Première année de licence de Mathématiques.
Université de la Polynésie Française.
Chapitre 3. Représentations matricielles.
Tearii CRIDLAND 1er avril 2021
Objectif : Comprendre la représentation d'une application linéaire par une matrice et utiliser ces repré- sentations matricielles pour étudier des applications linéaires. Durée estimative : 15 heures.
1 Matrices et applications linéaires
Dans cette partie E etF désignent respectivement des espaces vectoriels surK∈ {R,C}de dimensions respectives n∈N∗ et p∈N∗.
Définition 1.1: On appelle matrice de taille (n, p) à coecients dans K une application M de J1, nK×J1, pK versK. La matriceM est notée sous la forme d'un tableau rectangulaire :
M = (mi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK=
m1,1 . . . m1,p
... . .. ... m1,n . . . mn,p
∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, on dit que mi,j est le coecient d'indice (i, j) de M. L'ensemble des matrices de taille(n, p) à coecients dansKest noté Mn,p(K).
Remarque 1.1: Dans la dénition précédenteM est une matrice ànlignes etpcolonnes, une matrice colonne est une matrice d'une seule colonne et une matrice ligne est une matrice d'une seule ligne.
Remarque 1.2: Puisque les matrices sont des applications à valeurs dansKqui est un espace vectoriel on sait queMn,p(K) est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur K. Les matrices de Mn,p(K) dont tous les coecients sont nuls sauf un seul qui vaut 1 forment une base de Mn,p(K). Cette base est de cardinal npet elle est appelée la base canonique de Mn,p(K).
Remarque 1.3: On rappelle que la transposée de M est la matrice dont le coecient d'indice(i, j)∈ J1, nK×J1, pK estmj,i que l'on note tM.
Définition 1.2: Soitbune base deE etv∈E de coordonnées(x1, . . . , xn)dans la baseb, on appelle matrice de v dans la base b la matrice colonne :
matb(v) =
x1
... xn
=t(x1, . . . , xn)
Définition 1.3: Soit bune base de E et v = (v1, . . . , vp) une famille de p vecteurs de E, si on note
∀j∈J1, pK,(x1,j, . . . , xn,j)les coordonnées devj dans la base balors la matrice de v dans la base b
est la matrice dont le coecient d'indice (i, j)∈J1, nK×J1, pK est xi,j ∈K. Cette matrice est de taille (n, p) et elle est notéematb(v).
Remarque 1.4: Il s'agit de la matrice obtenue en juxtaposant les colonnes (matb(v1), . . . ,matb(vp)) et on note ainsi parfois de manière abusive matb(v) = (matb(v1), . . . ,matb(vp)).
Exemple 1.1: Considérons la famille v = ((1,2),(−2,−1),(0,3)) formée par 3 vecteurs de R2, si b désigne la base canonique deR2 alors on a :
matb(v) =
1 −2 0 2 −1 3
∈ M2,3(R)
Définition 1.4: Soit f ∈ L(E, F), on note b et b0 des bases respectives de E et de F, on appelle matrice de f dans les bases b etb0 la matrice de la famillef(b)dansb0. Cette matrice est de taille (p, n) et elle est notéematb,b0(f).
Remarque 1.5: Dans le cas où F = E on a f ∈ L(E) qui est un endomorphisme et la matrice matb,b(f) est notée plus simplementmatb(f).
Exemple 1.2: L'application(x, y)7→(x+y,2y−x,2x−y) de R2 vers R3 notée f est linéaire, si on noteb la base canonique deR2 etb0 la base canonique deR3 alors on a :
matb,b0(f) =
1 1
−1 2 2 −1
∈ M3,2(R)
Exemple 1.3: L'application (x, y) 7→ (−x,−y) est un endomorphisme de R2 noté s, il s'agit même d'une symétrie de R2 puisques◦s=Id, si on notebla base canonique de R2 alors on a :
matb(s) =
−1 0 0 −1
∈ M2(R)
Propriété 1.1: Soit b et b0 des bases respectives de E et de F, l'application f 7→ matb,b0(f) de L(E, F) versMp,n(K) est un isomorphisme.
[Voir le détail]
Remarque 1.6: Cet isomorphisme nous permet d'interpréter les matrices comme des représentations d'applications linéaires, pour étudier par exemple une somme d'applications linéaires on peut étudier la somme de leurs matrices dans des bases xées.
Remarque 1.7: D'après la remarque 1.2 on adim(Mp,n(K)) =pnet l'isomorphisme de la propriété 1.1 montre alors que L(E, F) est de dimension nie avec dim(L(E, F)) = dim(E)×dim(F).
Remarque 1.8: Dans le cas où F = E et b0 = b la propriété 1.1 montre alors que l'application f 7→matb(f) est un isomorphisme de L(E) vers Mn(K).
Remarque 1.9: Dans la propriété 1.1 on peut choisir E = Rn et F = Rp ainsi que b et b0 leurs bases canoniques respectives, la propriété montre que pour M ∈ Mp,n(K),∃!f ∈ L(Rn,Rp) tel que M = matb,b0(f), on dit que f est l'application linéaire canonique associée à M.
Exemple 1.4: Si l'on considère la matriceM =
1 2 3
−3 −2 0
∈ M2,3(R)alors on peut lui associer de manière naturelle une application linéaire deR3 vers R2, l'application linéaire canoniquement associée
àM est l'application(x, y, z)7→(x+ 2y+ 3z,−3x−2y)de R3 vers R2 notéf, on peut en eet vérier que(f(1,0,0), f(0,1,0), f(0,0,1)) = ((1,−3),(2,−2),(3,0)).
Remarque 1.10: On peut de même considérer pour une matrice carrée de taille nl'endomorphisme de Rn canoniquement associé à M.
Définition 1.5: On appelle noyau d'une matrice A le noyau de son application linéaire canonique- ment associée et on note ce noyauKerA. On appelle image d'une matriceAl'image de son application linéaire canoniquement associée et on note cette image ImA.
Définition 1.6: Soit L= (l1, . . . , ln) une matrice ligne à coecients dansKetC =t(c1, . . . , cn) une matrice colonne à coecients dans Kqui a le même nombre de coecients que L. Le produit de L par C est le scalaireLC =Pn
k=1lkck∈K.
Définition 1.7: Soitm∈N∗ et(A, B)∈ Mn,p(K)× Mp,m(K), si on note ∀i∈J1, nK, Li la ligne ide Aainsi que∀j∈J1, mK, Cj la colonnej deB alors on appelle produit de A par B la matriceAB de taille (n, m)dont le coecient d'indice (i, j)∈J1, nK×J1, mK estLiCj.
