Théorie de l'intégration de Lebesgue

Théorie de l’intégration de Lebesgue

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

Une découverte, celle de l’intégrale de Lebesgue, n’est d’abord entendue en son vrai sens que de rares adeptes, prompts à éclairer de ce flambeau saisi quelques coins obscurs de la science. Même la réaction générale est hostile et vive contre l’irruption d’une idée balayant sans égards les jugements révérés. Lentement, mais irrésistible- ment, la lumière pénètre un monde d’esprits de plus en plus étendu. Une heure vient où, dans cet ordre de pensées, la dernière acquise des grandes vérités apparaît à tous comme le jour, claire, évidente, et pour finir banale. ArnaudDENJOY

1. Intégrale de Lebesgue : propriétés et théorèmes de convergence

Nous allons définir la notion générale d’intégrale de Lebesgue sur _R^d en procédant par généralisations successives à des familles de plus en plus étendues de fonctions. À chaque étape, nous vérifierons que l’intégrale satisfait toutes les propriétés élémentaires qu’on est en droit d’attendre d’elle, la linéarité, la monotonie, l’inégalité du triangle, et nous démontrerons des théorèmes de convergence qui expriment essentiellement que l’on peut intervertir limite et intégration. À la fin de ce processus définitionnel par élargissements successifs, nous aurons atteint une théorie si forte et si générale qu’elle sera d’une utilité décisive dans tous les développements ultérieurs de l’Analyse.

Nous procéderons en quatre étapes majeures, en intégrant progressivement : 1.les fonctions étagées ;

2.les fonctions bornées supportées sur un ensemble de mesure finie ; 3.les fonctions positives ;

4.les fonctionsintégrables, au sens théorique le plus général.

Soulignons dès à présent quetoutes les fonctions seront d’emblée supposées mesurables.

Le plus souvent aussi, nous travaillerons avec des fonctions qui sont à valeurs dansR, et plus tard, nous considérerons aussi des fonctions qui sont à valeurs dans C en regardant leurs partie réelle et leur partie imaginaire.

1

2. Étape 1 : Fonctions étagées

Rappelons qu’unefonction étagée, telle que définie dans le chapitre précédent, est une fonction :

ϕ(x) = XN k=1

ak·1E_k(x),

qui est combinaison linéaire finie à coefficientsa_k ∈ R de fonctions indicatrices 1_Ek de sous-ensmbles mesurablesE_k ⊂R^dde mesuresm(E_k)<∞finies.

Toutefois, une complication s’insinue dans cette définition, en tant qu’une fonction éta- gée peut en fait être écrite d’une infinité de manières différentes comme combinaisons linéaires de cette espèce ; par exemple, et quelque peu artificiellement, on a :

0 = 1E −1E,

pour tout ensemble mesurableE ⊂R^d. Fort heureusement, il existe une manière inambiguë de choisir un représentant uniqueparmi toutes les représentations possibles, représentant qui sera à la fois naturel et utile dans les démonstrations.

Proposition-Définition 2.1. Laforme canoniqued’une fonction étagéeϕ est l’unique re- présentation :

ϕ = XN k=1

a_k·1_Ek,

dans laquelle lesa_ksont distincts deux à deux, et lesE_ksont disjoints deux à deux.

Démonstration. Trouver la forme canonique d’une fonction étagée n’est pas bien difficile.

Puisqueϕne prend qu’un nombre fini de valeurs, l’ensemble de ses valeurs : a₁, . . . , a_N =

a_k1, . . . , a_kM

=:

c₁, . . . , c_M

se réduit à un certain nombreM 6N de nombres réelsdistincts deux à deux :

c`1 6=c`2 (16`1< `26M). Si donc nous introduisons les ensembles de niveau :

F` :=

x∈R^d: ϕ(x) = c` ,

il vient que ces ensembles sont disjoints deux à deux (exercice mental). Par conséquent : XM

`=1

c_{`</sub>·1<sub>F`} = ϕ,

est la forme canonique désirée deϕ.

Définition 2.2. Siϕest une fonction étagée sous forme canonique : ϕ =

XM

`=1

c_{`</sub>1<sub>F`},

2.Étape 1 : Fonctions étagées 3

on définit l’intégrale de Lebesguedeϕcomme étant le nombre réel : Z

R^d

ϕ(x)dx :=

XM

`=1

c_{`</sub>·m F<sub>`} .

Si E ⊂ R^dest un sous-ensemble mesurable de mesure m(E) < ∞ finie, alors (exer- cice) :

ϕ(x)·1_E(x) est encore une fonction étagée.

Définition 2.3. L’intégrale surE ⊂R^dmesurable deϕétagée surR^dest définie par : Z

E

ϕ(x)dx :=

Z

R^d

ϕ(x)1_E(x)dx.

Afin de bien signaler le choix de la mesure de Lebesguemdans la définition de l’inté- grale, on écrit parfois : Z

R^d

ϕ(x)dm(x), pour l’intégrale de Lebesgue deϕ.

Mais en fait, nous abrégerons souvent l’intégrale par : Z

ϕ(x)dx,

voire même par : Z

ϕ.

