Espacios de Lebesgue y de Lorentz

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Submitted on 30 May 2018

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Espacios de Lebesgue y de Lorentz

Diego Chamorro

To cite this version:

Diego Chamorro. Espacios de Lebesgue y de Lorentz. Espacios de Lebesgue y de Lorentz, inPress.

�hal-01801025�

Diego Chamorro

diego.chamorro@univ-evry.fr

Abstract

We study in this chapter the main properties of Lorentz spaces L

(X) with

0 < p ≤ +∞ and 0 < q ≤ +∞. We start with a study of Marcinkiewicz spaces

L

using the distribution function d

and then we present general Lorentz

spaces L

by using the decreasing rearrangement function f

and the maximal

function f

. Normability, Convolution, Duality of these functional spaces are

the main core of this chapter.

ca del sur, principalmente en pa´ıses de la regi´on andina (Bolivia, Colombia, Ecuador, Per´u). Entre las diversas actividades de AMARUN se encuentra la organizaci´on de escuelas de verano en matem´aticas, la producci´on de material pedag´ogico (leccio- nes, hojas de ejercicios) y la edici´on de una revista de divulgaci´on. Para mayores informaciones sobre los proyectos y actividades, consultarwww.amarun.org

´Indice general

1 Espacios de Lorentz 5

1.1 Espacios L

o L

-d´ebiles . . . . 6

1.1.1 Funci´ on de distribuci´ on . . . . 6

1.1.2 Definici´ on de los espacios L

. . . . 12

1.1.3 Primeras propiedades de los espacios L

. . . . 14

1.2 Espacios L

. . . . 37

1.2.1 Primera definici´on de los espacios de Lorentz L

. . . 38

1.2.2 Funci´ on de reordenamiento decreciente f

. . . . 46

1.2.3 Segunda definici´on de los espacios de Lorentz L

. . . 69

1.3 Distancias y Normas en los espacios de Lorentz . . . . 85

1.3.1 La funci´ on maximal f

. . . . 86

1.3.2 Tercera definici´on de los espacios de Lorentz L

. . . . 96

1.3.3 Distancias, normas y problemas de normabilidad . . . . 101

1.4 Algunas generalizaciones . . . 114

1.4.1 Desigualdades de H¨ older . . . 114

1.4.2 Propiedades de densidad . . . 117

1.4.3 Convoluci´ on en los espacios de Lorentz . . . 121

1.5 Dualidad en los espacios de Lorentz L

. . . 142

1.5.1 Caso cuando 0 < p < 1 y 0 < q ≤ +∞. . . 143

1.5.2 Caso cuando p = 1 y 0 < q ≤ +∞. . . 144

1.5.3 Caso cuando 1 < p < +∞ y 0 < q ≤ +∞. . . 150

1.6 Los espacios de Lorentz discretos ℓ

. . . 162

1.6.1 Definiciones generales . . . 162

1.6.2 Relaciones de inclusi´ on . . . 174

1.6.3 Dualidad en los espacios de Lorentz ℓ

. . . 178

1.7 Ejercicios . . . 185

Bibliograf´ıa 191

´Indice alfab´etico 193

3

1 Espacios de Lorentz

Como ha sido expuesto en los dos libros anteriores

(el Volumen 1 y el Volu- men 2), los espacios de Lebesgue miden el tama˜ no de las funciones y su impor- tancia es indiscutible, pues forman parte de los “ladrillos de base” del an´alisis funcional, del an´alisis arm´onico, de las ecuaciones en derivadas parciales y de las probabilidades (entre otros). Sin embargo, a pesar del rol preponderante de estos espacios en estas ramas de las matem´aticas, en ciertas ocasiones im- portantes se puede evidenciar claramente que la forma en que los espacios de Lebesgue miden el tama˜ no de las funciones no es suficiente ni satisfactoria.

Es por lo tanto necesario considerar otra manera mucho m´as precisa de medir esta cantidad (es decir el tama˜ no de las funciones) y una forma de lograr este objetivo es estudiar los espacios de Lorentz L

.

En este cap´ıtulo presentaremos esencialmente la definici´on de los espacios de Lorentz

y sus principales caracter´ısticas mientras que en los cap´ıtulos si- guientes presentaremos situaciones en donde no solo los espacios de Lorentz reemplazan con todo ´exito a los espacios de Lebesgue, sino que su utilizaci´ on es indispensable para resolver cierto tipo problemas importantes.

Por motivos pedag´ ogicos presentamos en la primera secci´ on de este cap´ıtulo los espacios de Lorentz L

con 0 < p ≤ +∞, que son tambi´en llamados es- pacios L

-d´ebiles o espacios de Marcinkiewicz. Estos espacios L

son quiz´as los m´as populares de los espacios de Lorentz porque son sencillos de definir e intervienen muy directamente en numerosas aplicaciones y esto es otra jus- tificaci´on para presentarlos por separado: as´ı se tendr´a a la mano una serie de resultados listos para ser utilizados. En la Secci´ on 1.2 definiremos los es- pacios de Lorentz L

generales, es decir con 0 < p, q ≤ +∞, y veremos dos caracterizaciones posibles de estos espacios. A medida que vayamos presentan- do estas caracterizaciones distintas, iremos recorriendo algunas propiedades de estos espacios y de esta manera tendremos ya en esta etapa una buena idea de lo que es un espacio de Lorentz. En la Secci´ on 1.3 estudiaremos bajo qu´e condiciones los espacios de Lorentz son espacios de Banach y veremos que la obtenci´on de esta importante estructura topol´ ogica en los espacios de Lorentz no es tan directa como en el caso de los espacios de Lebesgue: esto nos llevar´a a considerar una tercera manera de caracterizar estos espacios de Lorentz. En la Secci´on 1.4 veremos c´ omo generalizar ciertas propiedades presentadas en el marco de los espacios de Lebesgue a los espacios de Lorentz. Esta secci´ on es interesante pues muestra que muchos de los objetos presentados en el Volumen

1En todo lo que sigue, denotaremos por “Volumen 1” al libroEspacios de Lebesgue y de Lorentz, Volumen 1: Teor´ıa de la Medida y Teor´ıa de la Integraci´on, Ediciones AMARUN (2017) y por “Volumen 2” al libroEspacios de Lebesgue y de Lorentz, Volumen 2: An´alisis Funcional y Complementos, Ediciones AMARUN (2017).

2G. Lorentz (1910-2006), matem´atico ruso.

5

1 o en el Volumen 2 pueden ser tratados desde el punto de vista m´as general de los espacios de Lorentz. En la Secci´ on 1.5, estudiaremos las relaciones de dualidad existentes en los espacios de Lorentz y veremos que, al igual que los espacios de Lebesgue, es ´ util poder considerar diferentes estructuras topol´ ogi- cas adem´as de la topolog´ıa inicial que provee estos espacios de una estructura de espacio de Banach. Finalmente, en la Secci´ on 1.6 estudiaremos los espacios de Lorentz discretos, si bien la teor´ıa general se aplica casi directamente al caso discreto (basta cambiar de medida), es conveniente explicar y recalcar algunas situaciones particulares que surgen al considerar medidas discretas.

