Dans un triangle, l'homothétie de centre G et de rapport – 1/2 envoie le triangle sur le triangle des milieux.
Il est donc facile de voir (si le triangle n'est pas équi- latéral...) que les points H, O, M, N et G sont situés sur une droite, comme sur la figure ci-contre, avec 3OG = OH et avec N milieu de OH et de GM.
Soit I un point quelconque non situé sur la droite OH ; il suffit de calculer MI1 en utilisant la puissance de M par rapport au cercle GI1I, puis de vérifier les cocyclicités demandées en considérant les puissances de M par rapport aux cercles IGO, IGH et IGN.
(Le point I n'a donc pas d'importance en tant que centre du cercle inscrit... Mais il reste à voir que ce centre est sur la droitre OG lorsque le triangle est isocèle.)
[Cf. par exemple : https://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml]
