1) Activités Chapitre 9 Triangles et droites parallèles I) Milieux et droites parallèles dans un triangle

Chapitre 9

Triangles et droites parallèles

I) Milieux et droites parallèles dans un triangle

Activité 1

1) Activités

1) Effectuer la construction suivante :

• Tracer un triangle ABC ;

• Placer le milieu I de [AB] ;

• Placer le milieu J de [AC] ;

• Tracer (IJ).

2) En comparant avec la construction de ton voisin, quelle conjecture peux-tu faire concernant la droite (IJ) ?

3) De la même manière, quelle conjecture peux-tu faire concernant la longueur IJ ?

1) GEOGEBRA

2) Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

3) Dans un triangle, si un segment relie les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Démonstration :

Faire l’exercice 64p233 pour le prochain cours (on pourra s’aider des propriétés du parallélogramme page 302)

1) Effectuer la construction suivante :

• Tracer un triangle ABC ;

• Placer le milieu I de [AB] ;

• Tracer la droite (d) parallèle à (BC) et passant par I ; elle coupe (AC) en K.

2) En comparant avec la construction de ton voisin, quelle conjecture peux-tu faire concernant le point K ?

Activité 2

1) GEOGEBRA

2) Dans un triangle, si une droite coupe un côté en son milieu en étant parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Démonstration :

A partir de la figure précédente, soit J le milieu de [BC].

1) Je sais que (IK) // (JC)

2) J est le milieu de [BC] et I est le milieu de [AB].

Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Donc (IJ) // (KC) et (IK) // (JC).

Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc IJCK est un parallélogramme.

3) Je sais que IJCK est un parallélogramme.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

Donc KC = IJ.

Je sais que I est le milieu de [AB] et J celui de [BC].

Or, dans un triangle, si un segment relie le milieu de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Donc IJ = AC₂ .

4) Ainsi, on sait que KC = IJ et IJ = AC

2 donc KC = AC

2 et donc K est le milieu de [AC].

Révisions :

Exercices 8 et 9 p 227

Exercices propriété 1 : 15 p 228 Exercices propriété 2 : 16p228 Exercices propriété 3 : 22p228

Divers : 17 – 19 – 21 p228 – 24p229

2) Propriétés

Propriété 1 :

Si une droite passe par le milieu des deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Propriété 1 :

Si une droite passe par le milieu des deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

A

B

C I

J

I et J milieux respectifs de [AB] et [AC]

DONC : (IJ) est parallèle à (BC)

Propriété 2 :

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

A

B

C I

J

I et J milieux respectifs de [AB] et [AC]

DONC : IJ = BC

2

Propriété 3 :

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

A

B

C J

I I milieu de [AB]

DONC : J est le milieu de [AC]

(IJ) // (BC)

II) Théorème de Thalès dans un triangle 1) Activité

Activité 3 page 220 du manuel.

Rapports de longueurs AM AB

AN AC

MN BC

Figure 1 Figure 2 Figure 3

2) Conjecture : quand la droite (MN) est parallèle à (BC), les rapports AM

AB , AN

AC , et MN

BC semblent être égaux.

Rapports de longueurs AM AB

AN AC

MN BC

Figure 1 Figure 2 Figure 3

3) Figure 1 : (CF) // (DK) donc AC

AD = AF

AK = CF DK Figure 2 : (CL) // (AD) donc KC

KA = KL

KD = CL AD

Figure 2 : (CL) // (AD) donc KC

KA = KL

KD = CL AD

Figure 3 : on ne sait pas si les droites sont parallèles, on ne peut rien dire.

4) On sait que (AB) // (DC) donc les rapports sont égaux : OA

OD = OB

OC = AB

DC C’est-à-dire : ²₅ = OBOC = DC³

Donc : ²₅ = DC³ donc 2 × DC = 3 × 5 donc DC = 7,5 cm.

2) Théorème de Thalès dans un triangle

Si, dans un triangle ABC, M est un point de la demi-droite [AB), N un point de la demi-droite [AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : AM

AB = AN

AC = MN BC

A

B C

A

B C

ou

M N

N M

2) Théorème de Thalès dans un triangle

Si, dans un triangle ABC, M est un point de la demi-droite [AB), N un point de la demi-droite [AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : AM

AB = AN

AC = MN BC

A

B C

A

B C

ou

M N

N M

Exemple :

Soit un triangle HTE tel que EH = 5 cm et TE = 7 cm.

O ∈ [HT] tel que HO = 3 cm et L ∈ [HE] tel que HL = 2 cm.

(OL) // (TE).

Calculer HT et OL.

H

E T

3 cm 2 cm

7 cm

5 cm

O L

On sait que : HTE est un triangle, O ∈ [HT] et L ∈ [HE] et que (OL) // (TE).

D’après le théorème de Thalès : HO

HT = HL

HE = OL TE

H O L

E T

3 cm 2 cm

7 cm

5 cm Donc : HT =^{3 25} = OL₇ HO

HT = HL

HE = OL TE

Donc : HT =^{3 25} HT = 3 × 5

2 = 7,5 cm Et : OL

7 = ²₅ Soit : OL = ^7×2₅ = ¹⁴₅ = 4,8 cm