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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Raouyane, M. (1986). Les espaces bornologiques indexés et les représentations des groupes de Lie compacts (Unpublished doctoral dissertation).

Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences

L es espaces bornologiques indexés ET LES REPRÉSENTATIONS DES GROUPES

DE L ie compacts

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de

Docteur en Sciences (Grade Scientifique)

Année Académique 1985-1986 Mohammed RAOUYANE

Université Libre de Bruxe ^Les

FACULTE DES SCIENCES

L’épreuve publique pour l’obtention du grade scientifique de Docteur en Sciences de Monsieur RAOUYANE. Mohammed, aura lieu le :

LUNDI 23 JUIN 1986 A 17.00 HEURES

à la Salle des Professeurs du Bâtiment N/0, 9e étage.

Campus Plaine, Boulevard du Triomphe à 1050 - Bruxelles

Monsieur RAOUYANE présentera et défendra publiquement une dissertation originale intitulée :

"Les espaces bornologiques indexés et les représentations des groupes de Lie compacts";

et une thèse annexe intitulée :

"Il existe une algèbre pseudo-Banach non nornsalisable".

Il existe une algèbre pseudo-Banach non normalisable.

encouAagê et guidé avec une grande patience pendant V élaboAotlon de ce tAavall.

Je Aeme/Lcle égale/nent J.P.GOSSEI, L. LEMAIRE et A. VALETTE pouA leA dli,cui,i,loYii> {^Auctueutet que j'ai euc6 avec eux pendant la pAépoAotlon de cette théie.

Je AemeAcle Mme AELST W. pouA le ■ioln et la Aapldlté avec

leàquel^ elle a e(^{^ectué la dactylo g Aaphle de cette thè^e.

Dans ce travail nous étudions les b-espaces indexés et nous les appliquons à l'étude des représentations différentiables d'un groupe de Lie compact dans un b-espace.

Un b-espace indexé ^ d'une famille de b-espaces

^^i^i G I ^ d'une bornologie B sur la réunion disjointe U iG I des espaces ; cette bornologie est telle que, sa restriction à chaque E^

coïncide avec la bornologie de E^, et que siAGB, BGB et sGŒ alors Û [(An E.)+(B n E.)] e B ^{et Û} s(A n E.) G B *

i GI ^ ^ iGl ^

La catégorie des b-espaces indexés contient la catégorie des b-espaces;

nous nous sommes intéressés à des représentations d'un groupe de Lie compact G, ce qui nous a amené à étudier le b-espace indexé (P^)^ ^ ^ où G est l'espace dual de G, et pour tout o G l'espace vectoiriel des polynômes

trigonométriques déterminés par a.

Soit ((E^)^ g i’®^ b-espace indexé, et A un sous-espace vectoriel de muni d'une bornologie normale, plus fine que la bornologie induite par celle de Nous définissons un b-espace A((E^)^ ^

,B) et obtenons ainsi pour chaque A un foncteur de la catégorie des b-espaces indexés dans la catégorie des b-espaces.

Au chapitre I nous avons établi quelques propriétés du foncteur A, qui nous ont servi dans la suite du travail.

Au chapitre II; nous considérons pour un groupe de Lie compact G la famille (P ) Sur la réunion disjointe U P il y a deux homologies

O O ^ ü — ^ O

2 a G G

B et B . Le b-espace £^;((P )

^ ;:;,B ) est un espace de Hilbert et le théorème de Peter-Weyl s'exprime par un isomorphisme isométrique de L (G) sur 2

G’®o^’

et Ùy (A n E^) G B où pour tout i G I, y(A H E^) est l'enveloppe complétant de A n E..

1

2 ^

Nous montrons que le b-espace

»®-

^ isomorphe algébrique­

ment et bornologiqueraent au b-espace E'(G) '.des distributions sur G. De plus pour tout P tel que 1 < P < <»on a «'5( e

’®-“^"^G^ ^^0^0 £ G’®-~^’

Au chapitre III, nous étudions les représentations différentiables d'un groupe de Lie G sur un b-espace E.

Toute représentation différentiable p de G dans une b-algèbre unifère Q , se prolonge en \ine représentation de b-algêbres de l'algèbre de convolution E'(

) dans Q. De plus p^ est l'unique représentation différentiable qui

vérifie p^ o i = p où i est l'injection canonique de G dans E'(G).

