x2y x4+y2,(x, y x, y

Facult´e des Sciences [email protected] D´epartement de Math´ematiques http://lesfari.com El Jadida

Calcul diff´erentiel et Equations diff´erentielles

Exercice 1. (Rappel) Etudier la continuit´e et la diff´erentiabilit´e des fonc- tions d´efinies surR² par

f(x, y) =





xsin1

y, y 6= 0 0, y = 0

, f(x, y) =



 x²y

x⁴+y²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

f(x, y) =





(x²+y²)²sin 1

px² +y²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

f(x, y) =



 x⁴y

x⁶+y⁴,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

, f(x, y) =



 xy³

x⁴+y²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

f(x, y) =





xyx⁴−y⁴

x⁴+y⁴,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

, f(x, y) =





sinxsinysin1 xsin1

y, xy 6= 0 0, xy = 0 Exercice 2. Mˆeme question pour la fonction d´efinie sur R³ par

f(x, y, z) =





xy³z³

x⁴+y⁶+z⁸, (x, y, z)6= (0,0,0) 0, (x, y, z) = (0,0,0) Exercice 3. Pour quelles valeurs de (x, y) l’int´egrale

f(x, y) = Z _∞

−∞

e^tdt

(xe^t+ 1)(ye^t+ 1), est-elle convergente ? Etudier la continuit´e def.

Exercice 4. Montrer que si f est diff´erentiable au pointa, alors f est con- tinue ena. R´eciproque?

Exercice 5. Soit f une fonction de classe C¹ deR dans R. On pose g(x, y) =





f(x)−f(y)

x−y , x6=y f⁰(x), x=y a) Etudier la continuit´e deg sur R².

b) Sif⁰⁰(a) existe, g est-elle diff´erentiable en (a, a)?

Exercice 6. Montrer que siEetF sont deux espaces vectoriels norm´es quel- conques et sif :E −→F est une application lin´eaire, alors on a ´equivalence entre les trois propositions suivantes:

(i)f continue en 0.

(ii)∃C > 0 :kf(x)k_F≤C kxk_E . (iii)funiform´ement continue.

Exercice 7. Montrer que si f est diff´erentiable en a, alors f est d´erivable suivant tout vecteur ude Rⁿ et

∂f

∂u(a) =df(a)u, pour chaque ude Rⁿ.

Exercice 8. Montrer que sif est diff´erentiable au point a, alors les d´eriv´ees partielles _∂x^∂f

i(a) existent et on a df =

Xn

i=1

∂f

∂x_idx_i. R´eciproque ?

Exercice 9. Quelle est la valeur approch´ee de (1,02)^3,01?

Exercice 10. Montrer que si les d´eriv´ees partielles _∂x^∂f_i (1 ≤ i ≤ n) de f existent dans un voisinage deaet sont continues ena, alorsfest diff´erentiable ena. R´eciproque ?

Exercice 11. Montrer que si ^∂f_∂x et ^∂f_∂y existent au point (a, b) et que l’une est continue au point (a, b), alorsf est diff´erentiable en (a, b).

Exercice 12. On consid`ere une fonction f de R<sup>3</sup> dans R appartenant `a C¹(R³). On pose,

∀(x, y)∈R², F(x, y) =f(cosx², xy, f(y, y, y)).

Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 de F par rapport `a x et `a y en un point (a, b) ∈ R². On exprimera les d´eriv´ees partielles de F en fonction de celles de f.

Exercice 13. Soienta ∈E (evn de dim n), Ω un voisinage dea etf : Ω−→

F (evn de dim p). Posonsb=f(a) et soit ∆ un voisinage debetg :4 −→G (evn de dim q). On suppoe quef est diff´erentiable en aetg est diff´erentiable enb. Montrer que g◦f est diff´erentiable en a et

d(g◦f)(a) =dg(b)◦df(a).

Exercice 14. Montrer qu’exprim´e en terme de matrice jacobienne, l’exercice pr´ec´edent fournit le r´esultat suivant:

J_g◦f(a) = J_g(f(a)).J_f(a)

Exercice 15. Soit E un R-evn et Φ l’applicationx7→k xk. L’objet de cet exercice est d’´etudier la diff´erentiabilit´e de l’application Φ.

a) Montrer que Φ n’est pas diff´erentiable en 0.

b) On munit R^p de sa structure euclidienne usuelle et on note k x k=

pP_p

i=1x²_i.Montrer que Φ est C¹ surR^p\ {0_R^p} et pr´eciser sa diff´erentielle.

c) On munitR² de k.k∞. L’application Φ est-elle diff´erentiable?

d) On consid`ere l’espace {a = (a_n) ∈ R^N : P_∞

n=0a_nest abs. conv.} muni de la norme kxk=P_∞

n=0 |x_n|. L’application Φ est-elle diff´erentiable?

Exercice 16. Calculer la d´eriv´ee de g(x) =

Z _b(x)

a(x)

f(x, t)dt,

en supposanta, b, f de classe convenable l`a o`u il faut.

Exercice 17. Soit M_n(n,K) l’ensemble des matrices n × n. Montrer que l’application:

M_n(n,K)−→M_n(n,K), M 7−→M^p, p∈N^∗, est diff´erentiable en tout point. Quelle est sa diff´erentielle?