Remarque 1.11: Cette dénition a un sens car Li et Cj ont le même nombre de coecients puisque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes deB. On rappelle quet(AB) =tBtA. Propriété 1.2: Soitbetb0 des bases respectives deE et deF,∀f ∈L(E, F),∀x∈E,matb0(f(x)) = matb,b0(f)×matb(x).
[Voir le détail]
Propriété 1.3: Si G est un espace vectoriel sur K de dimension nie et de base b00 alors on a
∀(f, g)∈L(E, F)×L(F, G),matb,b00(g◦f) = matb0,b00(g)×matb,b0(f).
[Voir le détail]
Remarque 1.12: Le produit matriciel a été conçu et inventé an d'établir la propriété 1.3, pour étudier par exemple la composée de deux applications linéaires on peut étudier le produit de leurs matrices dans des bases xées.
Remarque 1.13: Dans le cas où F = G = E et b00 = b0 = b la propriété 1.3 montre alors que
∀(f, g)∈L(E)2,matb(g◦f) = matb(g)×matb(f).
Exemple 1.5: On reprend dans cet exemple les applications f et s des exemples 1.2 et 1.3, il est possible de considérer l'applicationf◦sdeR2 versR3 qui est linéaire comme composée d'applications linéaires, si on noteb la base canonique deR2 etb0 la base canonique deR3 alors on a :
matb,b0(f◦s) =
1 1
−1 2 2 −1
−1 0 0 −1
=
−1 −1 1 −2
−2 1
∈ M3,2(R)
Exercice 1.1: Déterminer la matrice matb,b0(f) dans chacun des cas suivants :
1. f est l'application (x, y) 7→(x+y, x−y, x) de R2 vers R3, b est la base canonique de R2 et b0 est la base canonique de R3.
2. f est l'application (x, y, z) 7→ (x, x+y+z) de R3 vers R2, b la base canonique de R3 et b0 la base canonique deR2.
3. f est l'application (x, y, z)7→(x+y, y+z, z+x) de R3 versR3, b est la base canonique de R3 etb0 = ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))base deR3.
4. f est l'application (x, y, z) 7→ (x, x+y, x+z, y), b = ((1,1,0),(2,2,0),(1,1,1)) base de R3 et b0 = ((1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1))base deR4.
[Voir le détail]
Exercice 1.2: Déterminer la matrice matb,b0(f) dans chacun des cas suivants :
1. f est l'application P 7→(X+ 1)×P de R2[X]versR3[X], b est la base canonique deR2[X]et b0 est la base canonique deR3[X].
2. f est l'application P 7→ (P(1), P(2), P(3), P(4)) de R3[X] vers R4, b est la base canonique de R3[X]etb0 est la base canonique de R4.
3. f est l'application P 7→ P0 de R3[X] vers R2[X], b est la base canonique de R3[X]et b0 est la base canonique deR2[X].
[Voir le détail]
Exercice 1.3: Déterminer une base du noyau et de l'image des matrices suivantes :
A=
−1 1 1 3 −2 −4
−2 1 3
B=
0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 0
C=
1 1 −1
−3 −3 3
−2 −2 2
[Voir le détail]
Exercice 1.4: On noteb= (X0, X1, X2) la base canonique deR2[X]. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphismef deR2[X]tel que :
matb(f) =
3 3 6 0 1 2 0 2 4
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Exercice 1.5: On noteb la base canonique deR3. On considère P ={(x, y, z)∈R3|x+ 2y−z= 0}
etD={(x,0,−x)|x∈R}. 1. Monter queR3 =P⊕D.
2. Déterminer la matrice dansb du projecteur sur P parallèlement àD. 3. Déterminer la matrice dansb du projecteur sur Dparallèlement à P.
4. Déterminer la matrice dansb de la symétrie par rapport àP parallèlement à D.
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Exercice 1.6: Soit A=
−1 2 1 0
etf l'applicationM 7→AM de M2(K)vers M2(K). 1. Montrer quef est linéaire.
2. Déterminer la matrice def dans la base canonique de M2(K).
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Exercice 1.7: Déterminer une expression simple deAp avec p∈NetA la matrice :
A=
0 · · · 0 1 ... . ..
. .. 0 0 . ..
. .. ... 1 0 · · · 0
∈ Mn(R)
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Exercice 1.8: Soit E un Kespace vectoriel de dimension 3 et f ∈L(E) tel que f2 6= 0 etf3 = 0. Montrer qu'il existe une base bde E telle que :
matb(f) =
0 0 0 1 0 0 0 1 0
[Voir le détail]
2 Changement de bases
Dans cette partie E etF désignent respectivement des espaces vectoriels surK∈ {R,C}de dimensions respectives n∈N∗ et p∈N∗.
Définition 2.1: Soit b etb0 deux bases deE, on appelle matrice de passage de b0 à b la matrice de b0 dans la base bque l'on note :
Pb,b0 = matb(b0) = matb0,b(IdE)
Remarque 2.1: On a en eet matb0,b(IdE) = matb(IdE(b0)) = matb(b0). Attention à l'inversion de l'ordre des bases lorsque l'on écrit Pb,b0 comme la matrice de l'application IdE dans les basesb0 et b.
Remarque 2.2: On constate que Pb,b = In puisque ∀i ∈ J1, nK les coordonnées de bi dans b sont toutes nulles sauf la i-ème qui vaut1.
Exemple 2.1: Considérons la famille b0 = ((2,1),(1,1)) constituée de deux vecteurs deR2 non coli- néaires, puisqueb0 est une famille libre de cardinal 2on sait qu'il s'agit d'une base deR2, si on note b la base canonique deR2 alors on aPb,b0 =
2 1 1 1
, de plus on a aussiPb0,b=
1 −1
−1 2
en observant queb1 = (1,0) =b01−b02 et queb2 = (0,1) = 2.b02−b01.
Propriété 2.1: Si(b, b0, b00) est un triplet de bases deE alors on aPb,b00=Pb,b0×Pb0,b00.
[Voir le détail]
Propriété 2.2: Sibetb0 sont des bases deE alorsPb,b0 est inversible et on a (Pb,b0)−1=Pb0,b. [Voir le détail]
Remarque 2.3: La propriété précédente montre que toute matrice de passage est inversible, on peut aller plus loin et montrer que toute matrice inversible est une matrice de passage. En eet si M est une matrice inversible deMn(K)alors on peut considérerf ∈L(Rn)l'endomorphisme canoniquement associé à M. Puisque M est inversible on déduit quef est un automorphisme d'après la remarque 1.13 puis que b0 =f(b) est une base de Rn et ainsi M =Pb,b0.
