Analyse 5

Analyse 5

APPROXIMATION

1. Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste int´egral. Soit n ∈ N. Soient I un intervalle de R et une fonction f : I → R (n+ 1)-fois continˆument d´erivable. Pour tout (a, x)∈I×I, on a l’´egalit´e

f(x) =f(a) + f^�(a)

1! (x−a) + f^��(a)

2! (x−a)²+. . .+ f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ +� x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

Formule de Taylor-Lagrange. Soit n∈N. Soient I un intervalle de R et une fonctionf :I →R (n+ 1)-fois d´erivable. Pour tout(a, x)∈I×I, il existe centre a et x tel que

f(x) =f(a) + f^�(a)

1! (x−a) + f^��(a)

2! (x−a)²+. . .+ f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ + f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹

Formule de Taylor-Young. Soit n ∈ N. Soient I un intervalle de R et une fonction f : I →R n-fois d´erivable. Pour tout a ∈ I et tout h tel que a+h ∈I, on a

f(a+h) =f(a) + f^�(a)

1! h+ f^��(a)

2! h²+. . .+ f⁽ⁿ⁾(a)

n! hⁿ+o(hⁿ) o`u o(hⁿ)/hⁿ tend vers 0 quand h tend vers 0.

Corollaire (CS du 2`eme ordre). Soient I un intervalle ouvert de R et une fonction f : I → R 2-fois d´erivable. Soit a ∈ I tel que f^�(a) = 0 et f^��(a) > 0.

Alors f a un minimum local strict en a.

2. D´eveloppements limit´es

Notation Soient f, g d´efinies dans un voisinage de a. On suppose g(x) �= 0 pour x�=a.

(i) f =o(g) au voisinage de a veut dire ^f_g(x)^(x) →0 quand x→a.

(ii) f =O(g) au voisinage dea veut dire ^f(x)_g(x) reste born´e quand x→a.

(iii) f ∼g au voisinage de a veut dire ^f_g(x)^(x) →1 quand x →a.

Definition. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point a s’il existe α0, α1, α2, . . . , αn tels que

f(a+h) =α0+α1h+α2h²+. . .+αnhⁿ+o(hⁿ)

quandh→0;P(h) =α₀+α₁h+α₂h²+. . .+α_nhⁿ s’appelle la partie polynomiale du d´eveloppement limit´e.

On donne ci-dessous le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 des fonctions usuelles. Ils sont obtenus `a partir de la formule de Taylor. Ici, n∈N et α∈R.

`a savoir par coeur : e^x = 1 +x+ x²

2! + x³

3! +. . .+ xⁿ

n! +o(xⁿ) cosx = 1− x²

2! + x⁴

4! +. . .+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! +o(x²ⁿ⁺¹) sinx =x− x³

3! + x⁵

5! +. . .+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +o(x²ⁿ⁺²) coshx = 1 +x²

2! + x⁴

4! +. . .+ x²ⁿ

(2n)! +o(x²ⁿ⁺¹) sinhx =x+ x³

3! + x⁵

5! +. . .+ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +o(x²ⁿ⁺²) (1−x)^−α = 1 +αx+ α(α+ 1)

2! x²+. . .+ α(α+ 1). . .(α+n−1)

n! xⁿ+o(xⁿ) ln(1 +x) =x− x²

2 + x³

3 +. . .+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n +o(xⁿ)

`a savoir retrouver :

arctanx=x− x³ 3 + x⁵

5 +. . .+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1) +o(x²ⁿ⁺²) tanx=x+ x³

3 + 2

15x⁵+ 17

315x⁷+o(x⁸)

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Proposition. Si f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point a, ce d´eveloppement est unique.

R`egles de calcul

• Si f et g admettent un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point a alors la combinaison lin´eaire λf +µg admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point a. Sa partie polynomiale est λP +µQ, o`u P et Q sont les parties polynomiales respectives de f et g.

• Sif etgadmettent un d´eveloppement limit´e d’ordrenau pointaalors leproduit f g admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenau pointa. Sa partie polynomiale est obtenu en tronquant `a l’ordrenle produitP Qdes parties polynomiales respectives P et Q de f et g.

• Sif etg admettent un d´eveloppement limit´e d’ordrenau point 0 et sig(0)�= 0 alors lequotientf /g admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenau point 0. Sa partie polynomiale est le quotient Q dans la division suivant les puissances croissantes

`a l’ordre n de la partie polynomiale A de f par la partie polynomiale B de g : A=QB+xⁿ⁺¹R etdegQ≤n.

• Sif etg admettent un d´eveloppement limit´e d’ordrenau point 0 et sig(0) = 0 alors la compos´ee f ◦g admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point 0. Sa partie polynomiale est obtenu en tronquant `a l’ordre n la compos´ee P ◦Q des parties polynomiales respectives P et Q de f et g.

3. Fonctions vectorielles

La formule de Taylor avec reste int´egral et la formule de Taylor-Young restent valides pour les fonctions vectorielles.

Formule de Taylor avec reste int´egral. Soit n∈N. Soient I un intervalle de R et une fonction f�:I → R^d (n+ 1)-fois d´erivable. Pour tout (a, x) ∈I ×I, on a l’´egalit´e

f�(x) =f�(a) + f�^�(a)

1! (x−a) + f�^��(a)

2! (x−a)²+. . .+ f�⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ +� x

a

(x−t)ⁿ

n! f�⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

Formule de Taylor-Young. Soit n ∈ N. Soient I un intervalle de R et une fonction f�:I → R^d n-fois d´erivable. Pour tout a ∈I et tout h tel que a+h∈I, on a

f�(a+h) =f�(a) + f�^�(a)

1! h+ f�^��(a)

2! h²+. . .+ f�⁽ⁿ⁾(a)

n! hⁿ+�o(hⁿ) o`u�o(hⁿ)/hⁿ tend vers 0 quand h tend vers 0.

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Application `a l’´etude des courbes param´etr´ees

D´efinition. Une courbe param´etr´ee dans le plan est une fonction vectorielle f�:I →R². Son image f(I� ) est appel´ee courbe d´efinie par f�.

En cin´ematique, le param`etre t est le temps et f�(t) est la position d’un point mobile au temps t. La d´eriv´ee f�^�(t), si elle existe, est le vecteur-vitesse au temps t, la d´eriv´ee seconde f�^��(t), si elle existe, est le vecteur-acc´el´eration au temps t.

Si f�^�(t) existe et est non nul, ce vecteur est tangent `a la courbe. La formule de Taylor `a l’ordre un :

f�(t) =f�(a) +f�^�(a)(t−a) +�o(t−a)

donne l’´equation param´etrique de la tangente `a la courbe au point f�(a) :

�x=f�(a) +f�^�(a)(t−a)

La proposition suivante compl`ete l’´etude locale des courbes param´etr´ees.

Proposition. Soit f� : I → R² une courbe param´etr´ee ind´efiniment d´erivable.

Etant donn´ea ∈ I, on note (p, q) les plus petits entiers p < q tels que la famille (f�^(p)(a), �f^(q)(a))soit libre (si de tels entiers existent).

(i) Si p est impair etq est pair, alors f(a)� est un point ordinaire de la courbe.

(ii) Si p est impair et q est impair, alors f�(a) est un point d’inflexion de la courbe.

(iii) Si p est pair et q est impair, alors f(a)� est un point de rebroussement de premi`ere esp`ece de la courbe.

(iv) Si p est pair et q est pair, alors f�(a) est un point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece de la courbe.

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