Exercice 18. Soit GL_n(n,K) l’ensemble des matrices n×n inversibles.

a) Montrer que l’application:

f :GLn(n,K)−→GLn(n,K), M 7−→M⁻¹, est diff´erentiable en tout point et que

∀(A, H)∈GL_n(n,K)² :df(A)(H) =−A⁻¹HA⁻¹. b)Montrer que l’application:

g :GL_n(n,K)−→K, M 7−→detM, est de classeC¹ en tout point et que

∀(A, H)∈GL_n(n,K)² :dg(A)(H) = detA.Tr(A⁻¹H).

Exercice 19. Montrer que pour tout op´erateur lin´eaire A:Rⁿ −→Rⁿ, ona det(I+tA) = 1 +ttrA+o(t²), t →0

o`uI est la matrice unit´e et trA =P_n

i=1a_iiest la trace de la matrice associ´ee

`a l’op´erateurA par rapport `a une base quelconque. En d´eduire que la trace ne d´epend pas de la base.

Exercice 20. Soit Ω un ouvert de E, f : Ω−→ R une application, a ∈ Ω, h∈ E tels que le segment [a, a+h] = {a+th : 0 ≤t ≤ 1} soit inclus dans Ω. On suppose que f est diff´erentiable sur Ω. Montrer qu’il existe un r´eel θ∈]0,1[ tel que:

f(a+h)−f(a) = Xn

i=1

h_i ∂f

∂xi

(a+θh), avech= (h₁, ..., h_n)∈E.

Exercice 21. Soit Ω un ouvert de E, f : Ω −→ F une application, a ∈ Ω, h∈E tels que le segment [a, a+h] soit inclus dans Ω. On suppose que f est continue sur [a, a+h], diff´erentiable sur ]a, a+h[ et que :

∃M,∀x∈]a, a+h[,kdf(x)k≤M.

Montrer que :

kf(a+h)−f(a)k≤M khk.

Exercice 22. Montrer que le syst`eme dansR²:







x= 1

2sin(x+y) y= 1

2cos(x−y) admet une solution unique.

Exercice 23. Soit Ω un ouvert convexe de E, f : Ω −→F une application diff´erentiable dans Ω. Supposons qu’il existe

M = sup{kdf(x)k; x∈intΩ}<+∞, tel que :

∀x∈Ω, kdf(x)k≤M.

Montrer quef est lipschitzienne sur Ω.

Exercice 24. Soit Ω ⊂ E, un ouvert et soit (f_n) une suite de fonctions d´efinies sur Ω `a valeurs dans F, de classe C¹. On suppose qu’il existe f : Ω−→F etg : Ω−→ L(E, F) telles que :

i) (f_n) converge simplement vers f sur Ω.

ii) (f_n⁰) converge uniform´ement vers g sur tout compact de Ω.

1) Montrer quef ∈ C¹(Ω, F) et f⁰ =g.

2) Montrer que si Ω est connexe, alors on peut remplacer i) par

∃a∈Ω, lim

n→+∞f_n(a) =f(a).

Exercice 25. Soit f : Ω ⊂ E −→ R et a ∈ intΩ. Soient i 6=j ∈ {1, ..., n}.

Supposons que ∂²f

∂xi∂xj

et ∂²f

∂xj∂xi

existent en tous les points d’un voisinage U de a et que ces deux fonctions sont continues en a.

1) Montrer que :

∂²f

∂x_i∂x_j(a) = ∂²f

∂x_j∂x_i(a).

2) Plus g´en´eralement, Montrer que si f; Ω ⊂ E −→ R est de classe C^k sur l’ouvert Ω et si σ est une permutation de {1,2, ..., k}, alors

∂^kf

∂x_ik...∂x_i2∂x_i1 = ∂^kf

∂x_iσ(k)...∂x_iσ(2)∂x_iσ(1).

Exercice 26. Soit a ∈E, Ω un voisinage de a et f : Ω −→R. Soit h ∈E, tel que le segment [a, a+h], soit contenu dans Ω. On suppose que f ∈ C^r+1

sur Ω.Montrer qu’il existe θ ∈]0,1[ tel que : f(a+h) = f(a) +

Xn

i=1

∂f

∂x_i(a)h_i+1 2

Xn

i1,i2=1

∂²f

∂x_i2∂x_i1(a)h_i1h_i2 +...

+1 r!

Xn

i1,...,ir=1

∂^rf

∂x_ir...∂x_i1(a)h_i1...h_ir

+ 1

(r+ 1)!

Xn

i1,...,ir+1=1

∂^r+1f

∂x_ir+1...∂x_i1(a+θh)h_i1...h_ir+1. Exercice 27. Quelle est la valeur approch´ee de (0,95)^2,01?

Exercice 28. Soit Ω un ouvert de E etf : Ω−→E, une fonction de classe C¹. Soit x0 ∈Ω,b0 =f(x0). Supposons que df(x0) soit inversible.

1) Montrer qu’il existe un voisinage U(x₀) de x₀ et un voisinage V(b₀) de b₀ tels que la restriction def `aU(x₀) soit une bijection de U(x₀) sur V(b₀).

2) Montrer que la r´eciproquef⁻¹ :V(b0)−→U(x0), est de classe C¹.

Exercice 29. Soit Ω ⊂ E, un ouvert et f : Ω −→ E, une fonction de classe C¹. Soit x₀ ∈ Ω, b₀ = f(x₀). Supposons que : ∀x ∈ Ω, df(x) est un isomorphisme. Montrer que :

a) ∆⊂Ω, ouvert=⇒ f(4)⊂E, ouvert.

b)f injective au voisinage de chaque point de Ω.

c)f peut ne pas ˆetre injective sur Ω tout entier mˆeme si Ω est connexe.