Exemple 2.2: On reprend les bases b etb0 de R2 dénies dans l'exemple 2.1, on peut vérier que les matricesPb,b0 etPb0,b sont inverses l'une de l'autre en constatant que :
2 1 1 1
×
1 −1
−1 2
= 1 0
0 1
=
1 −1
−1 2
× 2 1
1 1
Propriété 2.3: Sibetb0 sont des bases deE alors∀x∈E,matb(x) =Pb,b0×matb0(x).
[Voir le détail]
Remarque 2.4: Cette propriété justie le fait que Pb,b0 soit appelée la matrice de passage de b0 à b puisque cette matrice permet par une multiplication d'obtenir les coordonnées d'un vecteur dans b à partir de ses coordonnées dans b0.
Exemple 2.3: On reprend les bases b et b0 de R2 dénies dans l'exemple 2.1, pour déterminer les coordonnées du vecteur(−3,2)dans la baseb0 on peut calculer :
Pb0,b× −3
2
=
1 −1
−1 2
× −3
2
= −5
7
Propriété 2.4: Soit (b, b0) un couple de bases de E ainsi que (c, c0) un couple de bases de F, si f ∈L(E, F)alors on a matb0,c0(f) =Pc0,c×matb,c(f)×Pb,b0 = (Pc,c0)−1×matb,c(f)×Pb,b0.
[Voir le détail]
Remarque 2.5: Cette propriété montre que si deux matrices A et B dans Mp,n(K) représentent la même application linéaire alors∃(P, Q)∈ Mp(K)× Mn(K) inversibles telles queA=P BQ.
Remarque 2.6: Dans le cas particulier où F =E et(b, b0) = (c, c0)la propriété 2.4 montre alors que
∀f ∈L(E),matb0(f) = (Pb,b0)−1×matb(f)×Pb,b0.
Remarque 2.7: La remarque précédente montre que si deux matrices A et B dans Mn(K) repré- sentent le même endomorphisme alors ∃P ∈ Mn(K) inversible telle que A=P−1BP.
Exemple 2.4: On reprend les basesbetb0 deR2 dénies dans l'exemple 2.1, considérons l'application (x, y)7→(2x+y,3y−x) qui est un endomorphisme de R2 notéf, d'après la propriété 2.4 la matrice de f dans la baseb0 est :
matb0(f) =
1 −1
−1 2
×
2 1
−1 3
× 2 1
1 1
=
1 −1
−1 2
× 5 3
1 2
=
4 1
−3 1
Définition 2.2: L'ensemble des matrices deMn(K)inversibles est notéGLn(K)et appelé le groupe linéaire d'indice nsurK.
Remarque 2.8: Cet ensemble est appelé le groupe linéaire car il possède une structure de groupe lorsqu'il est muni du produit matriciel.
Définition 2.3: Deux matricesAetB dansMn,p(K)sont dites équivalentes si∃(P, Q)∈GLn(K)×
GLp(K) tel que A=P BQ.
Définition 2.4: Deux matricesAetB dansMn(K)sont dites semblables si ∃P ∈GLn(K) tel que A=P−1BP.
Remarque 2.9: Des matrices semblables sont aussi des matrices équivalentes. La condition d'équi- valence des matrices est moins forte que la condition de similitude des matrices.
Remarque 2.10: Des matrices équivalentes représentent la même application linéaire dans des bases diérentes tandis que des matrices carrées semblables représentent le même endomorphisme dans des bases diérentes.
Exemple 2.5: On a montré dans l'exemple 2.4 que les matrices
2 1
−1 3
et
4 1
−3 1
sont semblables, ces matrices représentent un même endomorphisme mais dans des bases diérentes, l'endomorphisme de R2 qu'elles représentent est l'application(x, y)7→(2x+y,3y−x).
Exercice 2.1: Soitu l'application(x, y)7→(x+ 2y,2x−y,2x+ 3y) deR2 versR3 etv l'application (x, y, z) 7→ (x−2y+z,2x+y−3z) de R3 vers R2. On note b la base canonique de R2 et b0 la base canonique deR3.
1. Justier le fait queu etv sont linéaires.
2. Donner les matrices deu et dev dans les bases betb0.
3. Déterminer les matrices de de u◦vet de v◦u dans les basesb etb0.
4. Montrer quec= (b1, b1−b2) etc0 = (b01, b01+b02, b01+b02+b03) sont respectivement des bases de R2 et de R3.
5. Donner la matrice de passage de cà bet la matrice de passage dec0 à b0. 6. Déterminer les matricesmatc,b0(u) etmatc,c0(u).
[Voir le détail]
Exercice 2.2: On note b la base canonique de R2 et on considère dans R2 la droite vectorielle D engendrée par le vecteur(1,1)puisp∈L(R2) le projecteur sur X=R× {0} parallèlement àD.
1. Justier le fait queD etX sont supplémentaires dansR2. 2. Déterminer la matrice dep dans la baseb.
3. Montrer que la familleb0 = (b1−b2,3.b2−2.b1) est une base deR2. 4. Déterminer la matrice dep dans la baseb0.
[Voir le détail]
Exercice 2.3: Soit b= (b1, b2, b3) une base deR3 etf ∈L(R3) tel que f(b) = (b3, b2−b1+b3, b3).
1. Déterminer Ala matrice de f dansb. 2. Déterminer une base du noyau def.
3. Montrer queb0 = (b1−b3, b1+b3, b2−b1+b3) est une base deR3. 4. Déterminer P la matrice de passage deb0 àb puis calculer son inverse.
5. Quelle relation lie la matrice B = matb0(f) aux matricesA etP?
[Voir le détail]
Exercice 2.4: Soit ul'application(x, y, z)7→(y−x, x−y, z−x, z−y)de R3 vers R4. On notebla base canonique deR3 etb0 la base canonique de R4.
1. Justier le fait queu est linéaire.
2. Déterminer la matrice deu dans les basesb etb0.
3. Déterminer P la matrice de la famillec= (b01, b02, u(b1), u(b2))dans la baseb0 et calculerP2. 4. Montrer quec est une base deR4.