Contrariamente a los espacios de Lebesgue, en los espacios de Lorentz no se dispone de una sola y ´ unica funcional que permita caracterizarlos y que sea a la vez sencilla de definir, f´ acil de usar y que condense c´ omodamente todas las propiedades m´as importantes de estos espacios de funciones. Esto implica que para estudiar rigurosamente estos espacios sea necesario utilizar diferentes puntos de vista por medio de diversas funcionales que ser´an definidas y presen- tadas a su debido tiempo.

En todo este cap´ıtulo, a excepci´ on de la Secci´ on 1.6 y salvo menci´ on expresa de lo contrario, siempre consideraremos (X, A , µ) un espacio medido con µ una medida positiva σ-finita y funciones definidas sobre X a valores en K = R ´ o C. El espacio eucl´ıdeo R

con n ≥ 1 siempre estar´ a dotado de su estructura de espacio medido natural (R

, Bor(R

), dx) y notaremos la medida de Lebesgue de un subconjunto A de R

por |A|.

1.1. Espacios L ^p,∞ o L ^p -d´ ebiles

En esta secci´ on empezamos presentando los espacios de Lorentz L

que son tambi´en llamados L

-d´ebiles o espacios de Marcinkiewicz

. Quiz´ as la ma- nera m´as natural de definir estos espacios consiste en introducir la funci´ on de distribuci´ on, cuyo estudio ocupar´a la primera secci´ on a continuaci´on y una vez que habremos expuesto las particularidades de este objeto, podremos con toda comodidad presentar una primera definici´on de estos espacios L

y veremos sus propiedades m´as inmediatas, en particular veremos en qu´e sentido estos espacios son una generalizaci´ on de los espacios de Lebesgue L

.

1.1.1. Funci´ on de distribuci´ on

La funci´ on de distribuci´ on explica c´ omo se comporta una funci´ on f : X −→ K a medida que recorremos el rango de sus valores. M´ as precisamente, vamos a medir el tama˜ no de los conjuntos {x ∈ X : |f (x)| > α} de una funci´ on f a partir de una cierta altura dada que est´ a determinada por el par´ametro real α ≥ 0 como nos indica la definici´on siguiente.

Definici´ on 1.1.1 (Funci´ on de Distribuci´ on) Sea (X, A , µ) un espacio me- dido, sea f : X −→ K una funci´ on medible definida sobre X a valores en K y sea

3J´ozef Marcinkiewicz (1910-1940), matem´atico polaco.

α ∈ [0, +∞[ un real. Definimos la funci´ on de distribuci´ on d

: [0, +∞[−→ R

asociada a la funci´ on f por medio de la expresi´ on d

(α) =

Z

X

1

(x)dµ(x) = µ ({x ∈ X : |f (x)| > α}) . (1.1) La primera observaci´ on que es necesario hacer tiene que ver con el conjunto {x ∈ X : |f (x)| > α}, que es un conjunto medible pues la funci´ on f es medible (ver la Proposici´on 3.2.4 del Volumen 1) y esto nos garantiza que tiene sentido estudiar la medida de este tipo de conjuntos. Una segunda observaci´ on es la siguiente:

Observaci´ on 1.1 La funci´ on de distribuci´ on, al estar definida por medio de una integral, nos da una informaci´ on general sobre el tama˜ no de f pero no sobre su comportamiento en un punto dado (recu´erdese, por ejemplo, que la medida de Lebesgue no carga los puntos). En particular, si f = g en µ-casi todas partes, entonces por definici´on se tiene d

= d

.

Mostremos ahora un primer ejemplo de determinaci´ on de la funci´ on d

. Sea (X, A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ [0, +∞[ una funci´ on medible:

f (x)

✻

✲ α

α

A

❄ A

✁ ✁

✁☛

❍❍ ❍❍

❍❍ ❥

Figura 1.1: Funci´ on de distribuci´ on.

Como podemos ver en esta figura, si fijamos una altura α

dada, el conjunto {x ∈ X : |f (x)| > α

} est´ a determinado por el conjunto A

que contiene dos partes, mientras que para la altura α

se tiene {x ∈ X : |f (x)| > α

} = A

, que se ha representado con una l´ınea m´as gruesa. Si estudiamos c´ omo var´ıa la medida de los conjuntos {x ∈ X : |f (x)| > α} en funci´ on del par´ ametro α, lo que se obtiene es la funci´ on de distribuci´ on: de esta manera en este ejemplo se tiene d

(α

) = µ(A

) y d

(α

) = µ(A

).

Veamos un poco m´as en detalle la acci´on de la funci´ on de distribuci´ on d

a

trav´es de un segundo ejemplo. Sobre el espacio medido (R, Bor(R), dx) conside-

remos la funci´ on f (x) = X

c

1

(x) representada en la Figura 1.2, en donde los n´ umeros c

son reales positivos y A

son intervalos acotados de la recta real.

✲

✻

c¹ c² c³ c⁴

1

A¹ 2

A² 3 A³

4

A⁴ 5

A⁵

funci´ on f

✲

✻

•

•

•

•

c⁴ c³ c² c¹

1 2

3

4 5

B¹ B² B³ B⁴

funci´ on de distribuci´ on d

Figura 1.2: Funci´ on de distribuci´ on de una funci´ on simple.

Lo primero que podemos observar es que los posibles valores del par´ ametro α var´ıan entre 0 y c

, que es la altura m´axima de la funci´ on, y por lo tanto se tiene |{x ∈ R : |f (x)| > c

}| = 0. Luego, notamos que el valor de la cantidad

|{x ∈ R : |f (x)| > α}| es constante en los intervalos del tipo c

< α < c

, con i = 1, . . . , 3. Estas dos observaciones y una aplicaci´on directa de la f´ ormula (1.1) nos permite representar, en la parte de la derecha de la figura anterior, la funci´ on de distribuci´ on d

en funci´ on de los valores de α y en donde los valores B

en las ordenadas est´ an dados por la expresi´on B

=

X

|A

|.

Podemos entonces ver que si consideramos el tama˜ no (en el sentido de ´ area bajo la curva) de estas funciones, tenemos una identidad entre f y d

. Es decir que, si partimos de una funci´ on f , el paso a la funci´ on de distribuci´ on preserva su tama˜ no y esto se puede ver claramente con este ejemplo muy particular en donde la funci´ on de distribuci´ on d

ha reordenado y reorientado (pero sin modificarlos) los rect´angulos 1, 2, 3, 4, 5 que componen la funci´ on f de manera que el “´ area bajo la curva” de las funciones f y d

es exactamente la misma.

Demostraremos este hecho de forma m´as precisa y lo generalizaremos con la Proposici´on 1.1.2.

Es importante observar que si (X, A , µ) es un espacio medido general y si f ≥ 0 es una funci´ on medible, entonces la funci´ on de distribuci´ on d

puede tomar valores en el intervalo [0, +∞], pero el hecho de que d

pueda valer +∞

puede causar problemas: en efecto, si consideramos por ejemplo X = R dotado

de su estructura natural y si estudiamos la funci´ on f (x) = tan

(x), tenemos

d

(α) = +∞ para todo α > 0, lo que no proporciona ninguna informaci´ on

utilizable. Asimismo, si f (x) = sin

(x), vemos que d

(α) = +∞ si 0 < α < 1 y

d

(α) = 0 si α ≥ 0.