Proposition 2.4. L’intégrale ainsi définie des fonctions étagéesϕ,ψsurR^djouit des cinq propriétés suivantes.

(i)Indépendance vis-à-vis de la représentation : Pour toute représentation — pas forcément canonique :

ϕ = XN k=1

a_k·1_Ek, on a :

Z

R^d

ϕ = XN k=1

akm Ek

.

(ii)Linéarité :Pour tousa, b∈R, on a : Z

R^d

a ϕ+b ψ

= a Z

R^d

ϕ+b Z

R^d

ψ.

(iii) Additivité domaniale : Si F et G sont deux sous-ensembles disjoints de R^d de mesure

finie, alors : Z

F∪G

ϕ = Z

F

ϕ+ Z

G

ϕ.

(iv)Monotonie :Siϕ6ψ en tout point, alors : Z

R^d

ϕ 6 Z

R^d

ψ.

(v)Inégalité du triangle :La fonction valeur absolue|ϕ|est aussi une fonction étagée et l’on

a :

Z

R^d

ϕ 6

Z

R^d |ϕ|.

Démonstration. La seule affirmation qui est quelque peu délicate est la première. Il faut donc être astucieux lorsqu’on ramène une fonction étagée à sa représentation canonique, et nous allons effectuer cela en deux moments.

Supposons d’abord que dans la représentation : ϕ =

XN k=1

a_k·1_Ek,

les ensembles E_k sont disjoints deux à deux, sans toutefois demander que les a_k soient mutuellement distincts. Plus bas, nous verrons comment nous ramener à cette situation. Il s’agit maintenant d’établir(i), et pour cela, nous devons ramenerϕà sa forme canonique.

Sic`est l’une des valeurs distinctesc1, . . . , cM, avecM 6N, que prennenta1, . . . , aN, introduisons l’ensemble :

E_`⁰ := [

{k:ak=c`}

E_k.

Les ensembles {k: a_k = c_`} forment alors partition de {1,2, . . . , N}, et comme lesE_k sont disjoints,E₁⁰, . . . , E_M⁰ sont disjoints deux à deux. De plus, on a visiblement :

m E_`⁰

= X

{k:ak=c`}

m E_k .

Enfin, puisque :

ϕ= XM

`=1

c`·1_E⁰

`,

est la représentation canonique deϕ, une application de la Définition 2.2 suivie d’une réor- ganisation donne le résultat :

Z

ϕ ^déf= XM

`=1

c_{`</sub>m E<sub>`}⁰

= XM

`=1

c_` X

{k:ak=c`}

m E_k

= XN

k=1

a_km E_k .

Ensuite, traitons le cas général pour lequel les ensembles E₁, . . . , E_N ne sont pas for- cément disjoints, et les valeursa₁, . . . , a_N ne sont pas forcément distinctes. Pour ramener ϕà sa forme canonique, il s’agit surtout de morceler lesE_kjusqu’à en faire des pièces de puzzle qui ne se recouvrent plus.

2.Étape 1 : Fonctions étagées 5

Lemme 2.5. Étant donnéN >1sous-ensembles quelconques d’un ensemble abstraitD: E1, E2, . . . , EN ⊂ D,

il existe2^N −1autres sous-ensembles :

E₁^∗, E₂^∗, . . . , E₂^∗N−1 ⊂ D, qui sont mutuellement disjoints :

∅ = E_{`</sub><sup>∗</sup><sub>1</sub> ∩E<sub>`}^∗₂ (16`1< `262^N−1), dont la réunion est la même que celle desE_k:

[N k=1

E_k =

2^N[−1

`=1

E_`^∗,

et qui satisfont de plus pour toutk = 1, . . . , N :

Ek = [

{`:E<sub>`</sub>^∗⊂Ek}

E_`^∗.

Démonstration. Ces ensembles sont toutes les 2^N intersections possibles entre les E_k et leurs complémentairesE_k^c =D\E_k:

E₁ ou E₁^c \

· · · · \

E_N ou E_N^c , à l’exclusion bien sûr du complémentaire commun :

E₁^c \

· · ·\ E_N^c ,

puisque l’on souhaite demeurer dans la réunion desE_k. Codons alors toutes ces intersec- tions possibles de manière binaire :

E_i^∗

1,...,iN, avec i₁, . . . , i_N ∈ {0,1}, en écartant doncE_0,...,0^∗ ce qui nous fait bien2^N −1ensembles.

PourN = 1, on a2¹ −1 = 1et on prendE₁^∗ :=E₁.

PourN = 2, on a effectivement2²−1 = 3ensembles qui décomposent disjointement la réunionE₁∪E₂ :

E_1,1^∗ =E₁∩E₂, E_1,0 =E₁∩E₂^c, E_0,1 =E₁^c∩E₂.

E₂ E₁

E^∗_1,1

E^∗_1,0 E_0,1^∗

E₂ E1

E_1,0,0^∗ E_0,1,0^∗ E_1,1,0^∗

E^∗_1,1,1 E^∗_0,1,1

E^∗_0,0,1 E_1,0,1^∗

E₃

PourN = 3, on a effectivement2³ −1 = 7ensembles décomposants. Le diagramme s’avère un auxiliaire utile pour qui souhaite (exercice) rédiger les détails combinatoires en

langage symbolique.