5. Déterminer la matrice deu dans les basesb etc.
[Voir le détail]
Exercice 2.5: Soit (A, B)∈ M3,2(R)× M2,3(R) tel que AB=
0 0 0 0 1 0 0 0 1
. Montrer que BA=I2. [Voir le détail]
Exercice 2.6: Soit n∈N∗ et(A, B)∈ Mn(K)2 un couple de matrices semblables. On dit que A est nilpotente si∃p∈Ntel que Ap = 0et on dit que Aest idempotente si A2 =A. Montrer que :
1. A est inversible ⇐⇒ B est inversible.
2. A est idempotente ⇐⇒ B est idempotente.
3. A est nilpotente ⇐⇒ B est nilpotente.
4. A est une homothétie =⇒ A=B.
[Voir le détail]
Exercice 2.7: Soit (n, p) ∈(N∗)2 et (A, B) ∈ Mn,p(K)× Mp,n(K). On appelle trace d'une matrice M = (mi,j)(i,j)∈J1,nK∈ Mn(K) le scalairePn
i=1mi,i notéTr(M).
1. Montrer queTr(AB) = Tr(BA).
2. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
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Exercice 2.8: Soit f ∈L(R3) canoniquement associé à la matriceA=
1 1 −1
−3 −3 3
−2 −2 2
. 1. Déterminer une base deKerf et une base deImf.
2. Montrer que∀n∈N\ {0,1}, An= 0.
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3 Rang d'une matrice
Dans cette partie K∈ {R,C} et (n, p) est un couple d'entiers naturels non nuls.
Définition 3.1: SoitA∈ Mn,p(K)de colonnes notées(C1, . . . , Cp), on appelle rang deA le rang de la famille(C1, . . . , Cp) dansMn,1(K) notérg(A).
Remarque 3.1: On rappelle que le rang d'une famille de vecteurs est égal à la dimension de l'espace vectoriel engendré par cette famille. On a montré dans un chapitre précédent que le rang d'une famille non nulle est égal au cardinal de sa plus grande sous-famille libre.
Exemple 3.1: On cherche à déterminer le rang de la matrice M =
−1 2 0 2 −5 −3
qui est par dénition la dimension d'un sous-espace de M2,1(K) donc dans J0,2K, comme les colonnes de M ne sont pas toutes nulles le rang de M est dans J1,2K, les deux dernières colonnes de M ne sont pas colinéaires donc elles forment une famille libre et ont déduit que rg(M)≥2puis que rg(M) = 2. Propriété 3.1: Soit E etF deux K espaces vectoriels de bases respectives b et b0, si f ∈ L(E, F) alors on arg(matb,b0(f)) = rg(f).
[Voir le détail]
Remarque 3.2: Le rang d'une matrice A correspond ainsi au rang de n'importe quelle application linéaire représentée par A.
Exemple 3.2: On considère l'application (x, y, z) 7→ (−x+ 2y,2x−5y −3z) de R3 vers R2 notée f, on remarque que f est linéaire et que sa matrice dans les bases canoniques de R3 et de R2 est la matriceM de l'exemple 3.1, on peut utiliser la propriété 3.1 pour calculer le rang def et obtenir ainsi rg(f) = rg(M) = 2.
Propriété 3.2: ∀A∈ Mn,p(K),rg(A)≤min{n, p}.
[Voir le détail]
Propriété 3.3: ∀A∈ Mn,p(K),∀r ∈N∗,rg(A) =r ⇐⇒ A équivalente à
Ir 0 0 0
.
[Voir le détail]
Remarque 3.3: Attention à la notation sous entendue dans la propriété précédente : la matrice Ir 0
0 0
est une matrice de taille (n, p) sinon l'équivalence n'a aucun sens, cette matrice contient Ir
dans ses r premières lignes et ses r premières colonnes tandis que ses autres coecients sont nuls.
Propriété 3.4: ∀(A, B)∈ Mn,p(K)2, Aéquivalente àB ⇐⇒ rg(A) = rg(B).
[Voir le détail]
Remarque 3.4: Cette propriété caractérise la relation d'équivalence matricielle : les matrices équi- valentes sont en fait celles qui ont le même rang.
Propriété 3.5: ∀A∈ Mn,p(K),rg(tA) = rg(A).
[Voir le détail]
Remarque 3.5: La propriété 3.5 nous permet de remarquer que si on note (L1, . . . , Ln) les lignes de A alors le rang de A est le rang de la famille (L1, . . . , Ln) dans M1,p(K).
Définition 3.2: On appelle opération élémentaire sur une matrice A ∈ Mn,p(K) les opérations suivantes :
La transposition de deux lignes ou de deux colonnes de A.
L'addition à une ligne d'une autre ligne multipliée par un scalaire ou l'addition à une colonne d'une autre colonne multipliée par un scalaire.
Le produit par un scalaire non nul d'une ligne ou d'une colonne de A.
Exemple 3.3: Si une matrice est non nulle alors on peut avec des opérations élémentaires sur les lignes installer un coecient non nul a en position(1,1)et annuler tous les coecients qui sont en dessous de a dans la même colonne que a, cette suite d'opérations élémentaires est appelée l'élimination de Gauss-Jordan. On a noté ci-dessous (L1, L2, L3) les lignes de la matrice à chaque étape pour décrire les opérations élémentaires eectuées :
0 1 2 3 4 5 2 3 1
3 4 5 0 1 2 2 3 1
1 4/3 5/3
0 1 2
2 3 1
1 4/3 5/3
0 1 2
0 1/3 −7/3
Opération élémentaire : L1↔L2 L1 ←(1/3).L1 L3←L3−2.L1
Remarque 3.6: Il est possible dans l'exemple précédent de recommencer l'élimination de Gauss- Jordan sur la sous-matrice
1 2 1/3 −7/3
avec l'opération élémentaire L3 ←L3−(1/3).L2.
Propriété 3.6: Le rang d'une matrice ne change pas lorsque l'on eectue sur cette matrice des opérations élémentaires.
[Voir le détail]
Définition 3.3: Une matrice est dite échelonnée si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste en n de compte plus que des zéros.
Remarque 3.7: Une manière intuitive de décrire une matrice échelonnée est de dire que l'on peut visualiser dans cette matrice un "escalier rempli de zéros qui descend". La largeur des marches peut varier de plusieurs unités mais la hauteur doit être toujours d'une seule unité.