Exercice 30. Soitf : Ω⊂E −→E,une fonction de classeC¹ sur l’ouvert Ω et supposons que df(x) est un isomorphisme pour tout x ∈ Ω. Montrer que f(∆) est ouvert dans E pour chaque ouvert ∆⊂Ω.

Exercice 31. Sous les hypoth`eses de l’exercice pr´ec´edent, montrer que a)f est injective au voisinage de chaque point de Ω.

b)f peut ne pas ˆetre injective sur Ω tout entier (mˆeme lorsque Ω est connexe).

Exercice 32. Pla¸cons nous dans la situation du th´eor`eme d’inversion locale dont nous utilisons les notations (voir cours) : Ω, f, x₀, U, V et f₁. Montrer que pour tout voisinage ouvert W ⊂U dex₀, f(W) est un voisinage ouvert def(x₀), et f est bijective deW surf(W) avec une r´eciproque de classe C¹ (C^k si f l’est).

Exercice 33. Soit Ω un ouvert de Rⁿ×R^p et g : Ω−→R^p une fonction de classeC¹. Soit (a, b)∈Ω. Supposons que :

(i)g(a, b) = 0.

(ii) la matrice µ∂g_i

∂y_j(a, b)

¶

1≤i,j≤p

est inversible.

Montrer qu’il existe un voisinage U(a) de a dans Rⁿ et un voisinage V(b) de b dans R^p, avec U(a)×V(b) ⊂ Ω, tels qu’il existe une fonction unique f :U(a)−→V(b),avec

(i)’ b=f(a).

(ii)’ g(x, f(x)) = 0, ∀x∈U(a).

Cette fonctionf est de classe C¹. De plus, si g est de classe C^k (k ≥1), f est de classeC^k.

Exercice 34. On consid`ere la relation :

g(x1, ..., xn, y) = 0,

o`ug :Rⁿ×R−→Rest de classeC¹ et soit (a, b)∈Rⁿ×Ravecg(a, b) = 0 et

∂g

∂y(a, b)6= 0. Montrer que qu’il existe f d´efinie et de classe C¹ au voisinage dea dans Rⁿ avec

∂f

∂x_i(a) = −

∂g

∂x_i(a, b)

∂g

∂y(a, b) .

Exercice 35. On consid`ere deux surfaces d’´equations : x²(y²+z²) = 2,

et

(x−z)²+y² = 1.

Peut-on repr´esenter la courbe intersection de ces surfaces par des ´equations de la forme y = f₁(x) et z = f₂(x) au voisinage du point (1,1,1)? Si oui, calculerf₁⁰(1) etf₂⁰(1).

Exercice 36. On consid`ere la courbe d’´equation : g(x, y) =y²−2x³ −x² = 0.

Peut-on repr´esenter cette courbe par une ´equationx=f(y).

a) au voisinage du point (1,√ 3)?

b) au voisinage du point (0,0)?

Si oui, calculer lad´eriv´ee de f au point consid´er´e.

Exercice 37. On suppose que les variables r´eelles x, y, z sont li´ees par la relationf(x, y, z) = 0. Montrer que sous des hypoth`eses `a pr´eciser

∂x

∂y

∂y

∂z

∂z

∂x =−1.

Exercice 38. On consid`ere la surface d’´equation : xy−zlny+ expxz = 1.

Cette surface peut-elle ˆetre repr´esent´ee,

a) par une ´equation de la formez =f(x, y) au voisinage du point (0,1,1)?

b) par une ´equation de la formey=h(x, z) au voisinage du point (0,1,1)?

Si oui, calculer les d´eriv´ees premi`eres def eth au point consid´er´e.

Exercice 39. Soit f l’application de R² dans R² d´efinie par (x, y)∈R² −→f(x, y) = (x²−y²−2xy, y)∈R².

1) Montrer que f d´efinit une bijection de U = {(x, y) ∈ R² : x > y} sur V ={(u, v)∈R² :u+ 2v² >0}.

2)f est-elle un hom´eomorphisme de U surV?

3)f est-elle un diff´eomorphisme de classe C¹ deU surV?

4) Soitg une fonction continument d´erivable deR dans R, eth l’application (x, y)∈R² −→h(x, y) =g(x²−y²−2xy)∈R.

4.1) Calculer ∂h

∂x et ∂h

∂y. 4.2) Montrer l’´egalit´e

∀(x, y)∈R², (x+y)∂h

∂x + (x−y)∂h

∂y = 0. (∗)

4.3) On cherche les fonctions de classeC¹ deU dans Rv´erifiant l’´egalit´e (*).

(i) Soith1 une fonction de classeC¹ v´erifiant l’´egalit´e (*). Montrer que l’applicationg₁ :

(u, v)∈V 7−→g₁(u, v) =h₁◦f(u, v)∈R, est de classeC¹ et v´erifie ∂g₁

∂v = 0.

(ii) On admet que si une fonction H de classe C¹ de V dans R v´erifie

∂H

∂v = 0 alors H ne d´epend pas de la variable u.

En d´eduire la forme g´en´erale des fonctions v´erifiant l’´egalit´e (*) dans U.

Exercice 40. Soient Ω un ouvert de Rⁿ et f : Ω −→ Rⁿ une application diff´erentiable injective. Montrer quef est un diff´eomorphisme de Ω surf(Ω) si et seulement si le rang de f en tout point de Ω est n.

Exercice 41. Soient Ω un ouvert de E et f : Ω −→ F une application diff´erentiable de rang constantr. Montrer que pour tout a∈Ω, il existe

(i) un voisinage ouvertU(a) de a dans Ω.