De la représentation de chaqueE_ken réunion disjointe de certainsE_`^∗découle : 1_Ek = X

{`:E<sub>`</sub>^∗⊂Ek}

1_E^∗

`,

puis :

m E_k

= X

{`:E<sub>`</sub>^∗⊂Ek}

m E_`^∗ .

Grâce à cette décomposition plus fine, on peut transformer naturellement :

ϕ = XN k=1

a_k·1_Ek

= XN k=1

a_k X

{`:E<sub>`</sub>^∗⊂Ek}

1_E∗

`

=

2X^N−1

`=1

X

{k:Ek⊃E_`^∗}

a_k

| {z }

=:a^∗_`

·1_E∗

`.

Or maintenant, puisque cette nouvelle représentation deϕ est telle que les ensembles me- surablesE_`^∗ sont disjoints deux à deux, nous pouvons lui appliquer le résultat obtenu dans la première partie de la démonstration, ce qui donne ici la conclusion(i):

Z

R^d

ϕ =

2X^N−1

`=1

a^∗_{`</sub>m E<sub>`}^∗

=

2X^N−1

`=1

X

{k:Ek⊃E_`^∗}

a_km E_`^∗

[Reconnaîtrem(Ek)] =

XN k=1

a_k X

{`:E<sub>`</sub>^∗⊂Ek}

m E_`^∗

| {z }

=m(Ek)

= XN

k=1

a_km E_k .

Ensuite, en partant de n’importe quelle représentation étagée pourϕet pourψ, une fois la propriété(i)acquise, la propriété(ii)découle de la linéarité évidente des sommations.

2.Étape 1 : Fonctions étagées 7

Pour ce qui concerne la propriété (iii) d’addititivé de l’intégration sur les ensembles disjoints, on transforme :

Z

F∪G

ϕ = Z

ϕ·1_F∪G

=

Z XN k=1

a_k1_Ek

· 1_F +1_G

=

Z X^N

k=1

a_k1_Ek∩F + XN k=1

a_k1_Ek∩G

[Linéarité(ii)] =

Z X^N

k=1

ak·1E_k

·1F +

Z X^N

k=1

ak·1E_k

·1G

= Z

F

ϕ+ Z

G

ϕ.

Pour(iv), siη> 0est une fonction étagée positive, il est clair (exercice mental) que sa forme canonique est aussi partout positive, et donc par la Définition 2.1, on a bienR

η>0.

Siϕ 6ψ, en posantη:=ψ−ϕ, on a bienR ϕ6R

ψ.

Enfin pour l’inégalité du triangle(v), il suffit d’écrireϕsous sa forme canonique : ϕ =

XN k=1

a_k·1_Ek,

et d’observer, puisque lesE_k sont disjoints, que :

|ϕ|= XN k=1

a_k·1_Ek.

Par conséquent, grâce à l’inégalité du triangle appliquée à la Définition 2.1 de l’intégrale, on obtient :

Z

R^d

ϕ =

X^N

k=1

a_km E_k 6

XN k=1

a_km E_k

= Z

R^d |ϕ|,

ce qui termine la démonstration détaillée de ces cinq propriétés (très) élémentaires.

En fait incidemment, nous avons presque démontré l’énoncé suivant, qui correspond pleinement à la manière de penser propre à la théorie de la mesure : tout énoncé est valide à des ensembles de mesure nulle près.

Proposition 2.6. Si deux fonctions étagéesϕetψ surR^dsatisfont presque partout : ϕ 6 ψ,

alors : Z ϕ 6

Z ψ.

Démonstration. En considérant à la place la fonction étagée positive presque partout : η:=ψ −ϕ

>0, on se ramène à devoir montrer queR

η >0. Or siηest mise sous forme canonique : η =

XM

`=1

b`1E<sub>`</sub>, puisque l’intégrale deηvaut par définition :

Z η =

XM

`=1

b`m E`

,

on peut supposer que tous lesE`sont de mesure strictement positive (mettre de côtés ceux qui sont de mesure nulle). Mais comme les E<sub>`</sub> sont disjoints deux à deux, la positivité presque partout deηnécessite (exercice mental) que tous les b_` > 0soient positifs. Donc

R η>0!

3. Étape 2 : Fonctions mesurables bornées à support dans un ensemble de mesure finie

Définition 3.1. Le support d’une fonction mesurable f: R^d −→ R est l’ensemble des points où elle ne s’annule pas :

supp(f) :=

x∈R^d: f(x)6= 0 .

On dit aussi quef està support dans un ensemble E ⊂ R^d lorsquef(x) = 0pour tout x6∈E.

En fait, la mesurabilité de f assure immédiatement que son support est un ensemble mesurable. Dans cette section, nous allons nous intéresser principalement aux fonctions dont le support est de mesure finie :

m supp(f)

< ∞.

Un résultat important du chapitre précédent énonce que si une fonction mesurable f: R^d −→ R bornée en valeur absolue par une constanteM > 0 est à support dans un ensemble E de mesure finie, alors il existe une suite de fonctions étagées (ϕ_n)^∞_n=1 telle que :

ϕ_n(x) −→

n→∞ f(x),

en tout point x ∈ E. Le lemme-clé qui suit nous permet alors de définir l’intégrale de Lebesgue des fonctions bornées à support dans un ensemble de mesure finie.