Lorsque G est un groupe de Lie compact et p une représentation différentiable

«

de G dans la b-algêbre b(E) des endomorphismes bornés de E, le prolongement p^

et le résultat du chapitre II nous permettent de montrer que E est isomorphe

p *

algébriquement et bornologiquement à ^ ) où ((F ) en»® ) est un

Lr O O ^ (j 0 0 ^(j

b-espace indexé déterminé par p^.

De plus poxir tout réel p tel que 1 ^ p < o°;

“5<<‘'a>a€5-®p) = '^G<'V0e5-»p>-

Dans ce chapitre nous rappelons les notions. et précisons

les notations utilisés ultérieurement.

I.b-espaces

Soit E un espace vectoriel réel ou complexe, et soit B un disque de E, B est dit complétant si l'espace vectoriel E engendré par B et muni de la semi-norme définie par la jauge de B est un espace de Banach.

Soit B une famille de parties de E; (E,

) est dit un b-espace si B vérifie les propriétés suivantes :

i) Toute partie finie de E, appartient à B ii) B est stable par réunion finie

iii) B est héréditaire pour l'inclusion

iv) Pour tout A E Π(ou A EE) et tout B E B> XB E B

v) Si A E B, il existe un disque complétant B tel que B GB et A CB.

B est alors appelée une bornologie sur E, et les éléments de g des bornés de E.

Soient (E,B) et (F,C) deux b-espaces, et u une application linéaire de E dans F,

est dite bornée si pour tout BGB°nau(B)

C.

est un isomor­

phisme bornologique si u est bornée, bijective, et u ^ bornée.

(E,B) étant un b-espace, soit A G B et soit £\

) l'espace de Banach, des familles de nombres complexes indexées par A, absolument sommables. Pour tout (

) G -^\

) et pour tout disque borné complétant B contenant A, la

X X

^ , est absolument sommable dans E„ et sa somme y i -x

X X

G A B ^ Av

famille (

Y t— U rs

X

G A ne dépend pas de B; en effet si B' est un autre disque borné complétant contenant A, alors B+B' est un disque borné complétant contenant A.

Si s,,s^,s_ sont les sommes de (

) „ dans ,E„, ,E„., respectivement,

12 3 xxGA B B B+B'

comme E E,,.,,, et E„, •> E„^^, sont continues et E„. ^, de Banach

li B+B B B+B B+B

on a

nécessairement s^=S2=s^.

t (

)} est donc bien défini; de plus L'ensemble YA={ Z A^*x;(Ay),

X

E A

yA est un disque complétant contenant A. yA est dit l'enveloppe complétant de A.

Une base (ou un système fondamental) de la bornologie B d'un b-espace (E,B) est une partie B^ de B telle que: pour tout A G B il existe B G B^

tel que A G B.

Si B et B' sont deux bornologies de b-espaces sur E; B est dite plus fine que B' si B G B'.

Exemples :

1°) Soit E un espace vectoriel sur E ou sur d. Pour tout AGE notons r(A) l'enveloppe disque de A; et soit

5={r(A) ; A finie G

}

Alors (E,5) est un b-espace , et $ est la bornologie la plus fine de toutes les bornologies de b-espace sur E.

2°) Soit E un espace localement convexe séparé et 1/ l'ensemble des parties topologiquement bornées de E, c'est-à-dire l'ensemble des parties absorbées par tous les voisinages de o de E. (E,l/) est un b-espace si et seulement si E est séquentiellement complet. 1/ est dite la bornologie de von Neumann sur E.

3°) Soit E un espace vectoriel topologique, et F un espace localement convexe séparé. Sur l'espace L(E,F) des applications linéaires continues on considère la famille

S={

L(E,F), W voisinage de 0 dans F il existe U voisinage de 0 dans E tel que U f(U) G V}

f G H

Alors (L(E,F),S) est un b-espace si et seulement si F est tel que tout disque borné fermé est complétant.

Ainsi le dual topologique E' de E, muni de la bornologie des parties équicontinues est un b-espace.

L'exemple 2°) ci-dessus montre qu'à toute topologie localement convexe, séparée et séquentiellement complète sur un espace vectoriel E, on peut

associer une bornologie de b-espace sur E. Ce procédé n'est pas le seul moyen

de déterminer des structures de b-espaces sur E; en effet si E est un espace topologique non tonnelé, la bornologie des parties équicontinues considérée sur E' n'est la bornologie associée à aucune 5-topologie sur E'.

