Licence 2-i`eme ann´ee, parcours PC, M202 Corig´e du DS du 15/11/2008 Exercice II. a

Licence 2-i`eme ann´ee, parcours PC, M202

Corig´e du DS du 15/11/2008

Exercice II.

aEn passant aux coordonn´ees polaires, on trouve : lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = lim

r→0

r²+r³(cosθ−sin²θ)

r² = 1 + lim

r→0r(cosθsin²θ) = 1, par la r`egle des gendarmes puisque r→0etcosθsin²θest born´e.

b.Regardons la limite degen(0,0)le long de la courbe d’´equationx= 1: Elle s’´ecrit :lim

y→0g(0, y) = lim

y→0

ln(1 +y²)

y³ =

y→0lim

y²+y²(y²) y³ = lim

y→0

1 +(y²)

y cette limite n’existe pas (+∞en0₊et−∞en0₋).

c.Regardons la limite dehen(0,0)le long de la courbe d’´equationx= 0: Elle s’´ecrit : lim

y→0h(0, y) = lim

y→0

0 y² = 0.

Regardons la limite suivant la courbe d’´equationy=x²: lim

x→0h(x, x²) = lim

x→0

x⁴ 2x⁴ = 1

2 Ces deux limites sont diff´erentes, on conclut quehn’a pas de limite en(0,0).

Exercice III.

a.

• f est continue sur R² \ {(0,0)} comme produit, et compos´ee de fonction usuelles continues sur leurs domaines de d´efinition.

•f est continue en(0,0)si seulement si lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) =f(0,0), ici : lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = lim

(x,y)→(0,0)yⁿsin( 1

x²+y²) = 0 = f(0,0)par la r`egle des gendarmes puisquey<sup>n</sup> tend vers0d`es quen≥1et quesin(_x2+y^{1 2})est born´ee.

b.

• Existence des d´eriv´ees partielles def en(0,0)?

Par d´efinition la d´eriv´ee partielle defpar rapport `axen(0,0)est –si elle existe– la limite

x→0lim

f(0 +x,0)−f(0,0)

x = lim

x→0

0 x= 0

Par d´efinition la d´eriv´ee partielle defpar rapport `ayen(0,0)est –si elle existe– la limite

y→0lim

f(0,0 +y)−f(0,0)

y = lim

x→0yⁿ⁻¹sin(1 y²).

sin≥2, cette limite existe et est nulle par la r`egle des gendarme sin≥1, cette limite estlim

x→0sin(_y¹₂)qui n’existe pas.

En conclusion :fadmet de d´eriv´ees partielles (de plus nulles) par rapport aux deux variablesxetyssin≥2.

•Pour quelle valeur den,f est-elle diff´erentiable en(0,0)

On sait qu’une condition n´ecessaire pourfsoit diff´erentiable en(0,0)est quefadmette des d´eriv´ees partielles en(0,0), c’est `a dire quen≥2. Supposons doncn≥2. D’apr`es le cours, montrer quef est diff´erentiable en(0,0)revient `a montrer que la limite

lim

(x,y)→(0,0)

f(0+x,0+y)−f(0,0)−(^∂f_∂x((0,0)).x+^∂f_∂y((0,0)).y) px²+y²

existe et vaut0·Ici, on a : lim

(x,y)→(0,0)

f(0+x,0+y)−f(0,0)−(^∂f_∂x((0,0)).x+^∂f_∂y((0,0)).y)

px²+y² = lim

(x,y)→(0,0)

yⁿsin_x2+y^{1 2}

px²+y² = lim

r→0rⁿ⁻¹sinⁿθsin 1 r² = 0 pourn≥2, par passage en polaires puis en appliquant la r`egle des gendarmes.

En conclusion :fest diff´erentiable si et seulement sin≥2.

1

2

b.Pour quelle valeur den,f est-elle de classeC¹au voisinage de(0,0)? Il faut d´ej`a quef soit diff´erentiable c’est `a dire quen≥2.

Calculons les d´eriv´ees partielles def surR²\ {(0,0)}.

∂f

∂x(x, y) = ∂

∂x yⁿsin( 1 x²+y²)

=yⁿ( −2x

(x²+y²)²) cos( 1 x²+y²)

∂f

∂y(x, y) = ∂

∂y yⁿsin( 1 x²+y²)

=nyⁿ⁻¹sin( 1

x²+y²) +yⁿ −2y (x²+y²)²

) cos( 1 x²+y²)

Montrer quef enC¹en(0,0)c’est montrer que les fonctions d´eriv´ees partielles (calcul´ees en dehors de(0,0)) tendent vers0en(0,0)(0´etant la valeur des d´eriv´ees partielles en(0,0)).

Par passage en coordonn´ees polaires :

∂f

∂x(x, y) =rⁿsinⁿθ(−2rcosθ r⁴ ) cos(1

r²) =−2rⁿ⁻³sinⁿθcosθcos(1 r²)

•sin≥4la limite de ^∂f_∂x(x, y)en(0,0)vaut0par la r`egle des gendarmes.

•sin= 2ou3, alors la limite en(0,0)de^∂f_∂x(x, y)n’existe pas (on peut calculer les limites suvants les courbes d’´equation y= 0etx=y)

De mani`ere analogue, par passage en coordonn´ees polaires :

∂f

∂y(x, y) =nrⁿ⁻¹sinⁿ⁻¹θsin(1

r²) +rⁿsinⁿθ −2rsinθ r⁴

cos(1 r²).

Sin≥4, par la r`egle des gendarmes, la limite de ∂f

∂y(x, y)en(0,0)existe et vaut0.

En conclusion :fest de classeC¹au voisinage de(0,0)ssin≥4.

d.n= 3. Les d´eriv´ees partielles secondes def en(0,0)sont ´egales aux limites suivantes si elles existent :

∂²f

∂x²(0,0) = ∂

∂x

∂f

∂x

(0,0) = lim

x→0

∂f

∂x(x,0)−^∂f_∂x(0,0)

x = lim

x→0

0−0 x = 0

∂²f

∂y∂x(0,0) = ∂

∂y

∂f

∂x

(0,0) == lim

y→0

∂f

∂x(0, y)−^∂f_∂x(0,0)

y = lim

y→0

0−0 y = 0 e.n= 1. D’apr`es le cours, le plan tangent `a la surface d’´equationz=f(x, y)au point(0,q

2 π,q

2

π =f(0,q

2

π))a pour

´equation :

z= r2

π+x.∂f

∂x(0, r2

π) + (y− r2

π).∂f

∂y(0, r2

π).

Ici, on a^∂f_∂x(0,q

2

π) = 0et^∂f_∂y(0,q

2 π) = 1.

En conclusion : une ´equation du plan tangent `az=f(x, y)au point(0, q2

π, q2

π)est :z=y.