Lemme 3.2. Soitf: R^d−→Rune fonction mesurable bornée à support dans un ensemble E ⊂ R^d de mesure m(E) < ∞ finie. Si ϕ_n∞

n=1 est une suite quelconque de fonctions étagées telles que :

•il existe une constanteM > 0avecϕ_n6M pour toutn>1,

3.Étape 2 : Fonctions mesurables bornées à support sur un ensemble de mesure finie 9

•^supp(ϕ_n)⊂E pour toutn >1,

•ϕ_n(x) −→

n→∞ f(x)pour presque toutx∈E, alors la limite :

nlim→∞

Z ϕn

existe, et de plus, lorsqu’on af = 0, cette limite vaut (naturellement !)0.

Démonstration. Ces conclusions seraient presque évidentes si l’on supposait que ϕ_n converge uniformément vers f. Or souvenons-nous de l’un des trois principes de Little- wood, qui prétendait que la convergence d’une suite de fonctions mesurables est toujours presque uniforme. Nous savons d’ailleurs aussi que ce principe informel s’est réalisé ri- goureusement sous la forme du Théorème (tellement magique !) d’Egorov, que nous allons maintenant sortir de notre chapeau de prestidigitateur-mathématicien.

Ainsi, comme m(E) < ∞, le Théorème d’Egorov s’applique, et pour tout ε > 0, il garantit l’existence d’un sous-ensemble mesurable ferméE_ε ⊂Ede mesure presque égale à celle deE:

m E_ε

> m(E)−ε, sur lequel la convergence estuniforme :

ϕ_n(x)

Eε −→

uniformément

f(x)Eε.

En utilisant aussi crucialement le fait que la suite(ϕ_n)^∞_n=1 est uniformément bornée par la constanteM >0, et en découpant :

E =Eε∪ E\Eε

,

nous pouvons alors exécuter des majorations intuitivement naturelles : Z

ϕ_n− Z

ϕ_m 6

Z

E

ϕ_n(x)−ϕ_m(x)dx

= Z

Eε

ϕ_n(x)−ϕ_m(x)dx+ Z

E\Eε

ϕ_n(x)−ϕ_m(x)dx 6

Z

Eε

ϕ_n(x)−ϕ_m(x)dx+ 2M m E\E_ε 6

Z

Eε

ϕn(x)−ϕm(x)dx+ 2M ε.

Mais par convergence égorovienne uniforme surE_ε, il existe un entierN = N_ε 1tel que :

n, m >N_ε =⇒

∀x∈E_ε ϕ_n(x)−ϕ_m(x) 6 ε

.

Au total :

Z

ϕ_n− Z

ϕ_m

6 ε m(E) + 2M ,

toujours pourn, m>N_ε, ce qui montre bien que la suite de nombres réels : Z

ϕ_{n ∞}

n=1

est convergente, puisqu’elle est de Cauchy dansRcomplet !

Enfin, lorsquef = 0, on peut répéter les mêmes arguments, et obtenir (exercice) : Z

ϕn

6 ε m(E) +M ,

ce qui, sans doute aucun, assure que la limite en question vaut effectivement0.

En utilisant ce lemme, nous pouvons maintenant définir l’intégration des fonctions me- surables bornées qui sont à support dans un ensemble de mesure fini.

Proposition-Définition 3.3. Étant donné une fonction mesurable bornéef: R^d −→ Rà support contenusupp(f) ⊂E dans un ensemble E ⊂R^d de mesurem(E) <∞finie, on définit l’intégrale de Lebesguedef comme la limite :

Z

f(x)dx := lim

n→∞

Z

ϕn(x)dx,

où(ϕ_n)^∞_n=1 est une suite auxiliaire quelconque de fonctions étagées satisfaisant :

•il existe une constanteM > 0avecϕn6M pour toutn >1,

•^supp(ϕ_n)⊂Epour toutn >1,

•ϕ_n(x) −→

n→∞ f(x)pour toutx∈E.

Démonstration. Effectivement, vérifions que cette limite ne dépendpasde la suiteϕ_n, en prenant uneautresuite(ψ_n)^∞_n=1jouissant des mêmes propriétés que(ϕ_n)^∞_n=1. Alors grâce au lemme précédent qui anticipait notre besoin argumentatif présent, la suite des différences :

η_n∞

n=1 := ϕ_n−ψ_n∞

n=1

reste bornée — maintenant par2M au lieu deM —, elle reste à support dansE(oui !), et elle tend ponctuellement vers0, donc la fin du lemme en question assure que :

0 = lim

n→∞

Z η_n

= lim

n→∞

Z

ϕ_n−ψ_n

ce qui veut justement dire, grâce à la linéarité, déjà acquise, de l’intégrale sur les fonctions étagées, que :

lim

n→∞

Z

ϕ_n = lim

n→∞

Z ψ_n,

et conclut en longueur cette vérificationtrèsdétaillée.

