TD - Dérivé

TD Dérivabilité

1. Equation de la tangente au graphique d’une fonction

Ex 1.1) Ecrire l’équation de la tangente au graphique de la fonction, dans les points indiqués.

a)

f ( x ) = x

², en

x

₀

= 2

; b)

f ( x ) = x

³

− x

, en

x

₀

= 1

; c)

f ( x ) = sin( x )

, en

x

₀

= 0

et

8

= π

x

; c)

f ( x ) = sin( 2 x )

, en

8

= π

x

; d)

f ( x ) = x

, en

x = 0

et

x = 1

; e)

f ( x ) = x + x

, en

x = 4

f)

f ( x ) = e

^x, en

x

₀

= 0

; g)

f ( x ) = ln( x )

, en

x

₀

= 1

;

Ex 1.2) Déterminer les équations des tangentes au graphique de la fonction

f ( x ) = ( x + 1 )

² qui passent par l’origine.

2. Interprétation numérique du nombre dérivé (approximation affine d’une fonction) Déterminer les approximations affines des fonctions suivantes autour des points indiqués.

a)

f ( x ) = x

²

+ 2 x + 3

, en

x

₀

= 0

; b)

f ( x ) = x

²

+ 2 sin( x )

, en

x

₀

= 0

c)

f ( x ) = e

^x

+ 2 x + cos( x )

, en

x

₀

= 0

d)

^{f ( x ) = ln} ( ^x

²

^{+ x + 1} )

^{, en}

x

0

= ⁰

3. Opérations algébriques avec les dérivées Ex 3.1) Ecrire les dérivées des fonctions suivantes :

a)

f ( x ) = x

¹⁰

+ 4 x

⁵

− x + 3

; b)

f ( x ) = − 2 x

⁶

+ 3 x

²

− 10 x + 5

c)

^{f ( x ) =} ( ^xe

^x

^{+ x} ) ^{ln( x ), ( x > 0 )}

^{; d)}

1 3 ) 2

(

3

+ +

= − x

x x x

f

; e)

f ( x ) = x

²

sin( x )

; f)

f ( x ) = x

³

cos

²

( x )

; g)

) 1

(

₂

3

= + x x x

f

; h)

f ( x ) = tan( x )

; 4. Dérivées des fonctions composées

a)

^{f ( x ) =} ( ^{2 x}

²

^{+ x} )

³ ; b)

^{f ( x ) = sin( 9 x )}

^{; c)}

^{f ( x ) = sin}

⁵

^{( x )}

; d)

f ( x ) = cos

²

( 3 x )

;

e)

cos( )

) 1

( x x

f =

f)

^{f ( x )} = ^ln ( ^{tan( x )} )

; g)

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= −

x x x

f 1

ln 1 )

(

; h)

f ( x ) = x

³

− x

; i)

f ( x ) = 4 − x

² ; j)

f ( x ) = e

^x−1 ; k) ^{4 2 1} ;

3

)

5

( x = e

^{x + x + x+}

f

l)

f ( x ) = 3

^x2+x+1

+ 2

^x2+1 m)

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= + x x

f 1

arcsin 1 )

(

5. Dérivées des fonctions réciproques Ex 5.1) Montrer que :

a)

^, ( ^{1 , 1}

1 ) 1 ( (arcsin)'

2

∀ ∈ −

= − y

y y )

; b)

^, ( ^{1 , 1} )

1 ) 1

( (arccos)'

2

∀ ∈ −

− −

= y

y y

c)

y R

y y ∀ ∈

= + , 1 ) 1 (

(arctan)'

₂ ; d)

y R

y y

arcc ∀ ∈

− +

= ,

1 ) 1 ( tan)'

(

₂

Ex 5.2) Soit

f : R → R

,

f ( x ) = x

³

+ 2 x

²

+ 4 x + 4

. Montrer que

f ' ( x ) > 0

pour tout

x

réel.

Calculer la valeur en

y

=4 pour la dérivée de la réciproque de

f

:

( ) ^f

^{−1 '}

^{( 4 )}

^.