Esta observaci´ on nos lleva a considerar funciones medibles tales que su fun- ci´on de distribuci´ on d

es finita en al menos un punto, lo cual supondremos impl´ıcitamente de ahora en adelante.

Detallemos ahora algunas caracter´ısticas de esta funci´ on de distribuci´ on.

Proposici´ on 1.1.1 Sea (X, A , µ) un espacio medido y sean f y g dos funcio- nes medibles definidas sobre X a valores en K. Entonces, para todo α, β ≥ 0 tenemos los siguientes puntos:

1) se tiene d

= d

, adem´ as d

es decreciente y continua por la derecha sobre [0, +∞[,

2) si se tiene |g(x)| ≤ |f (x)| en µ-casi todas partes entonces d

(α) ≤ d

(α), para todo α ≥ 0,

3) para toda constante λ ∈ K

, se tiene d

(α) = d

(α/|λ|), para todo α ≥ 0, 4) se tiene la desigualdad d

(α + β) ≤ d

(α) + d

(β),

5) se tiene la desigualdad d

(αβ) ≤ d

(α) + d

(β), 6) si se tiene el l´ımite |f (x)| ≤ l´ım´ınf

n→+∞

|f

(x)| en µ-casi todas partes entonces tenemos el l´ımite

d

(α) ≤ l´ım´ınf

n→+∞

d

(α).

Prueba.

1) La identidad d

= d

se deduce directamente de la expresi´on (1.1) que define la funci´ on de distribuci´ on pues para construir esta funci´ on de dis- tribuci´on es necesario considerar el valor absoluto de la funci´ on f . Veamos ahora que la funci´ on de distribuci´ on es decreciente: si 0 ≤ α

< α

son dos reales arbitrarios, notamos que siempre se tiene la inclusi´ on de conjuntos {x ∈ X : |f (x)| > α

} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α

}, de manera que al considerar la medida de estos conjuntos podemos escribir

d

(α

) = µ ({x ∈ X : |f (x)| > α

}) ≤ µ ({x ∈ X : |f (x)| > α

}) = d

(α

), de donde se obtiene que la funci´ on de distribuci´ on es decreciente. Para mostrar que la funci´ on d

es continua por la derecha fijamos el conjunto E

= {x ∈ X : |f (x)| > α} y un real α

> 0. Por las l´ıneas anteriores vemos que los conjuntos E

son crecientes si α decrece y por lo tanto podemos escribir

E

=

+∞

[

n=1

E

,

de modo que por la propiedad de continuidad de las medidas

obtenemos d

(α

+ 1/n) = µ(E

) −→

n→+∞

µ(E

) = d

(α

),

4Ver el Teorema 2.2.3 del Volumen 1.

lo que muestra que la funci´ on d

es continua por la derecha.

2) Si |g(x)| ≤ |f (x)| en µ-casi todas partes, tenemos la inclusi´ on de conjuntos para todo α ≥ 0

{x ∈ X : |g(x)| > α} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α}, es decir, al considerar la medida de estos conjuntos obtenemos

µ({x ∈ X : |g(x)| > α}) ≤ µ({x ∈ X : |f (x)| > α}), de modo que d

(α) ≤ d

(α).

3) Aqu´ı utilizamos directamente la definici´on de la funci´ on de distribuci´ on dada en la expresi´on (1.1)

d

(α) = µ ({x ∈ X : |λ f (x)| > α}) = µ ({x ∈ X : |λ| |f (x)| > α})

= µ ({x ∈ X : |f (x)| > α/|λ|}) = d

(α/|λ|).

4) Este punto se verifica considerando la siguiente inclusi´ on de conjuntos:

{x ∈ X : |f (x) + g(x)| > α + β} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α}

∪{x ∈ X : |g(x)| > β}.

De manera que, calculando la medida de estos conjuntos, se obtiene µ({x ∈ X : |f (x) + g(x)| > α + β}) ≤ µ({x ∈ X : |f (x)| > α}) +µ({x ∈ X : |g(x)| > β}), es decir d

(α + β) ≤ d

(α) + d

(β ).

5) Este hecho se verifica de forma similar; en efecto, puesto que disponemos de la inclusi´ on de conjuntos

{x ∈ X : |f g(x)| > αβ} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α} ∪ {x ∈ X : |g(x)| > β}, se tiene sin dificultad que d

(αβ) ≤ d

(α) + d

(β ).

6) Para demostrar este ´ ultimo punto consideramos el conjunto E

= {x ∈ X : |f

(x)| > α}. Puesto que se tiene

|f (x)| ≤ l´ım´ınf

n→+∞

|f

(x)| = sup

m∈N

n>m

´ınf |f

(x)|,

vemos que, para todo x ∈ X tal que |f (x)| > α existe un entero m tal que para todo entero n > m se tenga |f

(x)| > α. Es decir

E

⊂

+∞

[

m=1 +∞

\

n=m

E

, y por, lo tanto, para todo m > 1 se tiene que

µ

+∞

\

n=m

E

!

≤ ´ınf

n>m

µ(E

) ≤ sup

m∈N

n>m

´ınf µ(E

) = l´ım´ınf

n→+∞

µ(E

).

Por la monoton´ıa

de la medida µ y dado que

+∞

\

n=m

E

!

m≥1

es una sucesi´on decreciente de conjuntos, obtenemos

d

(α) = µ(E

) ≤ µ

+∞

[

m=1 +∞

\

n=m

E

!

= l´ım

m→+∞

µ

+∞

\

n=m

> E

!

≤ l´ım´ınf

n→+∞

d

(α).

Lo que termina la demostraci´on de esta proposici´on.

Las propiedades expuestas en esta proposici´on son muy importantes pues de- terminar´an, como vamos a ver dentro de poco, muchas de las caracter´ısticas de los espacios de Lorentz y nos referiremos muy a menudo a ellas.

Podemos ahora enunciar el resultado a continuaci´on que nos indica c´ omo reconstruir la funcional k · k

, y por lo tanto c´ omo caracterizar los espacios de Lebesgue L

, a partir de las l´ıneas de nivel determinadas por la funci´ on de distribuci´ on.

Proposici´ on 1.1.2 Sea (X, A , µ) un espacio medido, sea f : X −→ K una funci´ on medible y sea 0 < p < +∞ un par´ ametro real. Se tiene entonces la identidad

kf k

= p

Z

0

α

d

(α)dα

. (1.2)

Prueba. Utilizando la expresi´on (1.1) que define la funci´ on de distribuci´ on escribimos

p Z

0

α

d

(α)dα = p Z

0

α

Z

X

1

(x)dµ(x)

dα, y si aplicamos el teorema de Fubini en la ´ ultima integral obtenemos

p Z

X

Z

0

α

1

(x)dα dµ(x) = p Z

X

Z

0

α

dα dµ(x),

es decir, al integrar en la variable α se tiene Z

X

|f (x)|

dµ(x) = kf k

. Este resultado nos proporciona una nueva forma de calcular la funcional k · k

y disponemos, por el momento, de dos maneras distintas de calcular la cantidad k · k

cuando 0 < p < +∞:

usando directamente la definici´on kf k

= Z

X

|f (x)|

dµ(x)

, usando la identidad (1.2).