(ii) un voisinage ouvertV(b) de b=f(a) dans F, contenant f(U(a)).

(iii) un diff´eomorphisme localg :U(a)−→W deEet un diff´eomorphisme local h:V(b)−→W⁰ deF.

tels que l’on ait :

(h◦f ◦g⁻¹)(x1, ..., xn) = (x1, ..., xr,0, ...,0), ∀(x1, ..., xn)∈W.

Exercice 42. Montrer qu si f est diff´erentiable en x et homog`ene de degr´e α, alors on a la formule d’Euler :

Xn

k=1

x_k ∂f

∂x_k(x) =αf(x).

Exercice 43. D´eterminerf : (R^∗₊)³ −→Rhomog`ene de degr´eα en (y, z), β en (z, x) et γ en (x, y).

Exercice 44. Soit E, F deux espaces vectoriels r´eels norm´es et f :−→ F v´erifiant

f(x+y) =f(x) +f(y), ∀x, y ∈E.

On suppose que f est born´ee sur la boule unit´e de E. Montrer que : a)∀λ∈Q, ∀x∈E, f(λx) =λf(x).

b)f est continue en tout point de E.

c)f est lin´eaire.

Exercice 45. On appelle cˆone (positif) d’un evn E une parte C de E v´erifiant: ∀x∈E,∀λ >0, λx∈C. V´erifier que

C ={(x, y)∈R² :y−x≥0}, est un cˆone positif et que

f : (x, y)7−→√ y−x, est homog`ene (pr´eciser son degr´e).

Exercice 46. D´eterminer les fonctionsϕ de classeC¹ telles que:

ϕ(x

y) = f(x)g(y).

Exercice 47. Montrer que si f est diff´erentiable en a et pr´esente un ex- tremum en a, alors df(a) = 0.

Exercice 48. Soit Ω un ouvert de E, f : Ω−→R une fonction de classe C² eta∈Ω tel que : df(a) = 0.

1) Montrer que sid²f(a) est une forme quadratique d´efinie positive, alors f poss`ede un minimum local au pointa.

2) Montrer que sid²f(a) est une forme quadratique d´efinie n´egative, alors f poss`ede un maximum local au point a.

3) Montrer que si la forme quadratique d²f(a) est ind´efinie, alorsf n’a pas d’extremum au pointa.

Exercice 49. Montrer que si f poss`ede un minimum local (resp. un max- imum local) au point a, alors d²f(a) est semi-d´efinie positive (resp. semi- d´efinie n´egative).

Exercice 50. Soit Ω un ouvert de E, f : Ω−→R une fonction de classe C² eta∈Ω tel que : df(a) = 0.

1) Montrer que si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement positives, alors f poss`ede un minimum local au point a.

2) Montrer que si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement n´egatives, alors f poss`ede un maximum local au point a.

3) Montrer que s’il existe deux valeurs propres λ1 etλ2 de H(f, a) de signe contraire,f ne poss`ede ni maximim ni minimum local au point a.

Exercice 51. Dans les hypoth`eses de la proposition pr´ec´edente, montrer que:

1) Si f poss`ede un minimum local au point a, toutes les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont positives ou nulles.

2) Si f poss`ede un maximum local au point a, toutes les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont n´egatives ou nulles.

Exercice 52. D´eterminer les extremums de la fonction : f(x, y) =x³+ 3xy²−15x−12y.

Exercice 53. Soit f, g∈ C¹(R³,R), S ={(x, y, z)∈R³ :g(x, y, z) = 0}. On suppose que la diff´erentielle de g est non nulle en tout point de S. Montrer que si f admet un extremum sur S en a ∈ S, il existe λ ∈ R, tel que:

df(a) = λdg(a).

Exercice 54. D´eterminer les extremums de la fonction : f(x, y) = sinx.siny.

Exercice 55. Soient f : Ω ⊂ E −→R et g : Ω ⊂ E −→F, deux fonctions de classe C¹. Supposons que f poss`ede au point a un extremum sous les

contraintes g(x) = 0 et que la matrice jacobienne J_g(a) de g au point a soit de rangp.Montrer qu’il existe des constantes λ₁, ..., λ_p telles que :

∂f

∂x(a) = Xp

i=1

λi

∂g_i

∂x(a).

Exercice 56. Soit A ∈ M_n(R) sym´etrique d´efinie positive et f ∈ Rⁿ. On leur associe l’application

F :Rⁿ−→R, x7−→F(x) = 1

2 < Ax, x >−< f, x > . a) Etudier la diff´erentiabilit´e deF.

b) Calculer gradF.

c) D´eterminer les extremums deF.

Exercice 57. Chercher un extremum de la fonction : f(x, y) =x²₁+x²₂,

sous la contrainte :g(x1, x2) =x²₁−x²₂−1 = 0.

Exercice 58. Chercher les extremums de la fonction : f(x, y, z) = xlnx+ylny+zlnz, sous la contrainte :x+y+z =a, (a >0).

Exercice 59. D´eterminer les extremums de la fonctionf d´efinie surR³ par f(x, y, z) = expx+ expy+ expz,

lorsque (x, y, z) est soumis `a la contrainte : x+y+z = 0.

Exercice 60. Soit n∈N^∗. Dans ce probl`eme, on consid`ere l’espace vectoriel Rⁿ muni du produit scalaire canonique et on d´esigne par f une fonction de classeC² surRⁿ. On dit que f est convexe sur Rⁿ si :

∀(x, y)∈(Rⁿ×Rⁿ),∀ ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).