Montrer que

( ) f

^{−1 '}

( y ) > 0

pour tout

y

réel.

Ex 5.3) Montrer que les fonctions

f : ( ) ( ) 1 , ∞ → 0 , ∞

et

g : ( ) ( ) 0 , ∞ → 1 , ∞

définies par

1 )

( x = x

²

−

f

et

g ( y ) = y

²

+ 1

sont réciproques (

g = f

⁻¹c.à.d.

g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x

, pour tout

x

). Calculer leurs dérivées et ensuite la dérivée

( ^g

_o

^f )

^'. Vérifier que

( ^g

_o

^f )

^'=1 pour tout

x>1

.

6. Applications de la dérivée à l’étude des fonctions (Variations et extremums) Ex 6.1) Déterminer les points d’extrema des fonctions réelles suivantes :

a)

^{f ( x ) = ln} ( ( ^x

²

^{+ 2} )( ^x

²

^{+ 3} ))

; b)

f ( x ) = sin

⁵⁰

( ) 2 x

c)

f ( x ) = e

^2x

+ e

^−3x ; d)

f ( x ) = 2 x

²

− 8 x + 7

; e)

f ( x ) = x

²

− 8 ln( x )

, (x>0) Ex 6.2) Montrer que la fonction

cos( 2 )

2 ) 1 ( sin )

( x

²

x x

f = +

est constante pour tout

x

réel.

(Indication : Montrer que

f ' ( x ) = 0

pour tout x réel.)

Ex 6.3) Déterminer les intervalles de monotonie des fonctions suivantes (sur leur domaine maximal) a)

f ( x ) = x

³

+ 6 x

² ; b)

1 ) 1

( = +

x x

f

; c)

x x x

f +

= − 2 ) 2

(

; d)

f ( x ) = x ln( − x )

; e)

f ( x ) = ( x + 2 ) e

^(−x) ; f)

1 ln( )

)

( x

x x

f = +

g)

f ⁽ x ⁾ = ^ln ( ( x

²

+ ² )( x

²

+ ³ ) )

Ex 6.4) Déterminer les points d’extrema locales et globales de la fonction

f ( x ) = 2 x + cos( 2 x )

sur l’intervalle

I = [ − 2 , 1 ]

.

7. Tracer les graphiques des fonctions suivantes :

a)

f ( x ) = x

³

+ x

² ; b)

( ) ^{1 1}

₂ ; c)

f ( x ) = x

²

ln( x )

;

x x

f = +

x

d)

sin( 2 )

2 ) 1 sin(

)

( x x x

f = +

; e)

) 1

( = +

x x x

f

; f)

f ( x ) = e

^x

− x

8. Problèmes

Ex 1) Sachant que la charge électrique instantanée dans un conducteur est donnée par la fonction

^{q ( t )} = ^{2 cos} ( ^{π t} )

, déterminer l’intensité du courant dans le conducteur.

A quel moment

t

min l’intensité est minimale ? A quel moment

t

max l’intensité est maximale ?

Ex 2) Déterminer les impédances complexes des dipôles linéaires R, L et C en régime alternatif sinusoïdal.

Ex 3) Sachant que la puissance instantanée obtenue par le déchargement d’un dipôle dans un circuit est donnée par la fonction

P ( t ) = t

³

e

^−0.2t, déterminer :

a) à quel moment

t

m la puissance est maximale ?

b) entre quelles limites varie la puissance

P (t )

dans l’intervalle de temps

t ∈ [ 10 s , 20 s ]

? Ex 4) Sachant que la loi de mouvement d’un mobile sur une droite est

x ( t ) = t

²

− 2 t + 1

, (

t>0

), Calculez la vitesse et l’accélération du mobile au moment

t = 1

.

Que peut-on conclure sur le mouvement du mobile ?

Ex 5) La loi de mouvement d’un mobile sur une droite est

x ( t ) = t

³

− 12 t

²

+ 4

, (

t>0

), A quel moment

t

0

,

l’accélération du mobile est nulle.

A quel moment

t

m , la vitesse du mobile est minimale et quelle est cette valeur minimale?