Exemple 3.4: Les deux matrices A et B ci-dessous sont des matrices échelonnées. La croissance du nombre de zéros dans la dénition 3.3 doit être stricte ainsi la matriceC n'est pas échelonnée :
A=
0 2 0 5 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 9
B =
1 0 3 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
C=
2 0 5 0 0 0 7 0 0 0 3 0 0 0 0 0
Propriété 3.7: Le rang d'une matrice échelonnée est égal à son nombre de lignes non nulles.
[Voir le détail]
Remarque 3.8: On admet qu'il est possible de transformer une matrice A en une matrice échelon- née à l'aide d'opérations élémentaires (on peut par exemple itérer l'élimination de Gauss-Jordan), les propriétés 3.6 et 3.7 nous permettent alors de déterminer le rang deA, il s'agit de la méthode classique que l'on utilise pour calculer rg(A).
Exemple 3.5: On reprend les deux matrices A etB de l'exemple 3.4, le nombre de lignes non nulles de A est 3 tandis que le nombre de lignes non nulles de B est 2, on peut conclure que rg(A) = 3 et querg(B) = 2 en utilisant la propriété 3.7.
Exercice 3.1: Déterminer le rang des matrices suivantes :
A=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B =
1 2 3 4 5 6 7 8 0
C =
1 2 3 4 5 4 3 2 1
[Voir le détail]
Exercice 3.2: Déterminer le rang des matrices suivantes :
A=
1 1 0 0 1 1
B =
1 1 0 1 2 3
C =
1 4 6 1 2 5 4 2 3 6 5 3
[Voir le détail]
Exercice 3.3: Pour (a, b, c)∈R3 xé, déterminer le rang des matrices suivantes :
A=
1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 a
B=
1 1 1
b+c a+c a+b
bc ac ab
C=
a 0 0 b b a 0 0 0 b a 0 0 0 b a
[Voir le détail]
Exercice 3.4: On note b = (b1, b2, b3) la base canonique de R3 et on considère u ∈ L(R3) tel que u(b) = (−2.b1+ 2.b3,3.b2,−4.b1+ 4.b3).
1. Déterminer la matrice deu dans la baseb puis le rang deu. 2. Déterminer une base du noyau et de l'image de u.
3. L'application uest-elle injective ou surjective ? 4. Peut-on armer queR3= Keru⊕Imu?
[Voir le détail]
Exercice 3.5: On note f : (x, y, z, t)7→(x−y+z, y+z+t,0, x+y+ 3z+ 2t) de R4 vers R4. 1. Justier le fait quef est linéaire.
2. Déterminer la matrice def dans la base canonique de R4. 3. L'application f est-elle injective ou surjective ?
4. Déterminer une base du noyau et de l'image de f.
[Voir le détail]
Exercice 3.6: Pour M ∈ Mn(K)xé, démontrer l'équivalence suivante :
rg(M) = 1 ⇐⇒ ∃(C, L)∈ Mn,1(K)× M1,n(K), M =CL6= 0
[Voir le détail]
Exercice 3.7: Soit A∈ Mn(K) une matrice de rang1.
1. Montrer que A est semblable à une matrice B qui possède une première colonne non nulle et toutes les autres nulles.
2. Montrer queB2= Tr(B).B.
3. Montrer que∀k∈N, Ak+1= (Tr(A))k.A.
[Voir le détail]
Exercice 3.8: Soit M ∈ M3(K) non nulle telle que tM =−M. Déterminer le rang deM.
[Voir le détail]
Preuves et solutions.
Preuve - Propriété 1.1 : [Voir l'énoncé] On note φl'application f 7→ matb,b0(f) de L(E, F) vers Mp,n(K) et on procède en deux étapes :
Étape (a) :φ est linéaire.
Soit(λ, f, g)∈K×L(E, F)2, on remarque que l'applicationv 7→matb0(v)de F vers Mp,1(K) est linéaire donc en notant pouri∈J1, nK, Ci lai-ème colonne de la matricematb,b0(λ.f +g) on obtient Ci= matb0((λ.f+g)(bi)) = matb0(λ.f(bi) +g(bi)) =λ.matb0(f(bi)) + matb0(g(bi)), ainsi en notant Ci0 etCi00 les i-èmes colonnes respectivement des matricesmatb,b0(f) etmatb,b0(g)il vient Ci =λ.Ci0+Cj00 ce qui prouve queφ(λ.f +g) =λ.φ(f) +φ(g).
Étape (b) : φ est bijective.
ConsidéronsM une matrice de Mp,n(K) et notons∀(i, j)∈J1, pK×J1, nK, mi,j son coecient d'indice (i, j), l'application qui à un vecteur x∈E de coordonnées(x1, . . . , xn) dans la base bassocie le vecteur de coordonnées Pn
j=1m1,j.xj,Pn
j=1m2,j.xj, . . . ,Pn
j=1mp,j.xj
dans la baseb0 est une application linéaire notéef, on remarque que pouri∈J1, nK le vecteurf(bi) a pour coordonnées (m1,i, m2,i, . . . , mp,i) dans la baseb0 ainsimatb0(f(bi))est la i-ème colonne de M puisf est un antécédent deM parφ, sig est un autre antécédent deM parφ alorsg(bi) a pour coordonnées (m1,i, m2,i, . . . , mp,i) dans la baseb0 donc g(bi) =f(bi), puisquef etg coïncident sur une basebde E on déduit que f =g puis que l'antécédent de M parφest unique.
Preuve - Propriété 1.2 : [Voir l'énoncé] On notemi,j le coecient d'indice (i, j)∈J1, pK×J1, nK de la matrice matb,b0(f) de sorte que ∀j∈J1, nK, f(bj) =Pp
i=1mi,jb0i ainsi que∀i∈J1, pK, Li lai-ème ligne de matb,b0(f), si (x1, . . . , xn) désigne les coordonnées dex dans la basebalors on remarque que f(x) =Pn
j=1xjf(bj) =Pn
j=1xjPp
i=1mi,jb0i =Pp i=1
Pn
j=1xjmi,j
b0i =Pp
i=1(Li×matb(x)).b0i, la i-ème coordonnée du vecteurf(x) dans la baseb0 est doncLi×matb(x) ce qui signie par dénition du produit matriciel que matb0(f(x)) = matb,b0(f)×matb(x).
