Formule de Taylor avec reste int´egral Taylor.tex
Formule de Taylor avec reste int´egral
Dans ce document, la d´eriv´eeni`eme de f sera not´ee : f(n) On va calculer, par partie, l’int´egrale suivante : In=
Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt
si on pose :
u = (x−t)n n!
d v = f(n+1)(t)d t
d u = −n(x−t)n−1
n! d t = −(x−t)n−1 (n−1)! d t v = f(n)(t)
L’int´egrale In peut s’exprimer en fonction de l’int´egraleIn−1 : In =
Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt
=
(x−t)n n! f(n)(t)
x
0
+ Z x
0
(x−t)n−1
(n−1)! f(n)(t)dt
= (0)− xn
n!f(n)(0)
+In−1
En faisant varier les indices de 0 `an, on peut donc ´ecrire les ´egalit´es suivantes : Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt = In In = −xn
n!f(n)(0) +In−1
In−1 = − xn−1
(n−1)!f(n−1)(0) +In−2
... I2 = −x2
2!f00(0) +I1
I1 = −xf0(0) +I0 I0 = −f(0) +f(x)
car : I0 = Z x
0
f0(t)dt=f(x)−f(0)
Si on effectue la somme terme `a terme, on obtient, apr`es simplification : f(x) =f(0) +xf0(0) + x2
2!f00(0) +. . .+ xn−1
(n−1)!f(n−1)(0) +xn
n!f(n)(0) + Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt o`u l’on remarque ´evidemment que : lim
x→0
Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt
= 0 On peut alors d´emontrer que f(x) admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenau voisinage de 0 :
f(x) = f(0) +xf0(0) + x2
2!f00(0) +. . .+ xn−1
(n−1)!f(n−1)(0) + xn
n!f(n)(0) +xnε(x)
ε(x)→0
x→0
♣♦♥
♠ LATEX 2ε