Définition 3.4. Si une fonction mesurable bornée f: R^d −→ R possède un support de mesure finie :

m supp(f)

< ∞,

et siE ⊂ R^dest un sous-ensemble mesurable, on définit l’intégrale de Lebesgue de f sur Epar :

Z

E

f :=

Z

R^d

f(x)·1_E(x)dx.

3.Étape 2 : Fonctions mesurables bornées à support sur un ensemble de mesure finie 11

Clairement, lorsquef elle-même est une fonction étagée, cette définition coïncide avec la précédente.

Avant de poursuivre, notons que si tous les ensemblesE_kmesurables qui interviennent dans une fonction étagéeϕ=P

a_k1_Ek sont tous de mesure nullem(E_k) = 0, l’intégrale R ϕ=P

a_km(E_k) = 0est trivialement nulle. Autrement dit :

« L’intégrale ne voit pas les ensembles de mesure nulle ».

Définition 3.5. Une propriétéP = P(x)dépendant d’un pointx ∈ E appartenant à un sous-ensemble mesurableE ⊂ R^d sera dite vraie presque partout, ouvraie pour presque toutx∈Elorsqu’il existe un sous-ensemble :

N ⊂ E

de mesure nulle0 =m(N)tel queP(x)est satisfaite pour toutx∈E\N.

Par exemple, on dira qu’une suite de fonctions étagées(ϕ_n)^∞_n=1convergepresque partout vers une certaine fonction mesurablef: R^dlorsqu’il existe un sous-ensembleN ⊂R^davec 0 =m(N)tel que :

f(x) = lim

n→ ∞ϕ_n(x) (∀x∈R^d\N). On vérifie alors (exercice de compréhension) que le Lemme 3.2 ci-dessus reste vrai en supposant seulement la convergence presque partout de la suite de fonctions étagées concernée.

Ainsi donc, sur notre route initiatique en direction de la bellissime et généralisssime intégrale de Lebesgue, nous atteignons par l’Étape 2 un niveau considérablement plus élevé que celui des fonctions étagées, puisque nous atteignons leurs limites ponctuelles bornées, limites qui ne sont pas forcément uniformes.

Bien entendu, toute cette élucubration par passages téméraires à la limite s’effondrerait si nous ne conservions pas les propriétés élémentaires fondamentales qu’on est en droit d’attendre de toute intégrale. Éh bien, les voici !

Proposition 3.6. Soient f et g deux fonctions mesurables bornées R^d −→ R à support dans un ensemble (commun) de mesure finie. Alors les quatre propriétés suivantes sont satisfaites.

(i)Linéarité :Pour tousa, b∈R, on a : Z

R^d

a f +b g

= a Z

R^d

f+b Z

R^d

g.

(ii)Additivité domaniale :SiF etGsont deux sous-ensembles disjoints deR^dde mesure finie,

alors : Z

F∪G

f = Z

F

f+ Z

G

f.

(iii)Monotonie :Sif 6g en presque tout point, alors : Z

R^d

f 6 Z

R^d

g.

(iv)Inégalité du triangle : La fonction valeur absolue|f| est aussi une fonction mesurable bornée et l’on a :

Z

R^d

f 6

Z

R^d |f|.

Démonstration. Toutes ces propriétés se vérifient (exercice) en utilisant l’approximation par des fonctions étagées, à partir des propriétés que ces fonctions satisfont déjà en vertu

de la Proposition 2.4

Nous sommes maintenant en position de démontrer le premier théorème important de convergence.

Théorème 3.7. [Convergence bornée] Soit (f_n)^∞_n=1 une suite de fonctions mesurables f_n: R^d−→Rsatisfaisant :

•il existe une constanteM > 0avecf_n6M pour toutn >1,

•il existeE ⊂R^dmesurable avecm(E)<∞etsupp(f_n)⊂E pour toutn >1,

•f_n(x) −→

n→∞ f(x)pour presque toutx∈E.

Alors la fonction-limitef est mesurable, satisfait :

supp(f) ⊂ E, et de plus, on a surtout : Z

R^d

f_n−f −→

n→∞ 0,

d’où : Z

f_n −→

n→∞

Z f.

Démonstration. D’après les hypothèses, on voit immédiatement que la fonction-limitef est bornée par la même constante :

|f| 6 M.

On voit aussi quef s’annule hors de E. Clairement, l’inégalité du triangle pour les inté- grales assure qu’il suffit d’établir la première convergence.

En fait, la démonstration est une reprise d’un argument basé sur le Théorème d’Egorov, qui nous avait permis dans le Lemme 3.2 de vérifier que l’intégrale était indépendante de la suite approximante de fonctions étagées.

En effet, siε >0est arbitrairement petit et fixé, le Théorème d’Egorov nous permet de trouver un sous-ensemble mesurableE_ε ⊂Eavec :

m E\E_ε 6 ε, en restriction auquel on a convergence uniforme :

f_n(x)

Eε −→

uniformémentf(x)

Eε.

Alors surE_ε, nous pouvons trouver un entierN_ε 1assez grand pour que : n > N_ε =⇒

∀x∈E_ε f_n(x)−f(x) 6 ε

.

