Si on pose B = A−µId on a donc BrY0 = 0

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MT241. Cours n^o 24, vendredi 20 d´ecembre 2002.

Rappel: exponentielle de matrice; on a e^A+B = e^Ae^B quand AB = BA.

Remarque. Pour tout s scalaire on a e^s^I^d = e^s Id.

Solution deY⁰ = AY,Y(0) = Y0 quand la donnée initialeY0appartient à un sous-espace caractéristique de A

On suppose que (A−µI_d)^rY₀ = 0, où r est un entier ≥ 1, et on veut résoudre l’équation Y⁰ = AY avec la condition initiale Y(0) = Y0. Si on pose B = A−µId on a donc B^rY₀ = 0; on écrit tA = µtI_d +tB; on a e^tA = e^µtI^de^tB et la solution est donnée par Y(t) = e^tAY0 c’est à dire

Y(t) = e^µt¡

Y0+tBY0+ t²

2 B²Y0+· · ·+ t^r−1

(r−1)!B^r−1Y0

¢.

Exemple trait´e.

A =



 0 1 0

0 0 1

−1 −3 −3





On voit que χA = (−1)³(X + 1)³. Si on pose B = A + I3 on aura B³ = 0, donc e^tA= e^−t^I³^+t^B = e^−t¡

I3+tB + t² 2 B²¢

.

Stratégie générale pour la résolution

On pose K = C, on considère une matrice A ∈ M_d(C) dont le polynôme carac- téristique est factorisé en

χA = (−1)^d(X−µ1)^r¹. . .(X−µk)^r^k

oùµ1, . . . , µk est la liste sans répétition des racines deχA, et oùrj ≥1 est la multiplicité de la racine µj, pour j = 1, . . . , k.

On décompose une donnée initiale générale Y0 ∈ C^d en somme de vecteurs des sous-espaces caractéristiques de A, définis par F_µ_j = ker (A−µ_jI_d)^r^j. On a vu dans le chapitre précédent que

C^d = F_µ₁ ⊕ · · · ⊕F_µ_k. On ´ecrit donc

Y₀ = Xk

j=1

Y_0,j

avec Y0,j ∈ Fµj. Pour chaque j on trouve t → Yj(t) telle que Y_j⁰(t) = A Yj(t) et Y_j(0) = Y_0,j en utilisant la méthode du paragraphe précédent, et on trouve la solution voulue en posant

Y(t) = Xk

j=1

Yj(t).

En effet, Y est solution de Y⁰ = AY par linéarité et sa valeur pour t = 0 est bien le vecteur Y0 donné.

Pour pouvoir appliquer cette stratégie il reste à donner des moyens pour calculer la décomposition d’un vecteur Y0 suivant les espaces caractéristiques de A.

1

(2)

Utilisation de polynˆomes de matrices

On rappelle que χA(A) = 0. Dans beaucoup d’exemples il est possible de trouver des polynômes de degré plus petit que le degré de χA et qui annulent A, conduisant à des calculs plus simples.

Polynˆome minimal

Désignons par k0 le plus petit degré possible pour un polynôme non nul P ∈ K[X]

tel que P(A) = 0.

Lemme. Si P∈K[X] de degr´e k₀ annule A et si S(A) = 0, alors P divise S.

D´emonstration. On effectue la division euclidienne de S par P S = PQ + R

o`u deg R<deg P (en adoptant la convention deg 0 = −∞pour traiter le cas o`u le reste R de la division est nul). On a alors, compte-tenu de S(A) = P(A) = 0

0 = S(A) = P(A)Q(A) + R(A) = R(A).

Puisque R(A) = 0 et que deg R< k0 = deg P, le polynˆome R ne peut pas ˆetre non nul.

On a donc R = 0, ce qui montre que P divise S.

En particulier, si P₁ et P₂ sont des polynômes unitaires de ce degré minimalk₀ tels que P1(A) = P2(A) = 0, on en déduit que P1 divise P2 et P2 divise P1, ce qui entraˆıne P₁ = P₂. Ceci justifie la définition suivante.

Définition.On appelle polynôme minimal de Alepolynôme unitaire du plus petit degré possible qui annule A. On le note MA (cf. Liret-Martinais).

D’après ce qui précède, tout polynôme S qui annule A est multiple du polynôme minimal M_A de la matrice A.

Proposition. Toute racine complexe de χ_A est racine de M_A.

Démonstration. Si χ_A(µ) = 0, on peut trouver un vecteur Z ∈ C^d non nul tel que AZ =µZ, et il en résulte que P(A) Z = P(µ) Z pour tout polynôme P. En particulier,

0 = MA(A) Z = MA(µ) Z donc MA(µ) = 0 puisque Z6= 0.