II. Dual bornologique

Soit E un b-espace, on note E l'espace vectoriel des formes linéaires

bornées sur E.

Une partie de E est dite bornivore, si elle absorbe tout borné de E.

L'ensemble des disques bornivores de E constitue une base de voisinages de 0 pour une topologie localement convexe sur E, si on note ^E l'espace E muni de cette topologie, on voit facilement que E est le dual topologique (^E)' de l'espace localement convexe ^E.

La dualité entre E et E n'est rien d'autre què la dualité entre E et (^E)'. Comme ^E n'est en général pas séparé, E n'est en général pas séparé par son dual bornologique E^ (cf [3]); et il existe même des b-espaces dont le dual E^ est réduit à {0}.

Lorsque ^E est séparé on dit que le b-espace E est régulier. Un b-espace régulier est donc un b-espace séparé par son dual bornologique E^.

Exemples de b-espaces réguliers :

1°) Tout espace localement convexe bornologique quasi-complet, muni de sa bornologie de Von-Neumann est un b-espace régulier.

En particulier tout espace de Fréchet, muni de sa bornologie de Von-Neumann est un b-espace régulier.

2°) Si E est un espace localement convexe séparé, le dual topologique E' de E,

muni de la bornologie des parties équicontinues est un b-espace régulier [ 1] .

Soit E un b-espace régulier; sur E l'ensemble des polaires des bornés de E constitue une base de voisinages de 0 pour une topologie localement convexe séparée et complète [ l] .

III. Espaces de Silva:

Un b-espace E est dit de Silva, si E admet une base dénombrable de homo­

logie, et si pour tout borné B de E il existe un disque borné complétant B' tel que B soit une partie relativement compacte de l'espace de Banach

Puisque l'ensemble des bornés de E est filtrant croissant pour l'inclusion, on peut supposer qu'il existe une suite croissante d'espaces de Banach

{Eg , n G

} telle que E=l^m E^ et pour tout n, B^ est compact dans E^

^n ^n n+1

Théorème: Tout espace de Silva est un b-espace régulier.

Preuve :

Soit (

) ^une suite croissante d'espace de Banach telle que; pour n n fc E

tout n, la boule unité fermée de E est compacte dans E et E = lim E .

’ n n+1 n

Soit x G E tel que x 5^ 0; il existe n tel que x G E '3-^®

O O

X ^ A B ; comme x + A B est compact dans E ^,et0^x+A B ,il

nn nn n+1 nn

00 00 O 00

existe A , tel que 0?x+A B +A .B Par récurrence on obtient

n+1 n n n +1 n +1

0 0 O O

de scalaires telle que pour tout r G E une suite (A )

n +r r G E

r O r

0 ^ X + E A , B , . Soit A = U E A , B , ; A est un disque bornivore , ^ n +k n +k ^ - n +k n +k

k=0 00 r G E k=0 o o

de E, donc un voisinage de 0 dans ^E, de plus x ^ A. Ce qui montre que ^E est séparé.

Corollaire :

Tout espace de Silva est séparé par son dual bornologique.

Exemple :

00

Si V est une variété différentielle de classe C , de dimension finie et

paracompacte, l'espace £'(V) des distributions à supprt compact sur V est un espace de Silva.

IV. Espaces nucléaires

Soient E,F deux espaces de Banach, un opérateur T G L(E,F) est dit nucléaire s'il vérifie la condition suivante:

Il existe une suite équicontinue d'éléments de E'; il existe une suite bornée (u ) d'éléments de F, et il existe une suite (u ) de scalaires

n n ’ '^n n

00

telles que Z lu | < + <» et pour tout x £ E Tx=Z p < x,e' > u .

' '^n' ^ n n n

n=1 n

Un b-espace E est dit nucléaire si, pour tout disque borné complétant A

«

de E, il existe un disque borné complétant B de E tel que B absorbe A et l'application canonique E^ ^ E^ est nucléaire.

V. b-algèbre:

Soit Q une algèbre réelle ou complexe, et B une bornologie sur Q, (Q,

) est dite une b-algèbre si

1°) (Q,B) est un b-espace

2°) La multiplication de Q est une application bilinéaire bornée de Q x Q

dans Q.

DEUXIEME PARTIE

Soit V une variété différentielle de classe C de dimension n , ayant une base dénombrable de topologie; C°°(v) l'espace des fonctions de classe C sur V.