4.Retour aux fonctions Riemann-intégrables 13

Rassemblant tous ces faits, nous pouvons estimer, toujours pourn >N_ε: Z

E

f_n(x)−f(x)dx = Z

Eε

f_n(x)−f(x)dx+ Z

E\Eε

f_n(x)−f(x)dx 6 ε m E_ε

+ 2M m E\E_ε 6 ε m(E) + 2M

.

Commeε >0était arbitraire, cela conclut.

Observons que ce théorème de convergence exprime la possibilité d’intervertir intégra- tion et passage à la limite :

nlim→∞

Z

f_n = Z

nlim→∞f_n.

Une autre observation utile que nous pouvons faire au point que nous venons d’atteindre est la suivante.

Proposition 3.8. Sif >0est une fonction réelle bornée à support dans un sous-ensemble E ⊂R^dde mesure finie, et siR

f = 0, alorsf = 0presque partout.

Démonstration. En effet, pour tout entierk>1, introduisons l’ensemble : E_k:=

x∈E: f(x)>1/k . AlorsEkest mesurable (exercice mental), et le fait que :

0 6 1

k 1_Ek(x) 6 f(x) implique par monotonie de l’intégrale :

0 6 1

km E_k 6

Z

f = 0.

Par conséquent :

m E_k

= 0 (∀k>1).

Enfin, puisque :

x: f(x)>0 = [∞ k=1

E_k,

on conclut (exercice mental) quef = 0presque partout.

4. Retour aux fonctions Riemann-intégrables

Rappelons que dans un chapitre qui précède, nous avons formulé une question que la théorie de Riemann semblait dans l’incapacité de résoudre, à savoir la :

Question.Si une suite de fonctions continues sur l’intervalle[0,1]:

f_n: [0,1] −→ [0,1] (n>1), possède en tout pointx∈[0,1]une limite ponctuelle :

nlim→∞f_n(x) =:f(x),

quelle théorie d’intégration pourrait être développée afin qu’on ait : Z 1

0

f(x)dx = lim

n→∞

Z 1 0

f_n(x)dx?

En effet, à la fin du chapitre sur l’ensemble de Cantor, nous avons produit un exemple de fonction bornéef: [0,1] −→ [0,1]limite de fonctions continues f_n: [0,1] −→ [0,1]

dont les points de discontinuité sont de mesure strictement positive, de telle sorte quef n’estpasRiemann-intégrable, bien que la limite des nombres réelsR1

0 f_nexiste.

Mais au niveau que nous venons d’atteindre dans la théorie plus puissante de Lebesgue, le Théorème 3.7 de convergence bornée que nous venons d’établir répond déjà en un certain sens à cette question, et ce Théorème 3.7 montre surtout quenotre fonctionf de la fin du chapitre sur l’ensemble de Cantor est Lebesgue-intégrable.

Or puisque nous allons maintenant montrer que les fonctions Riemann-intégrables sont aussi Lebesgue-intégrables (la réciproque n’étant pas vraie !), nous pouvons d’ores et déjà conclure que c’est l’intégrale de Lebesgue qu’il fallait inventer pour répondre à la question dont nous venons de rappeler l’énoncé ci-dessus.

Théorème 4.1. Sur un intervalle compact[a, b] b R, soit f: [a, b] −→ R une fonction bornée Riemann-intégrable. Alorsf est mesurable, et son intégrale au sens de Riemann coïncide avec son intégrale au sens de Lebesgue :

Z R [a,b]

f(x)dx = Z L

[a,b]

f(x)dx.

Démonstration. Puisque l’intégrale de Riemann ne concerne par définition que les fonc- tions bornées, il existe une constanteM >0telle que :

f(x) 6 M (∀x∈[a, b]).

Commef est Riemann-intégrable, ses sommes de Darboux inférieure et supérieure asso- ciées à des subdivisions de plus en plus fines de l’intervalle[a, b]permettent de définir deux suites :

ϕ⁻_k(x)_∞

k=1 et ϕ⁺_k(x)_∞

k=1

de fonctions en escalier bornées :

ϕ⁻_k 6 M et ϕ⁺_k 6 M, qui encadrentf de manière monotone :

ϕ⁻₁(x)6ϕ⁻₂(x)6· · ·6f(x)6· · ·6ϕ⁺₂(x)6ϕ⁺₁(x), et dont les intégrales convergent vers celle def :

lim

k→∞

Z R [a,b]

ϕ⁻_k(x)dx = Z R

[a,b]

f(x)dx = lim

k→∞

Z R [a,b]

ϕ⁺_k(x)dx.

(4.2)

Plusieurs observations se manifestent à nous simultanément. Premièrement, il découle immédiatement des définitions que les intégrales de Riemann et de Lebesgue coïncident sur les fonctions en escalier, d’où :

Z R [a,b]

ϕ⁻_k(x)dx = Z L

[a,b]

ϕ⁻_k(x)dx et

Z R [a,b]

ϕ⁺_k(x)dx = Z L

[a,b]

ϕ⁺_k(x)dx, (4.3)

pour toutk >1. Ensuite, sachant que toutes lesϕ⁻_k et toutes lesϕ⁺_k sont mesurables, leurs limites :

ϕ⁻_∞(x) := lim

k→∞ϕ⁻_k(x) et ϕ⁺_∞(x) := lim

k→∞ϕ⁺_k(x)

5.Étape 3 : Fonctions mesurables positives quelconques 15

sont mesurables elles aussi — car la mesurabilité est préservée par passage à la limite —, et bien entendu, on a :

ϕ⁻_∞ 6 f 6 ϕ⁺_∞.