1) Soitg une fonction de classe C² et convexe sur R telle que :

∃x0 ∈R, g⁰(x0) = 0.

Montrer queg admet un minimum en x₀.

2) a) Montrer quef est convexe sur Rⁿ si et seulement si pour tout (x, y)∈ (Rⁿ×Rⁿ), la fonction ϕ_x,y d´efinie sur R par :

∀t∈R, ϕ_x,y(t) =f(x+yt),

est convexe sur R.

b) Montrer que pour tout (x, y)∈(Rⁿ×Rⁿ), ϕ_x,y est de classe C² sur R.

D´eterminer alors, pour tout (x, y)∈ (Rⁿ×Rⁿ), ϕ⁰_x,y et ϕ⁰⁰_x,y en fonction des d´eriv´ees partielles def.

c) Soientx∈Rⁿ etA_x ∈ M_n(R), A_x= (a_ij)_1≤i,j≤n,la matrice d´efinie par

∀(i, j)∈[1, n]², a_ij = ∂²f

∂x_i∂x_j(x).

Soit alorsψx l’endomorphisme deRⁿ dont la matrice dans la base canonique deRⁿ estA_x. Montrer que les valeurs propres deA_x sont positives ou nulles si et seulement si ∀y∈Rⁿ,hψ_x(y), yi ≥0.

d) En d´eduire que f est convexe sur Rⁿ si et seulement si pour tout x∈Rⁿ, toutes les valeurs propres de A_x sont vpositives ou nulles.

3) Soitx₀ ∈Rⁿ.Montrer que sif est convexe surRⁿet si∀i∈[1, n],_∂x^∂f

i(x₀) = 0, alors f admet un minimum en x0.

Exercice 61. Montrer que toute ´equation diff´erentielle d’ordre n sous forme normale peut se ramener `a un syst`eme de n ´equations du premier ordre sous forme normale.

Exercice 62. Soit Ω un ouvert de R×Rⁿ.Montrer qu’une fonction y:I ⊂ R→Rⁿ,dont le graphe est inclus dans Ω est solution du probl`eme de Cauchy

½ y⁰ =f(t, y) y(t0) =y0

si et seulement si y est continue et satisfait l’´equation int´egrale y(t) =y₀+

Z _t

t0

f(τ, y(τ))dτ, ∀t∈I.

Exercice 63. a) Soit (E,d) un espace m´etrique complet et soit T : E →E une application contractante. Montrer que T admet un unique point fixe.

b) En d´eduire que siT^p =T ◦T ◦...◦T est contractante, alors T admet un unique point fixe dans E.

c) Montrer que le fait que T^p est une contraction n’implique pas que T en soit une.

Exercice 64. Soitf : Ω→Rⁿ,(t, y)7→f(t, y) o`u Ω est un ouvert deR×Rⁿ. Montrer que :

a) Si f(t,y) est lipschitzienne par rapport `a y, alors elle est uniform´ement continue par rapport `a y.

b) Si f(t,y) est localament lipschitzienne par rapport `a y, alors elle est continue par rapport `a y.

c) Si f(t,y) poss`ede des d´eriv´ees partielles premi`eres continues par rapport `a y, alors elle est localement lipschitzienne dans Ω.

d) Si Ω est connexe et si f(t,y) poss`ede des d´eriv´ees partielles en y continues, alors elle est lipschitzienne si et seulement si ses d´eriv´ees sont born´ees.

e) Si f(t,y) est continue et localement lipschitzienne sur un compact, alors elle est lipschitzienne sur ce compact.

Exercice 65. Soit f : Ω ⊂ R× Rⁿ → Rⁿ,(t, y) 7→ f(t, y) une fonction localement lipschitzienne par rapport `a y. Montrer que pour tout cylindre ferm´eS ⊂Ω, f est lipschitzienne par rapport `a y sur S.

Exercice 66. Soit f : Ω → Rⁿ,(t, y) 7→ f(t, y), o`u Ω est un ouvert de R×R<sup>n</sup> et o`u f est continue en (t,y) et localement lipschitzienne par rapport

`a y. Montrer que :

a) Pour toute donn´ee de Cauchy (t0, y0) ∈ Ω, il existe un intervalle ferm´e I centr´e en t₀ et une solution locale y : I → Rⁿ de l’´equation diff´erentielle y⁰ =f(t, y) telle que : y(t₀) =y₀.

b) Cette solution est de classeC¹ et est unique.

Exercice 67. Montrer que le probl`eme de Cauchy y⁽ⁿ⁾ =f(t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾), y(t₀) =y₀, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) = y₀⁽ⁿ⁻¹⁾,

admet localement une solution unique, lorsque f est continue en (t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾) et localement lipschitzienne en (y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾).

Exercice 68. Soit x(t) =y₀ et la suite x(t), x₁(t), ..., x_p(t), ... o`u x_p(t) = y₀+

Z _t

t0

f(τ, x_p−1(τ))dτ,

et o`u les hypoth`eses de l’exercice 6 sont satisfaites. Montrer que :

a) La suite (x_p(t)) converge uniform´ement sur [t₀ −l, t₀ +l] vers l’unique solutiony(t) de l’´equation y⁰ =f(t, y) telle que : y(t₀) = y₀.

b) Que peut on dire dekx_p(t)−y(t)k_∞ ?