5Es decir siA⊂B, entoncesµ(A)≤µ(B).

Cada una de estas opciones tiene su utilidad, y siempre conviene disponer de la mayor cantidad de herramientas para describir un espacio funcional.

Volvamos ahora a la identidad (1.2). El caso p = 1 es muy interesante pues se escribe de la siguiente manera

kf k

= Z

X

|f (x)|dµ(x) = Z

0

d

(α)dα, (1.3)

y cuando el conjunto X es el intervalo [0, +∞[, esta identidad es la comproba- ci´ on de que el “´ area debajo de la curva” es la misma para las funciones |f | y su funci´ on de distribuci´ on d

. M´ as generalmente, este hecho permite determinar el tama˜ no de una funci´ on, no solo integrando directamente sobre un espacio cualquiera X dotado de su estructura particular, sino que tambi´en es posible transponer esta informaci´ on sobre el intervalo [0, +∞[ dotado de su estructura natural: gracias a esta transformaci´ on y a la identidad (1.3), si estamos in- teresados en problemas de medibilidad “basta” estudiar lo que sucede sobre el conjunto [0, +∞[ pues la funci´ on de distribuci´ on captura la informaci´ on nece- saria para tratar con ´exito estas problem´ aticas.

A partir de esta observaci´ on tenemos el concepto a continuaci´on que ser´a de utilidad en lo que sigue.

Definici´ on 1.1.2 (Funciones equidistribuidas) Sea (X, A , µ) un espacio medido, sean f, g : X −→ K dos funciones medibles. Diremos que f y g son equidistribuidas si se tiene la identidad d

(α) = d

(α), para todo α ≥ 0.

Recordemos que por la definici´on de la funci´ on de distribuci´ on, se tiene esta identidad en µ-casi todas partes. Adem´as, para dos funciones f y g equidis- tribuidas se tiene por la f´ ormula (1.2) la identidad kf k

= kgk

para todo 0 < p < +∞.

Notemos aqu´ı que dos funciones equidistribuidas pueden ser muy diferentes:

si consideramos el espacio X = [0, +∞[, con su estructura natural, y las fun- ciones f = 1

y g = 1

, se tiene sin ning´ un problema que d

= d

= 1

.

1.1.2. Definici´ on de los espacios L

Una vez que disponemos de estas propiedades de las funci´ on de distribuci´ on, podemos presentar una primera definici´on de los espacios de Lorentz L

y veremos aqu´ı algunos ejemplos de funciones que pertenecen a estos espacios.

Definici´ on 1.1.3 (Espacios de Lorentz L

) Sea (X, A , µ) un espacio me- dido.

1) Sea 0 < p < +∞ un n´ umero real, definimos el espacio de Lorentz L

(X, A , µ, K) como el conjunto de funciones medibles f : X −→ K tales que la cantidad siguiente es finita

kf k

= sup

α>0

α d

1 p

f

(α)

. (1.4)

2) El espacio L

(X, A , µ, K) es por definici´ on el espacio L

(X, A , µ, K).

Como las propiedades m´as elementales del espacio L

= L

han sido ya estudiadas en los vol´ umenes anteriores, nos concentramos aqu´ı en los espacios L

con 0 < p < +∞.

Recordemos aqu´ı que las dobles barras k · k sirven por lo general para de- signar una norma y en la definici´on anterior, hacemos un abuso de notaci´ on pues la cantidad k · k

no es necesariamente una norma como tendremos la oportunidad de verlo m´as adelante.

Antes de pasar al estudio de las diferentes caracter´ısticas de estos espacios enunciamos una propiedad que se deduce inmediatamente de la f´ ormula (1.4) y que es de gran importancia: para todo α > 0 se tiene siempre la mayoraci´ on

kf k

≥ α d

1 p

f

(α), (1.5)

lo cual puede reescribirse de varias manera distintas como por ejemplo kf k

α

≥ d

1 p

f

(α) o, de forma equivalente kf k

α

≥ d

(α).

Conviene tener en mente estas expresiones pues son muy ´ utiles en la pr´actica.

Podemos ver ahora que por definici´on de la funci´ on de distribuci´ on (ver tam- bi´en la Observaci´ on 1.1), si se tiene f = g en µ-casi todas partes, entonces d

= d

y de esta manera los espacios L

que acabamos de definir deben ser considerados como espacios de clases de funciones, de la misma manera que se lo ha hecho para los espacios de Lebesgue L

(ver el Volumen 1). Dicho de otra manera, dos funciones que pertenecen al espacio de Lorentz L

ser´an consideradas iguales, si son iguales en µ-casi todas partes.

Una vez que hemos aclarado estos puntos, demos unos ejemplos de funciones que pertenecen a los espacios de Lorentz L

con 0 < p < +∞.

(i) Sobre el espacio medido (R

, Bor(R

), dx) consideremos la funci´ on indi- catriz f = 1

, en donde A ⊂ R

es un subconjunto de medida finita.

El lector verificar´ a que si 0 ≤ α < 1, entonces se tiene d

(α) = |{x ∈ R

: |1

(x)| > α}| = |A|, mientras que si α ≥ 1, se tiene en cambio que d

(α) = 0. A partir de estas observaciones, si calculamos la cantidad kf k

= sup

α>0

α d

1 p

f

(α)

con 0 < p < +∞, obtenemos kf k

= |A|

, de donde se tiene que f = 1

∈ L

(R

, Bor(R

), dx, R). El lector no- tar´ a que para las funciones indicatrices de conjuntos acotados las can- tidades k · k

y k · k

nos proporcionan la misma informaci´ on, es decir

k1

k

= k1

k

= |A|

,

sin embargo en el ejemplo siguiente mostraremos las diferencias entre

estos espacios de funciones.

(ii) Veamos un caso m´as particular de funciones que pertenecen a los espacios de Lorentz L

con 0 < p < +∞: sobre el espacio X = R

dotado de su estructura natural consideremos la funci´ on f : x 7−→ |x|

. Si calculamos la cantidad kf k

, utilizando las propiedades de la medida de Lebesgue tenemos:

kf k

= sup

α>0

α d

1 p

f

(α)

= sup

α>0

n α × {x ∈ R

: |x|

> α}

o

= sup

α>0

n α × {x ∈ R

: |x| < α

}

o

= sup

α>0

n α × B(0, α

)

o

(1.6)

= sup

α>0

n α × α

B(0, 1)

o

= sup

α>0

n α × α

B(0, 1)

o

= B(0, 1)

=

π

Γ(

+ 1)

< +∞,

y hemos verificado

que se tiene kf k

= |B(0, 1)|

< +∞ de manera que la funci´ on f (x) = |x|

pertenece como anunciado al espacio de Lorentz L

(R

, Bor(R

), dx, R).

Este ´ ultimo ejemplo sirve para mostrar que si p 6= q, entonces los espacios de Lorentz L

y L

son distintos. En efecto, sobre R

si consideramos f = |x|

, entonces por los c´ alculos anteriores tenemos f ∈ L

pero esta funci´ on no pertenece al espacio de Lorentz L

. Sin embargo, el punto m´as relevante de este ejemplo est´ a dado en la observaci´ on siguiente.