L'espace des champs de vecteurs de classe C°° sur V; étant l'espace des sections de classe C de V sur le fibré tangent T(V), sera noté C (V,T(V)).

Pour tout X E C*”(V,(T(V)) on note D l'endomorphisme de C (V) définie

A

par D„(f)=Xf. De même si f E c'”(v) on note D„ l'endomorphisme de C°°(V)

A I

définie par D^(g)=f.g.

V désignera la sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes de C (V) r

engendré par {D ; X E C°°(V,T(V))} U {D , f E C°°(V)}.

A I

Si K est une partie compacte de V, et D G V ; pour tout f G C (V), on

V

pose |f| = sup |Df(x)|

’

E K

La famille des semi-normes { | • | K compact de V et D E permet de définir une topologie localement convexe complète sur C°°(V). De plus comme V est dénombrable à l'infini, c'”(V) muni de cette topologie est un espace de Fréchet.

Si (U,cp) est une carte de V, on note tp* l'application de c'”(V) dans C (4>(U)) définie par ip*(f) = f 04) \

Soit r un atlas de V, si pour toute carte (U,(p) de F on munit C (tp(u)) de sa topologie de Fréchet habituelle; la topologie définie ci-dessus sur

\ . . V .... OO, .

C (VJ est identique a la topologie initiale sur C (V) pour les applications {ip*,(qj,U) E F}, autrement dit c'est la topologie la moins fine sur C (V) qui rend continues toutes les applications {tp*;((p,U) GF}.

Si K est un compact de V; C (V)={f E C°°(V);supp f C K} est un sous-

espace vectoriel fermee de C (VJ; donc un espace de Frechet.

OO, . . OO. . . - _ ^OO

Soit C^(V) le sous-espace vectoriel de C (V), des fonctions de classes C a support compact sur V. C (V) = lim C^(V) et C (V) est une limite inductive stricte d’espaces de Fréchet, C^(V) est un espace localement convexe complet.

L'espace des distributions sur V; noté P'(V) est le dual topologique de C^(V). On notera par fi'(V) l'espace des distributions sur V à support compact.

Définition: un opérateur différentiel P sur V est un endomorphisme continu de C (V) telle que ;

Vf G c (v) supp(Pf) C supp f

signalons le théorème suivant du a PEETRE [ 3].

Théorème : ,

P est un opérateur différentiel sur V si et seulement si pour tout ouvert U relativement compact de V: il existe une famille (a ) ^ d'éléments de

. a a G I C (U) telle que {supp a^, a G l} soit localement fini et

a

I "a — a

9x, ...9x

1 n

où I est un ensemble de multi-indices ,

a= (a,,...,a ) pour tout a G i et |a|=a,+...+a .

1 ’ ’ n ' 1 n

Définition :

Soit P un opérateur différentiel sur V.

Pour tout a E V, notons M le germe des fonctions de classe C°° au point a a

s'annulant en a; et 0 (a)=max(m GE, il existe (f,u) EM x C°°(V)

X a

tel que P(f"^u)(a) ^ O}.

L'ordre de P est le nombre entier ou oo défini par 0(P) = max{0p(a), a E V}.

On a alors la caractérisation suivante :

Proposition : Un opérateur différentiel P sur V est d'ordre fini m si et seulement

si pour tout ouvert U relativement compact de V, il existe une feimille

(a )I I d'éléments de C (U)

a'|a| <m telle que

a U I I a a, a a

a < m „ 1 „ n

' .dx

1 n

où a^ ^ 0 pour au moins un indice a vérifiant |a|=ra.

Remarque : Avec les notations ci-dessus; est l'espace de tous les opérateurs différentiels d'ordre fini.

Soit E=V X d, T*(V) le fibré vectoriel cotangent de V,

E X^T*(V) = {((x,v),ü)) G E X T*(V); co G T*(V)}; et P un opérateiir différentiel sur V d'ordre m.

Soient (v,co) E d x T^(v); et u E C (v), f E C (V^) tels que u(x)=v, f(x)=0 et (df)(x)=ü).

En considérant l'expression locale de P sur une carte en x, on voit que;

si u(x)=0 et (df)(x)=f(x)=0 alors P(f^u)(x)=0 ce qui montre que le nombre P(f“u) (x) ne dépend que de v et de co. On pose o^(v,co)=p(f^u)(x); et

l'application a de EX^T*(V) dans Œ définie par a( (x,v) ,co)=a^(v,(o) est appelée le symbole de l'opérateur différentiel P.

