ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2010, Steve Ambler Hiver 2011
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse,il va de soique la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc vous n’avez pas besoin de calculatrice).
Vous avez trois heures.
1 Variances et covariances (10 points)
SoitY1etY2 des variables al´eatoires quelconques. Soita,b,cetddes constantes.
1. ´Ecrivez une expression alg´ebrique pour Corr(Y1, Y2), la corr´elation
´echantillonnale entreY1etY2 sur la base d’un ´echantillon den observations.
2. Montrez que
Corr(Y1, Y2) = Corr(a+bY1, c+dY2).
2 Distributions de probabilit´e jointes (15 points)
SoitXla variable al´eatoire qui mesure si un individu a un diplˆome universitaire (X = 1) ou non (X = 0). SoitY la variable al´eatoire qui mesure si un individu a un emploi (Y = 1) ou au chˆomage (Y = 0) (les individus ne faisant pas partie de la population active sont exclues de cette population). Soit la distribution de probabilit´e jointe donn´ee par
Y = 0 Y = 1 Total X = 0 0.037 0.622 0.659 X = 1 0.009 0.332 0.341 Total 0.046 0.954 1.000 1. ´Ecrivez une expression pour E(Y).
2. ´Ecrivez une expression pour le taux de chˆomage, la fraction de la population active n’ayant pas un emploi.
3. ´Ecrivez une expression pour E(Y|X = 1).
4. ´Ecrivez une expression pour E(Y|X = 0).
5. ´Ecrivez des expressions pour les taux de chˆomage des diplom´es et des non diplom´es.
6. Est-ce que les deux variables al´eatoires sont ind´ependantes ? Expliquez.
3 Estimateur de l’asym´etrie d’une variable al´eatoire (15 points)
Soit la variable al´eatoireY qui provient d’une distribution inconnue,
possiblement asym´etrique, et soitnobservations ind´ependantes provenant de cette distribution inconnue. Soit
AY ≡E (Y −E(Y))3 ,
l’asym´etrie de la distribution dans la population. Soit l’estimateur de l’asym´etrie donn´ee par
A˜Y ≡ 1 n−1
n
X
i=1
Yi−Y¯3
o`uY¯ est la moyenne ´echantillonnale deY. Soits2Aun estimateur convergent de la variance de Y −Y¯3
, Var
Y −Y¯3
≡σ2A.
1. Quelle serait la variance th´eorique deA˜Y ? Indice — je vous donne la varianceσA2, qui est la variance de chaque terme dans la sommation qui d´efinit l’estimateur. Il y a une relation simple entre cette variance et la variance deA˜Y.
2. ´Ecrivez une statistique que nous pourrions utiliser pour tester l’hypoth`ese nulle selon laquelle la distribution est sym´etrique.
3. `A quelle loi ob´eit la statistique de la partie pr´ec´edente en ´echantillon fini ? 4. `A quelle loi ob´eit cette statistique si le nombre d’observationsnest assez
´elev´ee ?
5. Avez-vous utilis´e (au moins implicitement) un th´eor`eme pour r´epondre `a cette partie de la question ? Laquelle ?
4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (40 points)
Voici un exemple de l’estimation d’un mod`ele de r´egression simple tir´e du livre Applied Econometrics with Rpar Kleiber et Zeileis, Section 3.1. Le mod`ele est
Yi =β0+β1Xi+ui,
o`u la variable d´ependante est le nombre d’abonnements par des bibilioth`eques universitaires `a la revuei(en logs) etXiest le prix par nombre de citations de la revue, aussi en logs. Les r´esultats sont les suivants :
Coefficient Estim´e Ecart type´
β0 4.7662 0.0559
β1 -0.5331 0.0356
On a aussi
n 180
SSR 100.1 ESS 125.9
o`unest le nombre d’observations,SSRest la somme des r´esidus au carr´e et ESS est la somme expliqu´ee des carr´es. SoitΦ(z)≡P r(Z ≤z)pour une variable al´eatoireZ qui suit une distribution normale centr´ee r´eduite cumul´ee.
1. Donnez une interpr´etation ´economique deβˆ1. 2. Quelle est la somme totale des carr´es ?
3. Montrez comment calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R2).
4. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.
5. Montrez comment calculer la statistiquetpour tester la significativit´e de βˆ1. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H0) qui est test´ee ? Quelle est l’hypoth`ese alternative (H1) qui est test´ee ?
6. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la distribution de la statistique faites-vous ?
7. Sans chercher dans les tables, est-ce que vous pouvez dire que le coefficientβˆ1est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.
8. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H0 : β1 =−0.5 contre l’hypoth`ese alternative
H1 : β1 <−0.5.
9. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.
10. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le coefficientβ1. Montrez votre travail. Vous n’ˆetes pas oblig´es de calculer une valeur num´erique pour cet intervalle de confiance.
5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (20 points)
Soit le mod`ele lin´eaire suivant
Yi =β0+β1Xi+ui,
o`u les observations sont ordon´ees pour que Xi > Xi−1,
donc en ordonn´ees en valeurs croissantes de la variable expicativeXi. On suppose queXi, Yisont i.i.d. avec 4e moments finis, et que E(ui|X =Xi) = 0.
Soit l’estimateur deβ1 donn´e par β˜1 =
n
X
i=2
Yi−Yi−1
Xi−Xi−1
.
1. Est-ce queβ˜1 est l’estimateur moindres carr´es ordinaires deβ1? Expliquez.
2. Montrez queβ˜est une fonction lin´eaire desYi, ´etant donn´ees les valeurs desXi.
3. Montrez queβ˜1est un estimateur non biais´e deβ1. Indice — utilisez la premi`ere ´equation pour substituerYi etYi−1dans la d´efinition de
l’estimateur, simplifiez, et finalement appliquez l’op´erateur d’esp´erance `a l’expression simplifi´ee, utilisant aussi la loi des esp´erances it´er´ees.
4. Pour des points suppl´ementaires, essayez de montrer que la variance deβ˜ tend vers z´ero. Vous pouvez supposer que
Var
ui Xi−Xi−1
=Var
ui−1
Xi−Xi−1
≡Var(vi) =σv2. 5. ´Etant donn´ee la r´eponse `a la partie pr´ec´edente, est-ce queβ˜1est un
estimateur convergent deβ1? N’essayez pas de montrer la convergence rigoureusement, donnez plutˆot un argument intuitif.
6. Est-ce queβ˜1est l’estimateur le plus efficient deβ1? Expliquez.
cr´e´e le : 22/02/2011