Observaci´ on 1.2 Para todo 0 < p < +∞, tenemos que las funciones del tipo f (x) = |x|

pertenecen al espacio L

(R

, Bor(R

), dx, R) y estas funciones son ejemplos t´ıpicos de elementos de los espacios de Lorentz L

que nunca pertenecen a los espacios de Lebesgue L

.

1.1.3. Primeras propiedades de los espacios L

Vamos a presentar aqu´ı seis propiedades elementales de estos espacios: unas propiedades estructurales (veremos que son espacios vectoriales cuasi-normados), unas propiedades de posicionamiento (compararemos los espacios de Lorentz con los espacios de Lebesgue), introduciremos una desigualdad de interpola- ci´on, generalizaremos las desigualdades de H¨ older y veremos una caracteriza- ci´on equivalente de estos espacios de Lorentz. Finalmente definiremos el pro- ducto de convoluci´ on sobre estos espacios.

A) Propiedades estructurales

En esta secci´ on empezamos un primer estudio de las diferentes estructuras topol´ogicas existentes sobre los espacios de Lorentz L

. Indiquemos que con

6Recordar que la medida de la bola unidad B(0,1)

ha sido calculada en la Secci´on 3.4.4 del Volumen 1.

la Definici´ on 1.1.3 ´ unicamente podremos dar un estudio general (´ util pedag´ ogi- camente, pero lastimosamente superficial) de las propiedades de estos espacios y ser´a necesario esperar a la Secci´ on 1.3 en donde se introducir´ an otros con- ceptos para poder estudiar m´as en detalle estos espacios.

El resultado a continuaci´on presenta un primer indicio sobre qu´e tipo de estructura se dispone en los espacios de Lorentz L

.

Proposici´ on 1.1.3 Sea (X, A , µ) un espacio medido y sea 0 < p < +∞ un par´ ametro real.

1) Los espacios de Lorentz L

(X, A , µ, K) son subespacios vectoriales del conjunto de funciones medibles.

2) Adem´ as se tiene la implicaci´ on kf k

= 0 = ⇒ f = 0 en µ-casi todas partes

Prueba.

1) Para mostrar que el espacio de Lorentz L

es un subespacio vectorial de las funciones medibles debemos verificar los dos puntos siguientes:

• si λ ∈ K

y si f ∈ L

(X, A , µ, K), entonces λf ∈ L

(X, A , µ, K),

• si f, g ∈ L

(X, A , µ, K) entonces f + g ∈ L

(X, A , µ, K).

Fijemos para empezar una constante λ ∈ K

, por el punto 3) de la Pro- posici´on 1.1.1 y con un peque˜ no cambio de variable podemos escribir

kλfk

= sup

α>0

α d

1 p

λf

(α)

= sup

α>0

α d

1 p

f

(α/|λ|)

= sup

β>0

|λ|β d

1 p

f

(β)

= |λ| kf k

, (1.7) de donde se deduce que λf ∈ L

(X, A , µ, K).

Sean ahora f y g dos funciones pertenecientes al espacio L

(X, A , µ, K), veamos que la funci´ on suma verifica f + g ∈ L

(X, A , µ, K). En efecto, por el punto 4) de la Proposici´on 1.1.1 se tiene la desigualdad

d

(α) ≤ d

(α/2) + d

(α/2), de manera que tenemos d

1 p

f+g

(α) ≤

d

(α/2) + d

(α/2)

, entonces, si 0 < p < 1, se tiene

d

1 p

f+g

(α) ≤ 2

d

1 p

f

(α/2) + d

1

gp

(α/2)

, mientras que si 1 ≤ p < +∞, se obtiene la desigualdad

d

1 p

f+g

(α) ≤ d

1 p

f

(α/2) + d

1

gp

(α/2),

7Recordar que sia, b >0 entonces (a+b)^σ ≤a^σ+b^σsi 0< σ <1 y (a+b)^σ≤2^σ−1(a^σ+b^σ) si 1 < σ < +∞. Ver el Lema 4.2.1 del Volumen 1 para una demostraci´on de estas desigualdades.

y entonces podemos escribir, en funci´ on de los valores de p e introduciendo el factor α/2, las desigualdades siguientes

α d

1 p

f+g

(α) ≤ 2

(α/2) d

1 p

f

(α/2) + (α/2) d

1

gp

(α/2)

, si 0 < p < 1, α d

1 p

f+g

(α) ≤ 2

(α/2) d

1 p

f

(α/2) + (α/2) d

1

gp

(α/2)

, si 1 ≤ p < +∞.

(1.8)

Al tomar el supremo sobre el conjunto α > 0 tenemos entonces sup

α>0

α d

1 p

f+g

(α)

≤ m´ax(2

, 2)

sup

α>0

(α/2) d

1 p

f

(α/2)

+sup

α>0

(α/2) d

1

gp

(α/2)

, lo cual nos permite finalmente escribir

kf + gk

≤ m´ax(2

, 2) (kf k

+ kgk

) , (1.9) lo que muestra que f + g ∈ L

(X, A , µ, K).

Con estos dos puntos hemos verificado que el espacio L

(X, A , µ, K) es un subespacio vectorial del conjunto de funciones medibles.

2) Si se tiene kf k

= 0, entonces por definici´on sup

α>0

α d

1 p

f

(α)

= 0, lo que implica que d

(α > 0) = 0 para todo α > 0, es decir que el conjunto {x ∈ X : |f (x)| > α} es de µ-medida nula para todo α > 0, de donde se deduce sin problema que la funci´ on f es nula en µ-casi todas partes.

Esta estructura de espacio vectorial es muy importante pues nos garantiza que los espacios de Lorentz L

son estables al realizar las operaciones de base como la suma de funciones y la multiplicaci´ on por un escalar. Sin embargo, desde un punto de vista de la estructura topol´ ogica, esta informaci´ on deja mucho que desear: a la luz de los resultados presentados en el Volumen 1 y en el Volumen 2, desear´ıamos obtener una estructura de espacio de Banach reflexivo para estos espacios, que era la estructura que dispon´ıa de mayor cantidad de propiedades. Indiquemos desde ya que esto no ser´a posible para todos los valores de 0 < p < +∞, como tendremos la oportunidad de verlo un poco m´as adelante (recordamos que en los espacios de Lebesgue se tiene esta estructura de espacio de Banach reflexivo ´ unicamente cuando 1 < p < +∞).

Observaci´ on 1.3 Las propiedades (1.7) y (1.9) que acabamos de demostrar sobre la funcional k · k

hacen de esta cantidad un operador cuasi-lineal

, pero no se dispone de la desigualdad triangular.

En efecto, tenemos el contraejemplo siguiente: consideramos sobre el conjunto X =]0, 1[ las funciones f (x) = x

1

(x) y g(x) = (1 − x)

1

(x) con

8Ver la Definici´on 1.1.4 del Volumen 2.

0 < p < +∞. Siguiendo los c´ alculos realizados en la expresi´on (1.6) obtenemos directamente

kf k

= kgk

= 1.