Plus avant, le Théorème 3.7 de convergence bornée assure que :

lim

k→∞

Z _L

[a,b]

ϕ⁻_k(x)dx = Z _L

[a,b]

ϕ⁻_∞(x)dx, et que :

lim

k→∞

Z L [a,b]

ϕ⁺_k(x)dx = Z L

[a,b]

ϕ⁺_∞(x)dx.

Ceci combiné à (4.2) et (4.3) donne : Z _L

[a,b]

ϕ⁺_∞(x)−ϕ⁻_∞(x)

dx = 0, et comme par ailleursϕ⁺_k −ϕ⁻_k >0donne à la limite :

ϕ⁺_∞−ϕ⁻_∞ > 0, nous déduisons grâce à la Proposition 3.8 que :

ϕ⁺_∞−ϕ⁻_∞ = 0, presque partout, et enfin que :

ϕ⁺_∞ = ϕ⁻_∞ = f,

presque partout, ce qui démontre merveilleusement quef est mesurable ! Pour terminer, puisque :

ϕ⁻_k −→

k→∞ f et f ←−

∞←k ϕ⁺_k

presque partout, on a,par définition mêmede l’intégrale des fonctions mesurables bornées donnée dans cette section :

lim

k→∞

Z L [a,b]

ϕ⁻_k(x)dx = Z L

[a,b]

f(x)dx = lim

k→∞

Z L [a,b]

ϕ⁺_k(x)dx, et en tenant à nouveau compte de (4.2) et (4.3), on conclut que :

Z _L

[a,b]

f(x)dx = Z _R

[a,b]

f(x)dx,

comme annoncé.

5. Étape 3 : Fonctions mesurables positives quelconques

Nous procédons maintenant à l’intégrale des fonctions mesurables positives quel- conques, pas nécessairement bornées. Il sera important d’autoriser ces fonctions à prendre leurs valeurs dans l’ensemble étendu des nombres réels positifs :

R+∪ {+∞},

la valeur+∞étant bien entendu prise sur un ensemble mesurable. Rappelons la convention standard que le supremum d’un ensemble de nombres réels positifs vaut +∞ lorsque, et seulement lorsque, l’ensemble en question est non borné.

Définition 5.1. L’intégrale de Lebesgue^R_Rdf d’une fonction mesurable positive : f: R^d −→ R+∪ {∞},

est le nombre : Z

R^d

f(x)dx := sup

Z

R^d

ϕ(x)dx: ϕ: R^d−→R+mesurable bornée avec06ϕ6f à support dans un ensemble de mesure finie

, nombre qui appartient àR+∪ {∞}.

Avec cette définition, deux cas se présentent : ou bien le supremum en question est fini, ou bien il est infini.

Définition 5.2. Dans les mêmes circonstances, lorsque : Z

R^d

f(x)dx < ∞,

on dit quef est Lebesgue-intégrable, ou, simplement,intégrable. En restriction à un ensemble mesurable, on peut aussi introduire la :

Définition 5.3. Si E ⊂ R^d est un sous-ensemble mesurable, si f > 0 est une fonction mesurable surR^dà valeurs dansR+∪ {+∞}, alorsf·1_E est aussi positive mesurable sur R^d, et on définit : Z

E

f(x)dx :=

Z

R^d

f(x)·1_E(x)dx.

Pour un réela >0, considérons les deux fonctions bien connues surR^d: f_a(x) =



 1

|x|^a lorsque |x|61, 0 lorsque |x|>1, F_a(x) = 1

1 +|x|^a.

Comme en théorie de l’intégrale généralisée de Riemann (exercice de révision), f_a est Lebesgue-intégrable précisément quanda < d, tandis queF_al’est précisément quanda >

d.

Proposition 5.4. L’intégrale des fonctions mesurables positives quelconques : f, g: R^d −→ R+∪ {∞}

satisfait les six propriétés suivantes.

(i)Linéarité positive :Pour tousa, b∈R+, on a : Z

R^d

a f +b g

= a Z

R^d

f+b Z

R^d

g.

(ii)Additivité domaniale :SiF etGsont deux sous-ensembles disjoints deR^d, alors : Z

F∪G

f = Z

F

f+ Z

G

f.

5.Étape 3 : Fonctions mesurables positives quelconques 17

(iii)Monotonie :Si06f 6g en presque tout point, alors : 0 6

Z

R^d

f 6 Z

R^d

g.

(iv)Sig est intégrable et si06f 6g, alorsf est aussi intégrable.

(v)Sif est intégrable, alorsf(x)<∞pour presque toutx∈R^d. (vi)SiR

f = 0, alorsf(x) = 0pour presque toutx∈R^d.

