07/10/2005 Terminale ES 2 M.WEISLINGER
FICHE M ´ETHODE :LE SECOND DEGR ´E
• LES BASES :soita6= 0. On appelle :
– Trinˆome du second degr´e ,l’expression :ax2+bx+c.
– Equation du second degre, toute ´equation se ramenant `a la forme :ax2+bx+c= 0.
– In´equation du second degr´e, toute in´equation se ramenant `a la forme : ax2+bx+c > 0(ou >0 ou 60 ou
<0).
– Fonction polynˆome du second degr´e, toute fonctionf, definie surR, pouvant se ramener `a la forme : f(x) =ax2+bx+c.
– Parabole, la courbe repr´esentant une fonction polynˆome du second degr´e.
– Discriminant ∆ le nombre :b2−4ac.
– Racines du trinˆome du second degr´e ou solutions de l’´equation du second degr´e, les r´eelsx1etx2donn´es par : x1=−b+√
∆
2a et x2=−b−√
∆
2a lorsque ∆>0.
(Avecx1 etx2´eventuellement confondus lorsque ∆ = 0).
– Factorisation du trinˆome du second degr´e, la factorisation :
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) lorsque ∆>0 (Avecx1 etx2´eventuellement confondus lorsque ∆ = 0).
– Signe du trinˆome du second degr´e, :
– Si ∆>0 ,ax2+bx+cest du signe dea`a l’ext´erieur de l’intervalle des racines et du signe contraire dea`a l’int´erieur de l’intervalle des racines.
– Si ∆<0 ,ax2+bx+cest toujours du signe dea.
– Si ∆ = 0 ,ax2+bx+cest toujours du signe deasauf pour la valeur qui annule le trinˆome.
• DES EXEMPLES SIMPLES POUR COMPRENDRE :
Exemple 1 :´equations incompl`etes o`u le calcul du discriminant n’est pas utile R´esoudre les ´equations suivantes :
1. 3x−x2= 0 2. 4x2−1 = 0 3. 1
x+ 1
x−1 =−2 Exemple 2 :´equations o`u le calcul du discriminant est utile
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. 3x2−7x+ 2 = 0 2. 4x2=x−1
Exemple 3 :in´equations du second degr´e R´esoudre les in´equations suivantes :
1. −3x2+ 7x−2<0 2. x2+x+ 1>0
• SOLUTIONS : Exemple 1 :
1. 3x−x2= 0 est ´equivalente `ax(3−x) = 0 en factorisant parx.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : x(3−x) = 0⇔x= 0 ou 3−x= 0 d’o`uS={0; 3}
2. 4x2−1 = 0⇔(2x)2−12= 0⇔(2x−1)(2x+ 1) = 0⇔2x+ 1 = 0 ou 2x−1 = 0⇔S={12;−12}. 3. 1
x+ 1
x−1 =−2
Avant tout, precisons que l’´equation est definie pourx∈R-{0; 1} car 0 et 1 sont des valeurs interdites.
En transposant `a gauche : 1 x+ 1
x−1+ 2 = 0
En r´eduisant au mˆeme denominateur : (x−1) +x+ 2x(x−1)
x(x−1) = 0
En multiplinant parx(x−1))6= 0 : 2x−1 + 2x(x−1) = 0.
D´eveloppons et r´eduisons : 2x2−1 = 0 Remarquons que : 2x2−1 = 0⇔(√
2x)2−12 = 0 En proc´edant comme en 2), on obtient :S={−√12;√1
2} car ces deux valeurs ne sont pas interdites.
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Exemple 2 :
1. 3x2−7x+ 2 = 0
C’est une ´equation du second degr´e.Calculons son discriminant : ∆ =b2−4ac= (−7)2−4(3)(2) = 25
∆>0 donc l’´equation admet 2 solutions distinctes : x1=−b+√
∆
2a et x2= −b−√
∆ 2a x1= 2 et x2= 1
3 Conclusion :S={1
3; 2}
2. Remarquons que 4x2=x−1 ⇔4x2−x+ 1 = 0.
On obtient une ´equation du second degr´e.Calculons son discriminant : ∆ =b2−4ac= (−1)2−4(4)(1) =−15
∆<0 donc l’´equation n’admet aucune solution.
Conclusion :S=∅ Exemple 3 :
1. On a−3x2+ 7x−2<0⇔f(x)<0 o`uf(x) =−3x2+ 7x−2.
Etudions le signe du trinˆomef(x).
Calculons son discriminant :∆ =b2−4ac= 25
∆>0 donc le trinˆome admet 2 racines distinctes : x1=−b+√
∆
2a et x2= −b−√
∆ 2a x1= 1
3 et x2= 2
Or<< un trinˆome est du signe de a sauf entre ses ´eventuelles racines >>.
Dans notre cas,a=−3.Le trinˆome est donc n´egatif sauf entre ses racines 1 3 et 2.
On obtient alors directement le tableau suivant : x −∞ 1
3 2 +∞
f(x) − 0 + 0 −
Commef(x)<0 on peut donc conclure que : S=]− ∞;1
3[∪]2; +∞[
V´erification : on d´etermine le signe du trinˆome `a l’aide d’une esquisse de la parabole .
Dans notre cas, la parabole est tourn´ee vers le bas, car a <0.L`a encore, on retrouve la derni`ere ligne du tableau.
2. On ax2+x+ 1>0 ⇔f(x)>0 o`u f(x) =x2+x+ 1.
Etudions le signe du trinˆomef(x).
Calculons son discriminant ∆ =b2−4ac=−3
∆<0 donc le trinˆome n’a pas de racines et il est toujours du signe de a.
Ora= 1>0 doncf(x) est toujours psoitif et par cons´equentS =R.
• DES EXERCICES POUR S’ENTRAˆINER : 1. R´esoudre 7−x2>12−2x
2. R´esoudrex+ 2 = 2x+ 4 3 +x
3. Soitf la fonction d´efinie surRpar :f(x) = 2x3+ 3x2+ 4x−17. D´emontrer quef est strictement croissante surR.
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