Tenemos ahora kf + gk

= sup

α>0

n α × {x ∈]0, 1[: |f (x) + g(x)| > α}

o por definici´on, y vemos sin mayor problema que el valor maximal posible de la cantidad {x ∈]0, 1[: |f (x) + g(x)| > α} es igual a 1 (que corresponde a todo el conjunto X =]0, 1[), y se tiene esta situaci´ on cuando 0 ≤ α ≤ 2

, siendo este ´ ultimo valor el m´ınimo sobre ]0, 1[ de la funci´ on f + g. Para este valor particular de α = 2

podemos entonces escribir

α × {x ∈]0, 1[: |f (x) + g(x)| > α}

= 2

, y usamos ahora la desigualdad (1.5) para obtener la mayoraci´ on

kf + gk

≥ 2

,

de esta manera podemos ver que no se cumple la desigualdad triangular pues se tiene, para todo 0 < p < +∞ la mayoraci´ on

kf + gk

≥ 2

> 2 = kf k

+ kgk

.

Insistamos en el hecho de que la cantidad k · k

no sea una norma, no sig- nifica que los espacios de Lorentz L

no sean espacios de Banach: veremos en la Secci´on 1.3 otras funcionales equivalentes que si son normas para ciertos valores del par´ ametro p.

¿Pero por qu´e utilizar la Definici´ on 1.1.3 y la funcional k · k

para estu- diar los espacios de Lorentz L

, si existen funcionales que contienen mayores propiedades estructurales? La raz´ on principal de presentar estos espacios uti- lizando la funci´ on de distribuci´ on radica en el hecho de que esta funci´ on de distribuci´ on es muy f´ acil y c´ omoda de utilizar (es la funcional que requiere el menor n´ umero de manipulaciones sobre las funciones consideradas) y podremos evidenciar muy claramente esta propiedad en los cap´ıtulos siguientes.

Dado entonces que la funcional k · k

es suficiente para caracterizar y definir los espacios de Lorentz, es entonces necesario detallar algunas de sus propiedades y para ello necesitamos introducir la siguiente noci´ on.

Definici´ on 1.1.4 (cuasi-norma) Sea E un K-espacio vectorial topol´ ogico.

Diremos que una aplicaci´ on k · k

: E −→ [0, +∞[ es una cuasi-norma

si verifica los siguientes puntos

1) para todo x ∈ E: kxk

= 0 ⇐⇒ x = 0,

2) para todo λ ∈ K y todo x ∈ E: kλxk

= |λ|kxk

,

9Conviene insistir en la diferencia existente entre unasemi-norma, en donde no se tiene la propiedad de separaci´onkxkE = 0⇐⇒x= 0, y unacuasi-norma, en donde no se tiene la desigualdad triangular.

3) existe una constante C ≥ 1 tal que para todo x, y ∈ E:

kx + yk

≤ C(kxk

+ kyk

).

Al espacio (E, k · k

) se denominar´ a espacio cuasi-normado.

Tal como lo hemos indicado al final de la Definici´ on 1.1.3, hay un abuso de notaci´ on en la definici´on anterior: la aplicaci´on k · k

no es una norma pues no verifica la desigualdad triangular. Sin embargo, por tradici´ on se mantiene esta notaci´ on en este caso y veremos un poco m´as adelante cu´ando, y sobre todo c´ omo, es posible definir una verdadera norma sobre los espacios de Lorentz.

La topolog´ıa de un espacio cuasi-normado (E, k · k

) se determina de manera natural considerando las cuasi-bolas abiertas B(x, r) = {y ∈ E : kx−yk

< r}.

Un estudio general de los espacios cuasi-normados exigir´ıa demasiado espacio que no disponemos aqu´ı, de manera que solo expondremos algunas propiedades elementales y para empezar fijamos algunas notaciones en total analog´ıa con el marco de los espacios normados.

Definici´ on 1.1.5 Sea (E, k · k

) un K-espacio vectorial cuasi-normado y sea (x

)

una sucesi´ on de elementos de E. Diremos que la sucesi´ on (x

)

converge en el sentido de la cuasi-norma k · k

hacia un punto x ∈ E si (∀ε > 0)(∃N ∈ N)[∀n ≥ N = ⇒ kx

− xk

< ε],

lo que notaremos

n→+∞

l´ım kx

− xk

= 0.

Diremos adem´ as que una sucesi´ on (x

)

es de Cauchy en el sentido de la cuasi-norma k · k

si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n, m ≥ N) [kx

− x

k

< ε].

Una sucesi´ on (x

)

es acotada en el espacio cuasi-normado (E, k · k

) si sup

n∈N

kx

k

< +∞.

Finalmente, diremos que el espacio vectorial cuasi-normado (E, k · k

) es com- pleto si toda sucesi´ on de Cauchy es convergente y hablaremos entonces de es- pacio de cuasi-Banach.

Proposici´ on 1.1.4 Sea (E, k · k

) un K-espacio vectorial cuasi-normado. En- tonces toda sucesi´ on convergente es de Cauchy y toda sucesi´ on de Cauchy es acotada. Adem´ as si (x

)

es una sucesi´ on de Cauchy que admite una subsuce- si´ on (x

)

convergente hacia un punto x ∈ E, entonces (x

)

converge hacia x.

Prueba. Sea (x

)

una sucesi´on de converge hacia un punto x ∈ E. Tenemos entonces

kx

− x

k

≤ C(kx

− xk

+ kx − x

k

),

lo que implica que toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Verifiquemos ahora que toda sucesi´on de Cauchy es acotada: existe N ∈ N tal que para todo n, m ≥ N se tiene kx

− x

k

≤ 1 y entonces para todo m ≥ N tenemos la mayoraci´ on kx

k

≤ C(1 + kx

k

), lo que nos permite escribir

kx

k

≤ m´ax(kx

k

, . . . , kx

k

, C(1 + kx

k

)),

de donde se deduce que la sucesi´on de Cauchy es acotada. Finalmente, si (x

)

es una subsucesi´on que es convergente hacia un punto x ∈ E, en- tonces

kx

− xk

≤ C(kx

− x

k

+ kx

− xk

),

pero como la sucesi´on (x

)

es de Cauchy y como la subsucesi´on (x

)

converge hacia x, se obtiene entonces la convergencia de la sucesi´on (x

)

hacia el punto x.

Dejamos de lado por un momento a los espacios cuasi-normados pues ne- cesitamos establecer un resultado que hace intervenir la convergencia en µ- medida

. Recordemos que sobre un espacio medido (X, A , µ), una sucesi´on (f

)

de funciones µ-medibles a valores en K, es de Cauchy con respecto a la convergencia en µ-medida si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo n, m ≥ N se tiene µ({x ∈ X : |f

(x) − f

(x)| > ε}) < ε.

El resultado que necesitamos es el siguiente

Proposici´ on 1.1.5 Sea (X, A , µ) un espacio medido y sea (f

)

una suce- si´ on de funciones µ-medibles a valores en K que son de Cauchy con respecto a la convergencia en µ-medida. Entonces existe una subsucesi´ on de (f

)

que converge en µ-casi todas partes hacia una funci´ on medible que notaremos f . Prueba. Partimos de una sucesi´on de Cauchy en µ-medida (f

)

y para todo j ≥ 1 consideramos una sucesi´on de enteros n

tal que se tenga

µ({x ∈ X : |f

(x) − f

(x)| > 2

}) < 2

,

y tal que esta sucesi´on sea creciente, es decir n

< n

< · · · < n

< n

< · · · . Si consideramos el conjunto A

= {x ∈ X : |f

(x)−f

(x)| > 2

}, tenemos entonces

µ





+∞

[

j=m

A



 ≤

+∞

X

j=m

µ(A

) ≤

+∞

X

j=m

2

= 2

,

para todo m= 1, 2, 3, ..., de donde se obtiene µ S

j=1

A

≤ 1, y tenemos entonces

µ





+∞

\

m=1 +∞

[

j=m

A



 = 0.