Preuve - Propriété 1.3 : [Voir l'énoncé]On note∀j∈J1, nK, Cj laj-ème colonne de matb,b00(g◦f) ainsi queCj0 laj-ème colonne dematb,b0(f), compte tenu de la propriété 1.2 on remarque que
Cj = matb00(g◦f(bj)) = matb0,b00(g)×matb0(f(bj)) = matb0,b00(g)×Cj0, si l'on noteq = dim(G) et
∀i∈J1, qK, Li lai-ème ligne dematb0,b00(g)alors l'égalité précédente signie que lei-ème coecient de Cj estLiCj0 ce qui traduit bien le fait que matb,b00(g◦f) = matb0,b00(g)×matb,b0(f).
Solution - Exercice 1.1 : [Voir l'énoncé]
1. matb,b0(f) =
1 1 1 −1 1 0
. 2. matb,b0(f) =
1 0 0 1 1 1
.
3. matb,b0(f) =
1 0 −1
−1 1 0
1 0 1
carf(b) = ((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)).
4. matb,b0(f) =
0 −2 −1
0 2 0
1 0 1
0 2 1
carf(b) = ((1,1,1,0),(2,4,2,2),(1,2,2,1)). Solution - Exercice 1.2 : [Voir l'énoncé]
1. matb,b0(f) =
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
carf(b) = (1 +X, X+X2, X2+X3).
2. matb,b0(f) =
1 1 1 1
1 2 4 8
1 3 9 27 1 4 16 64
.
3. matb,b0(f) =
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3
carf(b) = (0,1,2X,3X2). Solution - Exercice 1.3 : [Voir l'énoncé]
1. Si (x, y, z)∈KerAalors(−x+y+z,3x−2y−4z,−2x+y+ 3z) = (0,0,0), la résolution du système donnex=y+z ety= 2x−3z= 2(y+z)−3z= 2y−z doncy =z puis on obtient (x, y, z) = (2y, y, y) =y.(2,1,1), ainsiKerAest une droite vectorielle engendrée par (2,1,1), de plus d'après le théorème du rangImAest de dimension 2, pour trouver une base de ce plan vectoriel il sut de trouver ainsi deux vecteurs du plan non colinéaires, par exemple l'image de (1,0,0)parAest (−1,3,−2)et l'image de (0,1,0)parA est(1,−2,1), nalementImA est le plan vectoriel engendré par les vecteurs(−1,3,−2)et(1,−2,1).
2. Si (x, y, z, t)∈KerB alors(y+z+ 2t, x+z+t, x+y) = (0,0,0), la résolution du système donne y=−z−2t=−(−t−x)−2t=x−t=−y−tdonc y=−t/2 =−x puis il vient z=−t−x=−t−t/2 =−3t/2et(x, y, z, t) = (t/2,−t/2,−3t/2, t) = (t/2).(1,−1,−3,2), ainsiKerB est une droite vectorielle engendrée par (1,−1,−3,2), de plus d'après le théorème du rangImB est un sous-espace de R3 de dimension 3 donc ImB =R3.
3. Si (x, y, z)∈KerC alors(x+y−z,−3x−3y+ 3z,−2x−2y+ 2z) = (0,0,0), la résolution du système donne x=z−y donc(x, y, z) = (z−y, y, z) =z.(1,0,1) +y.(−1,1,0), ainsi KerC est un plan vectoriel engendré par les vecteurs(1,0,1)et(−1,1,0), de plus on sait que ImC est une droite vectorielle d'après le théorème du rang, tout vecteur non nul de ImC constitue ainsi une base comme le vecteur(1,−3,−2).
Solution - Exercice 1.4 : [Voir l'énoncé] On af(X0) = 3X0 etf(X) = 3 +X+ 2X2 avec f(X2) = 2.f(X), un élément de Imf est de la forme f(P) avecP =aX2+bX+c∈R2[X], on obtient f(P) = 2a.f(X) +b.f(X) +c.f(X0) = (2a+b).f(X) + 3c.X0 ∈Vect({1,3 +X+ 2X2}), réciproquement les polynômes1 et3 +X+ 2X2 sont bien dansImf et comme ils ne sont pas colinéaires ils constituent une base deImf, d'après le théorème du rang on sait queKerf est une droite vectorielle et il reste à déterminer un vecteur non nul dans Kerf, on peut par exemple choisir (a, b, c) = (1,−2,0)dans l'expression def(P) ce qui nous donne le polynômeX2−2X.
Solution - Exercice 1.5 : [Voir l'énoncé]
1. Si (x, y, z)∈P alors on a(x, y, z) = (x, y, x+ 2y) =x.(1,0,1) +y.(0,1,2), les vecteurs (1,0,1) et(0,1,2)sont non colinéaires et dansP donc ces vecteurs constituent une base de P, de plus Dest une droite vectorielle engendrée par (1,0,−1), pour vérier que R3 ⊂P +D on peut remarquer que la famille((1,0,1),(0,1,2),(1,0,−1))est libre et qu'il s'agit ainsi d'une base de R3, on a ensuitedim(P∩D) = dim(P) + dim(D)−dim(P+D) = 3−dim(P+D) = 3−3 = 0 d'après la formule de Grassmann donc la sommeP +Dest directe.
2. Considéronsb0 = ((1,0,1),(0,1,2),(1,0,−1))la base adaptée à la somme des supplémentaires et notonsple projecteur de la question, on sait que Imp= Ker(Id−p) =P et queKerp=D, on ab1 = (1/2).(b01+b03) donc p(b1) = (1/2).p(b01) = (1/2).b01= (1/2,0,1/2), de même
b2 =b02+ 2.b03−2.b1 donc p(b2) =b02−2.p(b1) = (0,1,2)−(1,0,1) = (−1,1,1), enn on a
b3 = (1/2).(b01−b03) donc p(b3) = (1/2).p(b01) =p(b1) ainsimatb(p) =
1/2 −1 1/2
0 1 0
1/2 1 1/2
. 3. Il s'agit du projecteur associé à celui de la question précédente donc Id−p, rappelons que ce
n'est pasp−Idpuisque l'égalité (p−Id)2 =p+Id−2.p=Id−pmontre quep−Id n'est pas un projecteur, en utilisant la propriété 1.1 on déduit que la matrice du projecteur Id−pdans la baseb estI3−matb(p) =
1/2 1 −1/2
0 0 0
−1/2 −1 1/2
.
