons pratiques ou historiques.

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2-Définitions :

• Une grandeur est une dimension qui peut être estimée ou mesurée.

• Une unité est une grandeur prise comme base de comparaison avec des grandeurs de même espèce.

• L’unité (le mètre, le kilogramme, la seconde) est un étalon de grandeur (longueur, masse, temps).

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3-Définitions des unités fondamentale du SI

• Définition du mètre adoptée en 1983 :

• Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une

durée de 1/299 792 458 de seconde.

• Il en résulte que la vitesse de la lumière dans le vide est égale a 299 792 458 mètres par

seconde

• exactement, c0 = 299 792 458 m/s.

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Définition du kilogramme :

• Le kilogramme est actuellement defini comme la masse d’un cylindre en platine iridié (90 % de platine et 10% d’iridium) de 39 mm de

diamètre et 39 mm de haut déclare unité SI de masse

• depuis 1889 par le Bureau international des poids et mesures (BIPM).

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Définition de la seconde adoptée en 1967

• La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la

• transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

• Il en résulte que la fréquence de la transition hyperfine de l'etat fondamental de l'atome de césium est égale a 9 192 631 770 hertz exactement, (hfs Cs) = 9 192 631 770 Hz.

• Lors de sa session de 1997, le Comite international a confirme que :

• Cette définition se réfère a un atome de césium au repos, a une température de 0 K.

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Définition de l’ampère adoptée en 1948

• L'ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs

parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide,

produirait entre ces conducteurs une force

égale à 2 . 10–7 newton par mètre de longueur.

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Définition du kelvin adoptée en 1967

• Le kelvin, unité de température

thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du

point triple de l'eau.

• Il en résulte que la température

thermodynamique du point triple de l'eau est égale a 273,16 kelvins exactement, Ttpw =

273,16 K.

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Définition de la mole

• La mole est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités

élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son symbole est

« mol ».

• Il en resulte que la masse molaire du carbone 12 est egale a 0,012 kilogramme par mole

• exactement, M(12C) = 12 g/mol.

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Définition de la candela adoptée en 1979

• La candela est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un

• rayonnement monochromatique de fréquence 540 x 1012 hertz et dont l'intensité énergétique

• dans cette direction est 1/683 watt par stéradian.

• Il en résulte que l'efficacite lumineuse spectrale d'un rayonnement monochromatique de

frequence 540 x 1012 hertz est egale a 683 lumens par watt soit K = 683 lm/W = 683 cd sr/W.

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Angle plan radian rad

• C’est quoi le radian?

• On ajoute à ce système l’unité d’angle, qui est le « radian »

• Sur un cercle, un angle de ¹radian est l’angle soutenu par une portion de circonférence

égale au rayon du cercle

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L’analyse dimensionnelle

I/ Principe :Effectuer une analyse dimensionnelle permet de trouver la dimension d’une grandeur c’est-à-dire de savoir si

cette grandeur est une longueur (donc si elle s’exprimera en mètre dans le SI), un temps (donc si elle s’exprimera en seconde dans le SI) etc. En pratique, l’analyse dimensionnelle d’une grandeur va

permettre de trouver son unité.

Le choix des sept grandeurs de base n'est pas unique, et les physiciens ont adopté sept grandeurs de base du système international :

la masse, la longueur, le temps, l'intensité électrique, la température thermodynamique, l'intensité lumineuse et la quantité de matière

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Equations aux dimensions

• Dans une relation entre grandeurs, on remplace chaque terme par la grandeur fondamentale correspondante L pour une longueur, M pour une masse, T pour un temps, I pour une intensité électrique…

• On obtient ainsi l’équation aux dimensions.

• Cette équation permet :

• · De déterminer l’unité composée d’une grandeur en fonction des grandeurs fondamentales.

• · De tester si une formule est homogène.

• · De faire des conversions d’unités.

• L’équation aux dimensions permet de contrôler la validité d’une formule. Par exemple, une vitesse est exprimée

• en km par heure. C’est une longueur divisée par un temps

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2-sept grandeurs de base du système international

Grandeur Symbole dimensionnel

masse M

longueur L

temps T

intensité électrique I

température θ

intensité lumineuse J quantité de matière N

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Deux règles principales sont à respecter

• Dans les expressions littérales, on peut remplacer les grandeurs par leurs unités. L’unité de la grandeur sera notée : [grandeur]. Ex : [tension] = V ou [distance] = m etc.

• Remarque : en toute rigueur, la notation [grandeur]

désigne la dimension de la grandeur (pas exactement son unité...).

• Lors d’analyses dimensionnelles, le chiffre 1 est synonyme de « sans unité ».

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Ecriture d'une équation aux dimensions

• Soit G une grandeur physique. Sa dimension est notée [G]. Par exemple, si G est une

longueur, on écrira :

• L'équation aux dimensions d'une vitesse v est :

  ^G ^ ^L

  ^v ^ ^LT ^ ¹

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• On en déduit l'écriture générale de l'équation aux dimensions de la grandeur G:

• L'équation aux dimensions d'une grandeur G sans dimension se recuit à :

•

  ^G ^ ^M

^¹

^L

^ ²

^T

^ ³

^I

^ ⁴

^

^ ⁵

^J

^ ⁶

^N

^ ⁷

  ^G ^ ¹

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Théorème

• Toute équation non homogène est nécessairement

Fausse

.

• Toute équation homogène est juste, sinon pertinente.

Définition

• Lorsque les dimensions à droite et à gauche de l’équation sont identiques, on dit que cette

équation est homogène.

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Exemple

• Retrouver dans quelles unités SI s’exprime une force ?

• La physique nous dit qu’une force est le produit d’une masse par une

accélération, soit F = m γ

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Solution

• D’autre part, une accélération est une vitesse par unité de temps :

m/s

² sa dimension est [γ ] ⁼L.T ^-2

• En combinant avec la masse, on obtient, pour la force :

[F] = M. L.T ^-2.

• La force s’exprime donc en kilogramme .mètre par seconde et par seconde ( kg. m. s-²).

• On retrouve cette valeur dans le tableau des unités dérivées.

• Cette unité compliquée, le kilogramme mètre par seconde et par seconde s’appelle le Newton(N), en l’honneur de ce grand homme

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Exemple 2

• Quelle est l’unité de Pi (π)?

• Solution

• On sait que la circonférence d’un cercle est

donné par C = 2π .r ; r étant le rayon du cercle.

• On en déduit aisément que la dimension de Pi est L/L, soit 1. Pi est un nombre sans

dimension

4 cour de metrologie 20

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Exercice d’application

• Ecrire l'équation aux dimensions des grandeurs suivantes.

• 1. Le champ de pesanteur g.

• 2. Une pulsation ω.

• 3. Une masse volumique ρ.

• 4. Une charge électrique Q.

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