Exercice 69. Soitf : Ω→Rⁿ,(t, y)7→f(t, y),une fonction continue en (t,y) et localement lipschitzienne en y sur l’ouvert Ω⊂R×Rⁿ. Soit (t₀, y₀)∈Ω une donn´ee de Cauchy. Montrer qu’il existe une et un seule solution maximale de l’´equationy⁰ = f(t, y) passant par (t₀, y₀). Les bouts droits et gauches (s’ils existent) sont inclus dans le bord de Ω.

Exercice 70. Soit f : Ω → Rⁿ, Ω un ouvert dans R×Rⁿ, f est continue.

Montrer que pour tout (t₀, y₀)∈Ω, il existe localement une solutiony:I → Rⁿ de l’´equation diff´erentielley⁰ =f(t, y) telle que : y(t₀) =y₀.

Exercice 71. On suppose quef(t, y) est continue dans un cylindre et qu’en outre

|t−t₀|.kf(t, y₂)−f(t, y₁)k ≤ ky₂−y₁k.

Montrer que l’´equation y⁰ = f(t, y) poss`ede une solution unique pour la donn´ee de Cauchyy(t0) =y0.

Exercice 72. Montrer que le probl`eme de Cauchy y⁰ = exp(−t²) +y², y(0) = 0, admet une solution unique pour 0≤t≤ ¹₂.

Exercice 73. D´eterminer toutes les applications f deux fois d´erivables sur Rtelles que :

∀x∈R, f⁰(x) =f(λ−x).

Exercice 74. Soit l’´equation diff´erentielle ty⁰+ (1−t)y= texpt

t²+ 1, a) R´esoudre cette ´equation surR^∗₊ et sur R^∗₋.

b) Montrer qu’il existe une solution de cette ´equation et une seule d´efinie sur R.

Exercice 75. R´esoudre les ´equations suivantes : a)y⁰+ _1−t^t2y= arcsint+t.

b)ty⁰ =t+y.

c) (t+ 2y−1)y⁰+ (2t+y+ 1).

d) (2t+ 2y−1)y⁰+ (t+y+ 2).

e)y⁰−2ty =−ty².

f) 2t+ 3t²y+ (t³−3y²)y⁰ = 0.

g) 2y+t(2 +y)y⁰ = 0.

h)y−(t+ 1)y⁰². i)y−ty⁰+ expy⁰ = 0.

j) ty⁰+y−t³y⁴ = 0.

k) (t²lny−t)y⁰−y= 0.

l) (4t−1)²y⁰⁰−2(4t−1)y⁰+ 8y = 0.

m) ty⁰⁰−y⁰lny⁰+y⁰lnt= 0.

n)yy⁰⁰−y⁰²−1 = 0.

o) (2t+y³)y⁰−y= 0.

Exercice 76. Montrer que le probl`eme de Cauchy





x⁰⁰= sinx x(0) = ^π₄ x⁰(0) = 0 admet une solution unique.

Exercice 77. Soient A = (a_jk) et b = (b_j), n² +n fonctions continues de I ⊂ R dans R. Montrer que le syst`eme y⁰ =A(t)y+b(t) admet pour toute donn´ee de Cauchyy(t₀)∈ I×Rⁿ une solution maximale unique d´efinie sur tout I.

Exercice 78. Montrer que l’ensemble des solutions d’un syst`eme homog`ene y⁰ =A(t)y, o`u la matriceA(t) est form´ee den²fonctions continues surI ⊂R, est un espace vectoriel de dimension n.

Exercice 79. Soit R(t;t₀) la matrice r´esolvante du syst`eme d´efini dans l’exercice pr´ec´edent. Montrer que :

a)R(t;t₀) = Id.

b)R(t;s) =R(s;r) = R(t;r).

c)La matriceR(t;s) est inversible et R⁻¹(t;s) =R(s;t).

Exercice 80. Montrer qu’un ensemble (v₁, ..., v_n) de n solutions du syst`eme (exercice 15), est un syst`eme fondamental si et seulement si∀t ∈I, (v₁(t), ..., v_n(t)) est une base de Rⁿ si et seulement si pour un t0 ∈ I, (v1(t0), ..., vn(t0)) est une base deRⁿ

Exercice 81. Montrer que la matrice r´esolvante R(t;t₀) du syst`eme d´efini dans l’exercice 15, est l’unique fonction I → R<sup>n×n</sup> solution du syst`eme de n×n´equations diff´erentielles lin´eairesR⁰(t;t₀) = A(t)R(t;t₀) pour la donn´ee de Cauchy : R(t₀;t₀) =Id.

Exercice 82. (Equation de Jacobi-Liouville). Montrer que detR(t;t₀) =e

R_t

t0trA(τ)dτ,

o`utrA(τ) d´esigne la matriceA(τ), ou pour toute matrice fondamentaleV(t), detV(t) = detV(t₀)e

R_t

t0trA(τ)dτ.

Exercice 83. Supposons que A(t) et A(s) commutent ∀t, s ∈ I. Montrer que

R(t;t0) =e

R_t

t0trA(τ)dτ.

Exercice 84. Montrer que l’espace des solutions du syst`eme : y⁰ =A(t)y+b(t),

est un sous-espace affine de dimension n de l’espace vectoriel C⁰(I,Rⁿ), obtenu en faisant la somme de l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene y⁰ =A(t)y et d’une solution quelconque du syst`eme non homog`ene.

Exercice 85. Montrer que la solution du syst`eme : y⁰ =A(t)y+b(t), satisfaisant y(t₀) =y₀ est donn´ee par

y(t) =R(t;t₀)y₀+ Z _t

t0

R(t;τ)b(τ)dτ,

o`uR(t;τ) est la matrice r´esolvante du syt`eme homog`ene.