4. On notescette symétrie et on peut vérier ques= 2.p−Idest en fait la symétrie associée à p, on obtient en eet Ker(s−Id) = Ker(2.p−2.Id) = Ker(p−Id) = Imp=P et cette égalité correspond bien à une symétrie par rapport à P, en utilisant la propriété 1.1 on déduit que la matrice de la symétrie2.p−Iddans la base best 2.matb(p)−I3=
0 −2 1
0 1 0
1 2 0
. Solution - Exercice 1.6 : [Voir l'énoncé]
1. ∀(λ, M, N)∈K× M2(K)2, f(λ.M+N) =A×(λ.M +N) =λ.AM +AN =λ.f(M) +f(N). 2. La base canonique de M2(K) est par dénition :
b=
1 0 0 0
, 0 1
0 0
, 0 0
1 0
, 0 0
0 1
On remarque quef est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension4 avec : f(b) =
−1 0 1 0
,
0 −1 0 1
,
2 0 0 0
, 0 2
0 0
On déduit quef(b) = (−b1+b3,−b2+b4,2.b1,2.b2) puis que :
matb(f) =
−1 0 2 0 0 −1 0 2
1 0 0 0
0 1 0 0
Solution - Exercice 1.7 : [Voir l'énoncé]Plutôt que de se lancer dans une démarche calculatoire il est plus judicieux d'interpréter la matrice comme la représentation d'un endomorphisme, considérons ainsif l'endomorphisme de Rncanoniquement associé à A, on note bla base canonique de Rn de sorte quematb(f) =A, la dénition de la matrice A entraine ∀i∈J1, nK, f(bi) =bn+1−i, on déduit quef2(bi) =f(bn+1−i) =bn+1−(n+1−i)=bi et la propriété 1.3 montre alors que A2 = matb(f2) =In, en utilisant la dernière égalité il vient ensuite Ap =In si pest pair et Ap =A sip est impair.
Solution - Exercice 1.8 : [Voir l'énoncé] On peut considérerv∈E\Ker(f2)puisque f26= 0, la famille b= (v, f(v), f2(v))convient alors, en eet on peut vérier queb est libre, soit(a, b, c)∈K3 tel quea.v+b.f(v) +c.f2(v) = 0E, en composant cette égalité parf2 on trouve a= 0puis en composant parf il vientb= 0, nalementc= 0 donc best libre et de cardinal 3ainsib est une base deE. Preuve - Propriété 2.1 : [Voir l'énoncé] On peut utiliser la propriété 1.3 avec l'applicationIdE pour écrire Pb,b0×Pb0,b00 = matb0,b(IdE)×matb00,b0(IdE) = matb00,b(IdE) =Pb,b00.
Preuve - Propriété 2.2 : [Voir l'énoncé] On applique la propriété 2.1 dans le cas oùb00=bce qui nous donne Pb,b =In=Pb,b0×Pb0,b et on peut ensuite échanger les rôles de b etb0 dans cette dernière égalité ce qui permet d'obtenirPb0,b0 =In=Pb0,b×Pb,b0.
Preuve - Propriété 2.3 : [Voir l'énoncé] On peut utiliser la propriété 1.2 avec l'applicationIdE pour écrire Pb,b0×matb0(x) = matb0,b(IdE)×matb0(x) = matb(x).
Preuve - Propriété 2.4 : [Voir l'énoncé]On peut utiliser la propriété 1.3 avec les applicationsIdE etIdF ce qui permet d'obtenir Pc0,c×matb,c(f)×Pb,b0 = matc,c0(IdF)×matb,c(f)×matb0,b(IdE) = matc,c0(IdF)×matb0,c(f) = matb0,c0(f), la propriété 2.2 montre de plus que Pc0,c = (Pc,c0)−1 et la conclusion en résulte.
Solution - Exercice 2.1 : [Voir l'énoncé]
1. Les applicationsu etv sont linéaires car leurs applications composantes sont des combinaisons linéaires des formes coordonnées.
2. On a matb,b0(u) =
1 2 2 −1 2 3
etmatb0,b(v) =
1 −2 1
2 1 −3
. 3. On peut utiliser la propriété 1.3 pour obtenir :
matb0(u◦v) =
1 2 2 −1 2 3
×
1 −2 1
2 1 −3
=
5 0 −5
0 −5 5 8 −1 −7
Il vient de même :
matb(v◦u) =
1 −2 1
2 1 −3
×
1 2 2 −1 2 3
=
−1 7
−2 −6
4. La liberté debentraine la liberté dec ainsic est une famille libre de cardinal2dans un espace de dimension2puis cest une base, de même la liberté deb0 entraine la liberté dec0 doncc0 est une famille libre de cardinal 3dans un espace de dimension 3 et c'est aussi une base.
5. Les matrices de passage demandées sont :
Pb,c = matb(c) =
1 1 0 −1
etPb0,c0 = matb0(c0) =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
6. On peut utiliser la propriété 2.4 pour obtenir :
matc,b0(u) =
1 2 2 −1 2 3
×
1 1 0 −1
=
1 −1 2 3 2 −1
On peut inverser les relations entre b0 etc0 ainsib0 = (c01, c02−c01, c03−c02) ce qui donne :
Pc0,b0 =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
Il vient nalement :
matc,c0(u) =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
×
1 −1 2 3 2 −1
=
−1 −4
0 4
2 −1
Solution - Exercice 2.2 : [Voir l'énoncé]
1. On remarque que si (x, y)∈R2 alors(x, y) =y.(1,1) + (x−y,0)∈D+X, de plus on a D∩X={(0,0)} donc la sommeD+X est directe.
2. Par dénition pest le projecteur surImp= Ker(Id−p) =X et on aKerp=D donc en notantu= (1,1)on ap(b1) =b1 etp(b2) =p(u−b1) =−p(b1) =−b1, on obtient ainsi matb(p) =
1 −1 0 0
.
3. Soit(α, β)∈R2 tel que α.b01+β.b02 = (0,0), en utilisant la liberté de bon obtient le système (α−2β,−α+ 3β) = (0,0)puis(α, β) = (0,0), ceci prouve queb0 est libre et de cardinal 2 dans un espace de dimension 2donc b0 est une base.
4. On peut inverser les relations entre betb0 ainsib= (b02+ 3.b01, b02+ 2.b01) ce qui donne en utilisant la propriété 2.4 :
matb0(p) =Pb0,b×matb(p)×Pb,b0 = matb0(b)×matb(p)×matb(b0) Le calcul permet ensuite d'obtenir :
matb0(p) = 3 2
1 1
×
1 −1 0 0
×
1 −2
−1 3
= 3 2
1 1
×
2 −5 0 0
=
6 −15 2 −5
Solution - Exercice 2.3 : [Voir l'énoncé]
1. Par dénition on a matb(f) =
0 −1 0
0 1 0
1 1 1
.