Projecteurs sur les sous-espaces caract´eristiques

On va utiliser la d´ecomposition des fractions rationnelles. Supposons pour simplifier que χ_A poss`ede trois racines, et soit P un diviseur de χ_A qui annule A,

P = (X−µ₁)^t¹(X−µ₂)^t²(X−µ₃)^t³.

On suppose pour j = 1,2,3 que 1 ≤ t_j ≤ r_j = m(µ_j), la multiplicité de µ_j comme racine du polynôme caractéristique χA. On sait, d’après la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, qu’on peut écrire

1

P = C₁

(X−µ1)^t¹ + C₂

(X−µ2)^t² + C₃ (X−µ3)^t³ 2

(3)

o`u C1,C2,C3 sont des polynˆomes, tels que deg Cj < tj. En multipliant par P on trouve la relation

1 = C1(X−µ2)^t²(X−µ3)^t³ + C2(X−µ1)^t¹(X−µ3)^t³ + C3(X−µ1)^t¹(X−µ2)^t²

= L₁+ L₂+ L₃ avec

L1 = C1(X−µ2)^t²(X−µ3)^t³; L2 = C2(X−µ1)^t¹(X−µ3)^t³ et L₃ = C₃(X−µ₁)^t¹(X−µ₂)^t². On remarque que L₁(X−µ₁)^t¹ = C₁P donc

L₁(A)(A−µ₁I_d)^t¹ = C₁(A)P(A) = 0 et de mˆeme Lj(A)(A−µjId)^t^j = 0 pour j = 2,3. On voit aussi que

L1L2 = C1C2(X−µ1)^t¹(X−µ2)^t²(X−µ3)^2t³ = C1C2(X−µ3)^t³P

est multiple de P, donc L1(A)L2(A) = 0 et de mˆeme Li(A)Lj(A) = 0 si i6=j. Si on pose P_i = L_i(A) on aura

Id = P1+ P2+ P3

et

P1 = P1P1+ P2P1+ P3P1 = P1P1

ce qui montre que P1 est un projecteur, ainsi que P2 et P3. D´esignons par Gj le sous- espace de C^d image du projecteur Pj. Comme

X = P1X + P2X + P3X

pour tout vecteur X∈C^d on voit queC^d = G₁+ G₂+ G₃, doncd ≤dim G₁+ dim G₂+ dim G3.

Puisque (A−µjId)^t^jLj(A) = 0 pour j = 1,2,3 on voit que Gj est contenu dans l’espace caract´eristique F_µ_j = ker(A−µ_jI_d)^r^j, donc dim G_j ≤r_j. Puisquer₁+r₂+r₃ =d, on en d´eduit que dim Gj =rj, donc Gj = Fµj pour chaque j.

Exemple trait´e.

A =





2 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0



.

Chercher la solution telle que Y(0) = (0,0,1,0).

Solution. On a χA = (X + 1)(X−1)²(X−3) et on v´erifie que le sous-espace propre cor- respondant `a la racine doubleµ= 1 est de dimension 1, donc A n’est pas diagonalisable.

On trouve que

1

χA = c−1

X + 1 + C1

(X−1)² + c3

X−3 o`u c−1 =−1/16, C1 =−1/4 et c3 = 1/16; on a donc

1 =− 1

16(X−1)²(X−3)− 1

4(X + 1)(X−3) + 1

16(X + 1)(X−1)². 3

(4)

On introduit les trois projecteurs P−1 =c−1(A−I4)²(A−3 I4), P1 =c1(A+I4)(A−3 I4), P3 =c3(A + I4)(A−I4)². Le calcul donne

P−1 =





0 0 0 0

0 0 1/2 −1/2 0 0 −1/2 1/2



, P1 =





1/2 −1/2 −1/4 −1/4

−1/2 1/2 −1/4 −1/4

0 0 1/2 1/2



,

et

P3 =





1/2 1/2 1/4 1/4 1/2 1/2 1/4 1/4

0 0 0 0



.

On d´ecompose la donn´ee initiale Y0 en utilisant ces projections,

(0,0,1,0) = (0,0,1/2,−1/2) + (−1/4,−1/4,1/2,1/2) + (1/4,1/4,0,0) = V−1+ V1+ V3. On trouve finalement, apr`es avoir calcul´e W1 = (A−I4)V1 = (1/2,−1/2,0,0)

Y(t) = e^−tV−1+ e^t(V1+tW1) + e^3tV3

soit encore

y1(t) = e^t(−1/4 +t/2) + e^3t/4 y2(t) = e^t(−1/4−t/2) + e^3t/4 y3(t) = e^−t/2 + e^t/2

y₄(t) =−e^−t/2 + e^t/2.

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