Démonstration. Seule la première assertion(i)n’est pas une conséquence rapide des défi- nitions, et pour l’établir, nous procéderons comme suit.

Par dilatation, il suffit de traiter le casa =b = 1. Si0 6ϕ 6 f et si06 ψ 6g, où ϕ etψ sont bornées à support dans un ensemble de mesure finie, alors :

ϕ+ψ 6 f +g,

et la sommeϕ+ψest aussi bornée à support dans un ensemble de mesure finie. Par consé- quent :

Z f +

Z

g = sup

06ϕ6f

Z

ϕ+ sup

06ψ6g

Z ψ

= sup

06ϕ6f 06ψ6g

Z

ϕ+ψ 6 ^sup

ϕ+ψ6f+g

Z

ϕ+ψ 6 ^sup

06χ6f+g

Z χ

= Z

f+g .

Pour ce qui concerne l’inégalité inverse, supposons qu’une fonctionη >0est bornée à support dans un ensemble de mesure finie avec :

η 6 f +g, et introduisons la fonction mesurable :

η₁(x) := min f(x), η(x) , ainsi que :

η₂ := η−η₁ > 0.

Évidemment, on a :

0 6 η₁ 6 f,

et puisqueη₂ est en tout point, ou bien égale àη−f 6g, ou bien égale àη−η = 0, on a aussi :

0 6 η₂ 6 g.

Clairement,η₁ etη₂ sont toutes deux bornées à support dans un ensemble de mesure finie.

Nous en déduisons : Z

η = Z

η1+η2

= Z

η₁+ Z

η₂ 6

Z f +

Z g.

Enfin, en prenant le supremum surη, nous obtenons l’inégalité inverse : Z

f +g 6

Z f +

Z g, ce qui conclut(i).

Pour montrer(v), introduisons pour tousk>1entiers les ensembles : E_k :=

x∈R^d: f(x)>k , ainsi que :

E_∞ :=

x∈R^d: f(x) = ∞ . Alors il est clair que :

∞ >

Z f >

Z

f ·1_Ek > k m E_k , inégalité qui montre instantanément que :

m E_k

k−→→∞ 0.

Mais puisque(E_k)^∞_k=1est une suite décroissante emboitée d’ensembles mesurables qui tend versE_∞, un énoncé du chapitre qui précède assure que :

m E_∞

= lim

k→∞m E_k

= 0,

ce qui montre bien quef ne peut être infinie que sur un ensemble de mesure nulle.

Pour terminer, la démonstration de (vi) est essentiellement la même que celle de la

Proposition 3.8.

Développons maintenant des théorèmes de convergence importants valables pour la classe des fonctions mesurables positives. Afin de motiver ces résultats, posons la :

Question 5.5. Si une suite (f_n)^∞_n=1 de fonctions mesurables positives f_n > 0 converge ponctuellemement vers une certaine fonction-limitef :

fn(x) −→

n→∞ f(x),

elle-même alors automatiquement mesurable, est-il toujours vrai qu’on peut intervertir li- mite et intégration : _Z

R^d

f_n(x)dx −→^{? ?}

n→∞

Z

R^d

f(x)dx?

5.Étape 3 : Fonctions mesurables positives quelconques 19

Malheureusement, tel n’est pas toujours le cas, comme le montre un exemple extrême- ment simple. SurR, soit la suite de fonctions :

f_n(x) :=

n lorsque 0< x <1/n,

0 lorsque x60 ou lorsque x>1/n.

Il est clair quef_n(x)−→0en tout pointx, mais on a : Z

R

f_n(x) = 1, constamment pour tout entiern>1.

Bien qu’essentiellement stupide, cet exemple possède quand même une vertu inatten- due ! En effet, il fait suspecter intuitivement que l’intégrale de la fonction-limite doive toujours être inférieure à la limite des intégrales, et tel est bien le cas en général !

Théorème 5.6. [Lemme de Fatou]Si une suite de fonctions mesurables positives surR^d: f_n∞

n=1: R^d −→ R+∪ {∞},

converge presque partout vers une certaine fonctionf, automatiquement mesurable :

lim

n→∞f_n(x) = f(x),

alors : Z

R^d

f(x)dx 6 ^{lim inf}

n→∞

Z

R^d

f_n(x)dx.

Il importe de faire observer que dans cet énoncé, on n’exclut ni le casR

lim_n→∞f_n=∞, ni le caslim inf_n→∞ R

f_n=∞.

Démonstration. Soit une fonction mesurablegbornée à support dans un ensembleE ⊂R^d de mesure finie telle que :

06g 6f.

Si nous introduisons :

g_n(x) := min g(x), f_n(x) ,

alors la suite(gn)^∞_n=1est aussi mesurable, aussi à support dansE, et l’on a presque partout : g_n(x) −→

n→∞ g(x), donc le Théorème 3.7 de convergence bornée assure que :

Z

g_n −→

n→∞

Z g.

Mais par construction on a aussig_n 6f_npour toutn>1, d’où : Z

g_n 6 Z

f_n,

et en prenant la limite à gauche, même si le membre de droite n’a pas de limite, sa limite inférieure lui demeure nécessairement supérieure :

Z

g 6 ^{lim inf}

n→∞

Z fn.