2. Un élément deKerf de coordonnées(x, y, z) dansb est tel que(−y, y, x+y+z) = (0,0,0)ce qui nous donne(x, y, z) =x.(1,0,−1)donc Kerf est une droite vectorielle engendrée par le vecteurb1−b3.
3. Soit(α, β, γ)∈R3 tel que α.b01+β.b02+γ.b03= (0,0,0), en utilisant la liberté de bon obtient (α+β−γ, γ, β−α+γ) = (0,0,0)puis(α, β, γ) = (0,0,0)donc b0 est libre, puisqueb0 est libre et de cardinal3 dans un espace de dimension 3il s'agit bien d'une base de R3. 4. Par dénition on a P =Pb,b0 = matb(b0) =
1 1 −1
0 0 1
−1 1 1
avec P−1 =
1/2 1 −1/2 1/2 0 1/2
0 1 0
d'après la propriété 2.2 puisqueb= (b01/2 +b02/2, b01+b03,−b01/2 +b02/2).
5. On sait d'après la propriété 2.4 queB =P−1AP. Solution - Exercice 2.4 : [Voir l'énoncé]
1. Les applications composantes deu sont des combinaisons linéaires des formes coordonnées donc u est linéaire.
2. Par dénition on a :
matb,b0(u) =
−1 1 0 1 −1 0
−1 0 1 0 −1 1
3. On remarque que :
P = matb0(c) =
1 0 −1 1
0 1 1 −1
0 0 −1 0
0 0 0 −1
et on aP2 =I4
4. On sait d'après la question précédente queP2=I4 donc P est inversible puis si f désigne l'endomorphisme deR4 canoniquement associé àP alorsf est un automorphisme d'après la propriété 1.3, par dénition def on a matb0(f) = matb0(f(b0)) = matb0(c) doncc=f(b0)est une base de R4 (cf. chapitre 2 : propriété 2.3).
5. On a montré précédemment queP2 =I4 donc P =P−1 et la propriété 2.4 donne :
matb,c(u) =P−1×matb,b0(u) =
1 0 −1 1
0 1 1 −1
0 0 −1 0
0 0 0 −1
×
−1 1 0 1 −1 0
−1 0 1 0 −1 1
=
0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 −1
Solution - Exercice 2.5 : [Voir l'énoncé] On notef ∈L(R2,R3) canoniquement associé à A et g∈L(R3,R2) canoniquement associé à B, on note aussi bla base canonique de R2 etb0 la base canonique deR3, d'après la propriété 1.3 on amatb0(f◦g) =AB donc (f◦g(b02), f ◦g(b03)) = (b02, b03) puis(g◦f◦g(b02), g◦f ◦g(b03)) = (g(b02), g(b03)), de plus on remarque que (g(b02), g(b03))est libre car pour(α, β)∈R2 on a α.g(b02) +β.g(b03) = 0 =⇒ α.b02+β.b03 = 0 en composant parf, la famille c= (g(b02), g(b03))est libre et de cardinal2 dans un espace de dimension 2donc c est une base deR2 avec matc(g◦f) =I2, ceci prouve d'après la propriété 2.4 queBA= matb(g◦f)est semblable à I2 puis que BA=I2.
Solution - Exercice 2.6 : [Voir l'énoncé]La relation Asemblable àB est symétrique donc il sut de démontrer le sens direct pour chaque équivalence, on note P ∈GLn(K) tel queB =P−1AP.
1. Si A est inversible alorsB(P−1A−1P) =In et(P−1A−1P)B =In donc B est inversible d'inverseP−1A−1P.
2. Si A est idempotente alorsB2 = (P−1AP)(P−1AP) =P−1A2P =P−1AP =B.
3. Si A est nilpotente alors∃p∈Ntel que Ap = 0 puis il vient Bp = (P−1AP)p =P−1ApP = 0.
4. Si A est une homothétie alors∃λ∈K, A=λ.In etB=P−1(λ.In)P =λ.P−1P =λ.In=A.
Solution - Exercice 2.7 : [Voir l'énoncé]
1. On noteai,j le coecient d'indice(i, j)∈J1, nK×J1, pK de la matrice A etbj,i le coecients d'indice(j, i)∈J1, pK×J1, nK de la matriceB, par dénition pour i∈J1, nK le coecient d'indice(i, i) de la matrice AB estPp
k=1ai,kbk,i et pour j∈J1, pK le coecient d'indice (j, j) de la matriceBAest Pn
k=1bj,kak,j, les variables d'une somme peuvent être remplacées par d'autres lettres ainsiTr(AB) =Pn
i=1
Pp
k=1ai,kbk,i=Pp j=1
Pn
k=1ak,jbj,k = Tr(BA). 2. Soit(A, B)∈ Mn(K)2 un couple de matrices semblables, on noteP ∈GLn(K)tel que
B =P−1AP, on remarque queTr(B) = Tr(P−1AP) = Tr(AP P−1) = Tr(A) en utilisant la question précédente.
Solution - Exercice 2.8 : [Voir l'énoncé]
1. Si (x, y, z)∈Kerf alors on a (x+y−z,−3x−3y+ 3z,−2x−2y+ 2z) = (0,0,0)et on déduit que(x, y, z) = (x, y, x+y) =x.(1,0,1) +y.(0,1,1)∈Vect({(1,0,1),(0,1,1)}), de plus
((1,0,1),(0,1,1))sont deux vecteurs deKerf non colinéaires ainsib= ((1,0,1),(0,1,1))est une base de Kerf, d'après le théorème du rang Imf est une droite vectorielle engendrée par u=f(1,0,0) = (1,−3,−2).
2. Une condition nécessaire et susante est A2 = 0, on peut démontrer cette égalité par le calcul mais on peut aussi remarquer que u=b1−3.b2∈Kerf =⇒ Imf ⊂Kerf =⇒ f2 = 0 puis utiliser la propriété 1.3.
Preuve - Propriété 3.1 : [Voir l'énoncé] On note(C1, . . . , Cp) les colonnes dematb,b0(f) et on a montré dans un chapitre précédent querg(f) = rg(f(b)) (propriété 3.2 du chapitre 2), l'application x7→matb0(x) notéeφest un isomorphisme deF vers Mn,1(K) en posantn= dim(F) donc la dimension de G= Vect(f(b1), . . . , f(bp))est égale à la dimension deφ(G) = Vect(C1, . . . , Cp), ceci prouve que rg(f) = dim(Vect(C1, . . . , Cp)) = rg(matb,b0(f)).