Exercice 86. On consid`ere l’´equation lin´eaire d’ordre n,

a₀(t)y⁽ⁿ⁾+a₁(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a_(n−1)(t)y⁰+a_n(t)y=b(t),

o`u lesa₀ 6= 0, a₁(t), ..., a_n(t), b(t) sont des fonctions continues d´efinies sur un intervalle ouvert I de R.

a) Montrer que pour chaque t₀ ∈ I et chaque point (u₀, u₁, ..., u_n−1) ∈ Rⁿ, il existe une solution unique y :I → R, t 7→ y(t), de l’´equation diff´erentielle ci-dessus d´efinie sur I et satisfaisant aux conditions initiales :

y(t0) = u0, y⁰(t0) = u1, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0) = u(n−1).

b) Montrer que l’ensemble S des solutions de l’´equation lin´eaire homog`ene : a₀(t)y⁽ⁿ⁾+a₁(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a_(n−1)(t)y⁰+a_n(t)y= 0,

est un espace vectoriel de dimension n. Pour chaquet₀ ∈I, la fonction asso- ciant `a une solution y, le n-uple (y(t₀), y⁰(t₀), ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀)) est une bijection lin´eaire de S surRⁿ.

c) Que devient l’´equation de Jacobi-Liouville de l’exercice 82.

Exercice 87. On rappelle que l’exponentiellee^Ad’une matriceA∈M_n(K),K= Rou C est d´efinie par la s´erie :

e^A= X∞

k=0

A^k k!. a) Montrer que cette s´erie converge normalement.

b) Montrer que pour une matrice diagonale

D=







λ₁ 0 · · · 0 0 λ2 . .. ...

... ... ... 0 0 · · · 0 λ_n





,

on a

e^D =







e^λ1 0 · · · 0 0 e^λ2 . .. ...

... ... ... 0 0 · · · 0 e^λn





.

c) SoitA, B ∈M_n(K.Montrer que si A et B commutent, alors e^A.e^B =e^A+B =e^B.e^A.

d)Montrer que pour A∈M_n(K etP ∈GL_n(K, on a e^A =P⁻¹.e^{P AP−1}.P e) Montrer que : (e^At)⁰ =Ae^At.

e) Montrer que : dete^A=e^trA.

Exercice 88. Montrer que la solution g´en´erale du syst`eme homog`ene `a co- efficients constants : y⁰ =Ay est donn´ee par

y(t) =e^(t−t0)Ay₀, ∀y₀ ∈Rⁿ,

et que c’est l’unique solution satisfaisant `a la condition initiale : y(t0) =y0. Exercice 89. Reprenons le syst`eme de l’exercice pr´ec´edent.

a) On suppose que la matrice A est diagonalisable. Soit (V₁, ..., V_n) une base de vecteurs propres pour A et soit λ1, ..., λn les valeurs propres associ´ees.

Montrer que l’ensemble (e^λ1tV₁, ..., e^λntV_n) forme un syst`eme fondamental de solutions.

b) Montrer que si la matrice A est diagonalisable sur C mais pas sur R, il suffit dans la famille g´en´eratrice des solutions de remplacer, pour les valeurs non r´eelles,αe^λtV +βe^λtV par aRe(e^λtV) +bIm(e^λtV).

c) Que peut-on dire si la matrice A est triangularisable ou r´eduite sous forme de Jordan ?

Exercice 90. Int´egrer les syst`emes diff´erentiels a)

½ y1

0 =y1+ 5y2

y2

0 =y1−3y2

b)





y₁⁰ = 6y₁−12y₂−y₃ y2

0 =y1−3y1−y3

y₃⁰ =−4y₁+ 12y₂ + 3y₃

Exercice 91. R´esoudre matriciellement le probl`eme de Cauchy :

½ y₁⁰ =y₁+y₂ y₂⁰ =y₁−y₂ y₁(0) = 2, y₂(0) = 0.

Exercice 92. Int´egrer les syst`emes diff´erentiels a)

½ y₁⁰ = 5y₁−y₂ y₂⁰ =y₁+ 3y₂

b)





y₁⁰ = 2y₁ +y₂+y₃ y₂⁰ =−2y₁−y₃ y₃⁰ = 2y₁ +y₂+ 2y₃ Exercice 93. Int´egrer les syst`emes diff´erentiels

a)

½ y₁⁰ = 4y₁−3y₂ y2

0 = 3y1+ 4y2

b)





y₁⁰ =y₁−y₃ y2

0 =y1

y3

0 =y1−y2

Exercice 94. Int´egrer le syst`eme diff´erentiel

½ y₁⁰ = 4(y₁+y₂) y₂⁰ =y₁+ 4y₂

et trouver la solution particuli`ere telle que: y₁(0) = 0, y₂(0) = 1.

Exercice 95. Int´egrer les syst`emes diff´erentiels a)

½ y₁⁰ =y₂−5 cost y₂⁰ = 2y₁+y₂ b)

½ y1

0 = 4y1−y2+e^3t(t+ sint) y₂⁰ =y₁+ 2y₂+xe^3tcost

Exercice 96. D´eterminer deux int´egrales premi`eres du syst`eme





y₁⁰ =y₃−y₂ y₂⁰ =y₁−y₃ y₃⁰ =y₂−y₁

Exercice 97. Mˆeme question pour le syst`eme dx

xy² = dy

x²y = dz z(x²+y²).