10Ver la Definici´on 3.3.4 del Volumen 1.

De esta manera, para x / ∈ S

j=m

A

y para todo i, k suficientemente grandes tales que i ≥ k ≥ j

≥ m, se tiene

|f

(x) − f

(x)| ≤ X

|f

(x) − f

(x)| ≤ X

2

≤ 2

≤ 2

, esto implica que la sucesi´on puntual (f

(x))

es de Cauchy en K para todo x / ∈ S

j=m

A

, y por lo tanto es una sucesi´on que converge para tales puntos x.

Podemos entonces definir una funci´ on por medio de la expresi´on

f (x) =

 



 

j→+∞

l´ım f

(x) si x / ∈

+∞

\

m=1 +∞

[

j=m

A

,

0 si no.

Obtenemos entonces que la sucesi´on de funciones f

tiende en µ-casi todas partes hacia la funci´ on f que es medible por el criterio de medibilidad de la

Proposici´on 3.2.3 del Volumen 1.

Con estos preliminares, tenemos ahora el resultado m´as importante de esta subsecci´ on que nos proporciona un poco m´as de informaci´ on sobre la estructura de los espacios L

.

Teorema 1.1.1 Sea (X, A , µ) un espacio medido, sea 0 < p < +∞ un par´ ame- tro real y consideremos los espacios de Lorentz L

(X, A , µ, K) dados en la Definici´ on 1.1.3. La funcional k ·k

dada en la expresi´ on (1.4) es una cuasi- norma sobre estos espacios y adem´ as los espacios (L

, k · k

) son espacios cuasi-normados completos.

Demostraci´ on. El hecho de que para todo 0 < p < +∞ la funcional k · k

define una cuasi-norma sobre el espacio L

(X, A , µ, K) se deduce directa- mente de la Proposici´on 1.1.3 y de las f´ ormulas (1.7) y (1.9). De manera que lo ´ unico que debemos verificar es que el espacio (L

, k · k

) es completo, en el sentido de que toda sucesi´on de Cauchy es convergente (con respecto a la cuasi-norma k · k

). Sea pues (f

)

una sucesi´on de Cauchy de funciones que pertenecen al espacio L

(X, A , µ, K), entonces se tiene

(∀ε > 0)(∃N

∈ N)(∀n, m > N

) : kf

− f

k

< ε

. Utilizando la mayoraci´ on (1.5), tenemos para todo α > 0

α × µ({x ∈ X : |f

(x) − f

(x)| > α})

≤ kf

− f

k

< ε

, de manera que si tomamos α = ε podemos escribir

µ({x ∈ X : |f

(x) − f

(x)| > ε}) < ε, (1.10)

es decir que la sucesi´on de funciones (f

)

es de Cauchy en medida y podemos

aplicar la Proposici´on 1.1.5 para obtener que existe una subsucesi´on (f

)

que converge hacia una funci´ on medible f . Fijemos entonces un k

≥ 1 y consideremos la cantidad

|f

− f | = l´ım

j→+∞

|f

− f

|,

aplicamos la propiedad 6) de la Proposici´on 1.1.1 para obtener d

(α) ≤ l´ım´ınf

j→+∞

d

(α),

y a partir de esta desigualdad reconstruimos la funcional k · k

para obtener kf

− f k

≤ l´ım´ınf

j→+∞

kf

− f

k

.

Hacemos ahora tender k

→ +∞ y usamos el hecho de que la sucesi´on (f

)

es de Cauchy en el espacio L

(X, A , µ, K) de manera que la parte derecha de la estimaci´ on anterior tiende hacia cero. Obtenemos de esta manera una subsucesi´on (f

)

que converge hacia una funci´ on f ∈ L

(X, A , µ, K).

Como este espacio de Lorentz es cuasi-normado, basta ahora aplicar la Propo- sici´ on 1.1.4 para obtener que toda la sucesi´on (f

)

converge hacia el mismo l´ımite: los espacios de Lorentz L

con 0 < p < +∞ son entonces espacios

cuasi-normados completos.

En el estado actual de nuestra exposici´on, este es el resultado estructural m´as general que se puede obtener. Como hemos anunciado en varias ocasiones, veremos m´as tarde para qu´e valores de p es posible dotar a los espacios de Lo- rentz de estructuras m´as robustas como las de espacios m´etricos y de espacios normados.

Antes de terminar esta secci´ on, conviene observar que en la demostraci´on del teorema anterior hemos obtenido el resultado siguiente.

Corolario 1.1.1 Sea (f

)

una sucesi´ on convergente que pertenece al espa- cio de Lorentz L

(X, A , µ, K) con 0 < p < +∞, entonces la sucesi´ on (f

)

converge en µ-medida. Dicho de otra manera, la convergencia en L

implica la convergencia en µ-medida.

Prueba. Si f

−→ f en L

(X, A , µ, K), tenemos que para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N , entonces

kf

− f k

= sup

α>0

n α × µ({x ∈ X : |f

(x) − f (x)| > α})

o

< ε

. De la misma manera que en la expresi´on (1.10) anterior, basta fijar α = ε para obtener µ({x ∈ X : |f

(x) − f (x)| > ε}) < ε, de donde se deduce la convergen-

cia en µ-medida.

Con estos resultados tenemos un primer vistazo de las propiedades de los

espacios de Lorentz L

y ahora es necesario comparar estos espacios de fun-

ciones con los espacios de Lebesgue L

.

B) Comparaci´ on entre espacios de Lebesgue L

y de Lorentz L

Adelant´ andonos un poco a la Secci´ on 1.2.3, en donde estudiaremos en detalle las relaciones entre los espacios de Lorentz generales, podemos ver desde ya que los espacios de Lorentz L

son una generalizaci´ on de los espacios de Lebesgue L

como lo muestra el resultado a continuaci´on.

Proposici´ on 1.1.6 (Inclusi´ on Lebesgue-Lorentz) Sea 0 < p < +∞ y sea (X, A , µ) un espacio medido. Entonces tenemos la inclusi´ on:

L

(X, A , µ, K) ( L

(X, A , µ, K).

N´ otese adem´ as que esta inclusi´ on es estricta. M´ as precisamente se tiene la estimaci´ on siguiente para toda funci´ on f ∈ L

(X, A , µ, K):

kf k

≤ kf k

. (1.11)

Prueba. Vamos primero a establecer la desigualdad (1.11) para posteriormente verificar que la inclusi´ on es estricta. Sea pues α > 0 un n´ umero real, entonces escribimos

kf k

= Z

X

|f (x)|

dµ(x) = Z

{|f|>α}

|f (x)|

dµ(x) + Z

{|f|≤α}

|f (x)|

dµ(x)

≥ Z

{|f|>α}

|f (x)|

dµ(x).

