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T T Si T Si

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

E 668. Bataille terrestre.

La bataille terrestre se joue sur un terrain carré de n x n cases [n > 3].

Zig et Puce ont chacun une grille n x n non visible de l’adversaire.

Puce a un tank matérialisé par un carré de 3 x 3 cases qu’il pose sur sa grille.

Zig doit toucher le tank par un tir sur l’une des 9 cases du tank.

Le jeu se déroule en un ou plusieurs tours, chaque tour (sauf le dernier) ayant deux phases : Phase 1 : Zig tire sur une case. Si le tank de Puce est touché, la partie s’arrête, Zig a gagné.

Sinon on passe à la

Phase 2 : Puce translate son tank d’une case selon l’une des 4 directions (N, S, E, O) sans sortir du terrain.

Q1. Lorsque n prend respectivement les valeurs {4, 5, 6, 7, 8} trouver pour Zig des stratégies gagnantes en un nombre fini de tirs.

Q2. Si n = 9, Zig a t-il une stratégie gagnante en un nombre fini de tirs ? Solution proposée par Michel Lafond :

Q1. Repérons la position du tank par sa case centrale (désignée par une croix).

Si n = 4 (Figure 4) Zig a une stratégie en un coup, car il est évident que le tir T touche le tank de Puce.

T

Si n = 5 (Figure 5) Zig a une stratégie en un coup, car il est évident que le tir T touche le tank de Puce.

T

Si n = 6 (Figure 3) Zig a une stratégie en 4 coups commençant par le tir T1 de la figure 6-1.

T1

Si ce tir n’a pas touché le tank, c’est que celui-ci était dans l’une des 7 positions de la figure 6-2 Figure 4

Figure 5

Figure 6-1

(2)

T1

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Puce bouge alors son tank qui peut maintenant être dans l’une des 12 positions de la figure 6-3 :

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Zig effectue alors le tir T2 (case grisée de la figure 6-3).

Ou bien il touche le tank, ou bien celui-ci était dans l’une des 5 positions de la figure 6-4 :

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Puce bouge alors son tank qui peut maintenant être dans l’une des 9 positions de la figure 6-5 :

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Zig effectue alors le tir T3 (case grisée de la figure 6-5).

Ou bien il touche le tank, ou bien celui-ci était dans l’une des 2 positions de la figure 6-6 : Figure 6-2

Figure 6-3 et le tir T2 (grisé)

Figure 6-4

Figure 6-5

Et le tir T3 (grisé)

(3)

Puce bouge alors son tank qui peut maintenant être dans l’une des 5 positions de la figure 6-7 :

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 

Zig effectue alors le tir T4 (case grisée de la figure 3-7) en étant certain de le toucher.

En résumé, les 4 tirs de la figure 6-8 constituent une stratégie gagnante lorsque n = 6.

T1 T2

T3 T4

Si n = 7 (Figure 7) Zig a une stratégie en 6 coups commençant par le tir T1 de la figure 7-1.

T1

Si ce tir n’a pas touché le tank, c’est que celui-ci était dans l’une des 14 positions de la figure 7-2 Figure 6-6

Figure 6-7 Et le tir T4 (grisé)

Figure 6-8

Figure 7-1

(4)

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Puce bouge alors son tank qui peut maintenant être dans l’une des 20 positions de la figure 7-3 : Les figures suivantes montrent les emplacements des tirs successifs :

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Positions possibles après le tir T1 et le déplacement de Puce. Tir T2 (gris)

Positions possibles après le tir T2 et le déplacement de Puce. Tir T3 (gris)

Positions possibles après le tir T3 et le déplacement de Puce. Tir T4 (gris)

Figure 7-3 Figure 7-4 Figure 7-5

T1 T2

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T3 T4

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T5 T6

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Positions possibles après le tir T4 et le déplacement de Puce. Tir T5 (gris)

Positions possibles après le tir T5 et le déplacement de Puce. Tir T6 (gris)

Résumé :

stratégie gagnante de Zig dans le cas n = 7

Figure 7-6 Figure 7-7

Pour n = 8, c’est plus compliqué et je propose la stratégie en 17 coups détaillée ci-dessous : Il y a peut-être une stratégie plus rapide.

Figure 7-2

(5)

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Tir T1 Positions possibles après le tir T1 et le déplacement de Puce.

Tir T2 (gris)

Positions possibles après le tir T2 et le déplacement de Puce.

Tir T3 (gris)

Figure 8-1 Figure 8-2 Figure 8-3

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Positions possibles après le tir T3 et le déplacement de Puce.

Tir T4 (gris)

Positions possibles après le tir T4 et le déplacement de Puce.

Tir T5 (gris)

Positions possibles après le tir T5 et le déplacement de Puce.

Tir T6 (gris)

Figure 8-4 Figure 8-5 Figure 8-6

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Positions possibles après le tir T6 et le déplacement de Puce.

Tir T7 (gris)

Positions possibles après le tir T7 et le déplacement de Puce.

Tir T8 (gris)

Positions possibles après le tir T8 et le déplacement de Puce.

Tir T9 (gris)

Figure 8-7 Figure 8-8 Figure 8-9

(6)

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Positions possibles après le tir T9 et le déplacement de Puce.

Tir T10 (gris)

Positions possibles après le tir T10 et le déplacement de Puce.

Tir T11 (gris)

Positions possibles après le tir T11 et le déplacement de Puce.

Tir T12 (gris)

Figure 8-10 Figure 8-11 Figure 8-12

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Positions possibles après le tir T12 et le déplacement de Puce.

Tir T13 (gris)

Positions possibles après le tir T13 et le déplacement de Puce.

Tir T14 (gris)

Positions possibles après le tir T14 et le déplacement de Puce.

Tir T15 (gris)

1 12

2 11 4 3

14 5 9 6

13

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10 15 8 16 7

17

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Positions possibles après le tir T15 et le déplacement de Puce.

Tir T16 (gris)

Positions possibles après le tir T16 et le déplacement de Puce.

Tir T17 (gris)

Résumé de la stratégie gagnante dans le cas n = 8 (ordre et emplacements des tirs) Q2. Je ne vois pas comment Zig pourrait gagner dans le cas n = 9, mais je n’ai pas de preuve d’une absence de stratégie gagnante.

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