Exercice 98. Les ´equations du mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe s’´ecrivent, dans le cas d’Euler, sous la forme

m⁰₁ = (λ₃−λ₂)m₂m₃, m⁰₂ = (λ₁−λ₃)m₁m₃, m⁰₃ = (λ₂−λ₁)m₁m₂,

o`um₁, m₂, m₃ sont les composantes du moment angulaire du solide et λ_i ≡ I_i⁻¹avecI₁, I₂, I₃ les moments d’inertie du solide. Ici le point fixe est le centre de gravit´e du solide.

a) D´eterminer les int´egrales premi`eres du probl`eme.

b) R´esoudre explicitement le syst`eme en question.

Exercice 99. Montrer qu’une fonction est une int´egrale premi`ere d’un syst`eme diff´erentiel si et seulement si elle est solution de l’´equation aux d´eriv´ees par- tielles associ´ee.

Exercice 100. Trouver l’int´egrale g´en´erale de l’´equation x∂f

∂x −x∂f

∂y = 0.

Interpr´etation g´eom´etrique ?

Exercice 101. Int´egrer l’´equation aux d´eriv´ees partielles y∂f

∂x +y∂f

∂y =z.

Exercice 102. Soit Ω l’ouvert deR² d´efini par : Ω ={(x, y)∈R², x >0}, C l’ensemble des fonctions de classe C¹ sur Ω et

E ={f ∈ C,∀(x, y)∈Ω, x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) = 0}.

1) Soitϕla fonction d´efinie sur Ω par :

∀(x, y)∈Ω, ϕ(x, y) = y x.

a) Montrer queϕ∈E.

b) Soitg une fonction de classe C¹ deRdans R.Montrer que (g◦ϕ)∈E.

2) a) Soient f ∈E etg la fonction d´efinie sur Ω par :

∀(x, y)∈Ω, g(x, y) =f(x, xy).

Montrer queg est de classe C¹ sur Ω et montrer que _∂x^∂g = 0.Que peut-on en conclure ?

b) Soit f une fonction d´efinie sur Ω.Montrer que si f ∈E, alors il existe une fonctionh de classe C¹ sur Rtelle que : f =h◦ϕ. Conclure.

Exercice 103. Int´egrer

(x²+y²)∂f

∂x + 2xy∂f

∂y = 0.

Exercice 104. Soit z =f(x, y). D´eterminer la surface v´erifiant l’´equation yz∂z

∂x +xz∂z

∂y =−2xy, et passant par la circonf´erence

½ x²+y² = 0 z = 3

Exercice 105. D´eterminer la surface g´en´erale de l’´equation xz∂z

∂x +yz∂z

∂y =−xy, et la surface int´egrale passant par la courbe

½ y=x² z =x³

Exercice 106. D´eterminer la surface v´erifiant l’´equation 1

x

∂z

∂x + 1 y

∂z

∂y = 4, et passant par la parabole ½

y² =z x= 0

Exercice 107. Montrer que toute solution de classeC² de l’´equation

∂²z

∂t² = ∂²z

∂x², est de la forme

z =g(x−t) +h(x+t), o`u g et h sont des fonctions quelconques de classeC².

Exercice 108. Etant donn´ees deux fonctions u ∈ C²[a, b] et v ∈ C²[a, b], trouver une solution z(x, t) de l’´equation

∂²z

∂t² = ∂²z

∂x², telle que pour t= 0 et x∈[a, b],

( z(x,0) =u(x)

∂z

∂t(x,0) =v(x).

Exercice 109. Int´egrer l’´equation

∂²z

∂x² =x+y, Exercice 110. D´eterminer les fonctions

f :{(ξ, η)∈R² :ξ > η} −→R, de classeC² v´erifiant:

∂

∂ξ(f +η∂f

∂η) = ∂

∂η(f +ξ∂f

∂ξ).

Exercice 111. D´eterminer la solution de l’´equation

∂²z

∂x² = (1 +y²)z, v´erifiant les conditions initiales suivantes :





z(0, y) = y

∂z

∂y(0, y) = 0.

Exercice 112. On consid`ere l’´equation aux d´eriv´ees partielles de fonction inconnuez(x, y) :

x⁴∂²z

∂x² − ∂²z

∂y² = 0.

a) D´eterminer ses caract´eristiques.

b) Former l’int´egrale g´en´erale de cette ´equation.

c) D´eterminer des solutions ´el´ementaires de cette ´equation par la m´ethode de s´eparation des variables.

Exercice 113. R´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂³z

∂x²∂y + ∂³z

∂x∂y² −6∂³z

∂y³ = 0.

Exercice 114. D´eterminer la solutionz(x, t) de l’´equation aux d´eriv´ees par- tielles :

∂²z

∂x² − 1 k²

∂²z

∂t² = sin(αx−ωt), qui satisfait aux conditions :

( z(x,0) = 0)

∂z

∂t(x,0) = 0.

Exercice 115. Etant donn´e un domaine D dont le bord∂Dest une courbe et ϕ:∂D→Rune fonction continuen, chercher une fonctionf ∈ C⁰(D)∩C²(D)

telle que : ½

∆f = 0 sur D f|∂D =ϕ.

Exercice 116. Sous les mˆemes hypoth`eses (exercice pr´ec´edent) sur D et

´etant donn´ee une fonction continue ψ : ∂D → R, chercher une fonction f ∈ C¹(D)∩ C²(D) telle que :

½ ∆f = 0 sur D

∂_νf|_∂D =ψ.

(∂_ν repr´esente la d´erivation suivant le vecteur unitaire normal ext´erieur).