Dado que estamos integrando sobre el conjunto {x ∈ X : |f | > α} tenemos Z

{|f|>α}

|f (x)|

dµ(x) ≥ α

Z

{|f|>α}

dµ(x) = α

d

(α).

Es decir que para todo α > 0 se tiene la estimaci´ on uniforme kf k

≥ αd

1 p

f

(α), y podemos escribir kf k

≥ sup

α>0

α d

1 p

f

(α)

= kf k

.

Para mostrar que la inclusi´ on es estricta, basta exhibir una funci´ on que per-

tenece al espacio de Lorentz L

pero que no pertenece al espacio de Lebes-

gue L

con 0 < p < +∞. Por simplicidad, consideramos el espacio medido

(R

, Bor(R

), dx), sabemos entonces por la Observaci´ on 1.2 que las funciones

de tipo f (x) = |x|

pertenecen a los espacios de Lorentz L

para todo

0 < p < +∞ pero que nunca pertenecen a los espacios de Lebesgue L

.

Esta proposici´on nos muestra, tal como lo hab´ıamos anunciado, que los es-

pacios de Lorentz L

son efectivamente una generalizaci´ on de los espacios de

Lebesgue en el sentido que contienen much´ısimas m´as funciones que los espacios

L

. Pero el lector debe estar muy consciente que no se busca la generalizaci´ on

por el gusto de lo abstracto, sino porque existe una necesidad importante re-

lacionada con los espacios de Lorentz L

que los espacios de Lebesgue no

pueden resolver. Estos temas ser´an tratados con mayor detalle en los cap´ıtulos

siguientes.

En la demostraci´on de la Proposici´on 1.1.6 hemos redemostrado la desigual- dad de Tchebychev

, que es una herramienta fundamental cuando se trabaja en los espacios de Lorentz y que conviene tenerla siempre en mente:

Proposici´ on 1.1.7 (Desigualdad de Tchebychev) Sea 0 < p < +∞ y sea (X, A , µ) un espacio medido. Si f ∈ L

(X, A , µ, K), entonces para todo α > 0 tenemos la desigualdad

d

(α) = µ({x ∈ X : |f (x)| > α}) ≤ α

kf k

.

Tenemos pues a partir de estos resultados y de la mayoraci´ on (1.5), la cadena de estimaciones siguiente

α d

1 p

f

(α) ≤ kf k

≤ kf k

,

lo que muestra que si bien la desigualdad de Tchebychev es de gran utilidad, no es una estimaci´ on muy precisa.

Si los espacios de Lorentz L

contienen los espacios de Lebesgue L

, y si se tiene la desigualdad (1.11), es de esperarse que la cantidad k · k

que sirve para caracterizarlos posea ciertas propiedades interesantes, a pesar de ser

´

unicamente una cuasi-norma. En este sentido tenemos el siguiente resultado Proposici´ on 1.1.8 Sea 0 < p < +∞ un par´ ametro real. Sean (f

)

una sucesi´ on y f una funci´ on que pertenecen al espacio de Lebesgue L

(X, A , µ, K).

Si la sucesi´ on (f

)

converge hacia la funci´ on f en L

, entonces tambi´en se tiene esta convergencia en L

. Dicho de otra manera, la convergencia en L

implica la convergencia en L

.

Prueba. Fijemos 0 < p < +∞, la estimaci´ on (1.11) nos permite escribir kf − f

k

≤ kf − f

k

,

de donde se deduce inmediatamente que si la sucesi´on (f

)

converge hacia f en el espacio L

, tambi´en se tiene la convergencia en el espacio L

. Presentamos ahora otro resultado que es v´alido cuando se dispone de un poco m´as de estructura en el espacio sobre el cual est´ an definidas las funciones:

Proposici´ on 1.1.9 (Traslaci´ on y Dilataci´ on) Sea 0 < p < +∞ y conside- remos los espacios de Lorentz L

(R

, Bor(R

), dx, K). Para todo τ ∈ R

y todo λ > 0 tenemos

kf

k

= kf k

y kδ

[f ]k

= λ

kf k

.

Prueba. Recordemos que para todo τ ∈ R

la traslaci´ on f

de una funci´ on f : R

−→ K est´ a definida por f

(x) = f (x + τ). Utilizando la definici´on de la

11Ver tambi´en la Proposici´on 4.3.1 del Volumen 1.

funci´ on de distribuci´ on dada en la f´ ormula (1.1) y utilizando la unimodulari- dad

de R

tenemos directamente la identidad

d

(α) = Z

Rⁿ

1

(x)dx = Z

Rⁿ

1

(x)dx = d

(α), (1.12) de donde se deduce la primera identidad.

Recordemos ahora que la dilataci´on δ

[f ] de una funci´ on est´ a dada por la ex- presi´ on δ

[f ](x) = f (λx) = f (λx

, . . . , λx

). De esta manera tenemos, gracias a un cambio de variable:

d

(α) = Z

{|δλ[f]|>α}

dx = Z

{|f(λx)|>α}

dx

= λ

Z

{|f(x)|>α}

dx = λ

d

(α), (1.13) de donde se deduce la segunda identidad al reconstruir la funcional k · k

dada en (1.4).

Observaci´ on 1.4 Es importante notar que cuando se dispone de una estruc- tura de dilataci´on, las funcionales que determinan los espacios de Lebesgue L

y de Lorentz L

tienen el mismo comportamiento, es decir

kδ

[f ]k

= λ

kf k

y kδ

[f ]k

= λ

kf k

Volvamos ahora a las problem´ aticas de inclusi´ on entre los espacios de Lorentz y de Lebesgue. Sabemos que en el caso general si p 6= q entonces no existe ninguna relaci´on de inclusi´ on entre los espacios de Lebesgue L

y L

(ver la Secci´on 4.2.1 del Volumen 1). Esta situaci´ on se mantiene con los espacios de Lorentz L

y L

: es decir, en el caso general, si p 6= q no existe tampoco ninguna relaci´on de inclusi´ on entre estos dos espacios.

Sin embargo, cuando tenemos una informaci´ on adicional, sabemos por el Teorema 4.2.5 del Volumen 1, que cuando la medida del conjunto X es finita, existe la relaci´on de inclusi´ on estricta

L

(X, A , µ, K) ( L

(X, A , µ, K),

entre los espacios de Lebesgue cuando 1 ≤ p < q ≤ +∞. En el caso de los espacios de Lorentz L

definidos sobre espacios X de medida finita tenemos un resultado de inclusi´ on totalmente similar al de los espacios de Lebesgue y este resultado ser´a una consecuencia de la siguiente proposici´on.

Proposici´ on 1.1.10 Sea (X, A , µ) un espacio medido tal que µ(X) < +∞.

Sean p y q dos n´ umeros reales tales que 0 < p < q < +∞ y sea f una funci´ on de L

(X, A , µ, K). Tenemos entonces la estimaci´ on:

Z

X

|f (x)|

dµ(x) ≤ C(p, q) µ(X )

kf k

, (1.14) en donde C(p, q) =

.

12Ver la Proposici´on 4.1.14 del Volumen 2.