Remarque :

Si (U ,(x^, ...jX^) ) est une carte sur V et

glal P, = Z a^ ---

U I ot a. a

' 3x'...3x”

1 n

n 11

Pour tout xEU, V E d, (0= E Ç.dx. E T*(V) et (u,f) E C°°(V) x c'”(V,Ti)

. .1 IX

1=1

tels que u(x)=v, f(x)=0 et —(x) on a; 3f 1 dx •

a

et. a ,(v,(o)=P| (f™a)(x)=m! E a(x)Ç

j I et I n

a =ra

Soit P un opérateur différentiel d'ordre m sur V, P est dit elliptique en X S V, si pour tout élément non nul O) de T*(V) l'application de Œ dans Œ définie par v -*

^(

,(

) est injective.

Si on remarque que T*(V) ^ et si on considère l'expression locale de P sur une carte en x; on retrouve la définition classique d'un opérateur elliptique en x définie sur un ouvert de

P est dit elliptique s'il est elliptique en tout point de V.

Opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété compacte.

Soit V une variété différentielle de classe C de dimension n une structure Riemannienne sur V est la donnée pour tout x G V d'un produit scalaire

sur T (V) tel que si X,Y G C°°(V,T(V)) alors x ->■ <X(

),Y(

)> est un élément

X X

de C (v); on notera g l'application définie sur V par g(x)=<,>^ et on dit que (V,g) est une variété Riemannienne.

En utilisant une partition de l'unité, on peut montrer que toute variété différentielle de classe C , paracompacte peut etre munie d'une structure Riemannienne.

Dans ce qui suit (V,g) désigné une variété différentielle de classe C , de dimension n et munie d'une structure Riemannienne.

Soit (U;(x^,...,x^) ) une carte de V; pour tout x G U, une base de l'espace vectoriel T (V) est formée des vecteurs {-r—i ;1 < i _< n} 9

X OX • X

1 ' dont la base duale pour T*(V) est {dx^j^; 1 i £ n}.

9 9

Donc si pour 1 £ i,j < n on note gj^-(x) = < , aF’lx ^ x

J il j I

on a g(x) = E g--(x) dx. , 0dx., i,j = l 'n

donc g(x) S T*(V) © T*(V) pour tout x G U. Ceci montre que g est un champ de

X X

tenseurs covariants de degré 2 sur V.

Du fait que symétrique (T^(

) espace vectoriel réel) on a g..(x)=g..(x) et du fait que <,> est non dégénérée l'application a définie

1J J1 X

de T (V) vers T*(V) par a(v) (tj)=<v,to> est un isomorphisme, sa matrice

XX X

relativement aux bases { i 1,...,n} et {dx^|x’ ^ ^»***»^} sst

(g- -(x)),^. . . Notons B l'inverse de a et (g'^'^(x)), . iJ, . la matrice de B»

ij Ki,j<n ° Ki,j<n

on a n .

Z g^ (x)g . (x)=6^ Vi,j

k=l ^

L'isomorphisme B permet de définir un produit scalaire <»>* sur T*(V) à partir de <,> , en posant

<K,r]>* = <B(0,3(n)>.

on a alors (x )=<dx. i ,dx.i >*.

i|x’ J|x X

Enfin remarquons que det(g. .(x)) > 0 Vx G V.

^ J

Si (U, cp) est une carte de V; notons gy ^ l'application de ip(U) dans GL(n,ü) définie par g,, „(Ç) = ( (g--cxp ^)((p(x))). . où Ç=cp(x); et |g,.

'^>4) IJ 1>J

• 00 ^ . . . la fonction de classe C definie sur cp(U) par

ISUcpl^^^ “ det((g^j O (P ^)((p(x)))

Pour tout

G U, notons cp(x) = (Ç^ ,... ,Ç^). Sur ip(U) C on a la mesure positive Uucp'lsutpl 1/2 ce qui détermine sur la mesure V^j ^p=^*yu t .4)

définie par v, , (f) = U,ip

Soit (U',cp') une autre carte telle que U D U' , Montrons que

^gtp|u ' ,4)'100/•

Soit f G C^(uny), on a

Vu,^«-> = 4<unL-)«' “ ‘0“')l8u,j'^''<»5,^Î2'--‘‘q

Soit ip le difféormorphisme tp o 4) \ de ip' ( U H L> ) sur tp( U D L* ) gt 9x!

J=J(Ç',.,, ,Ç')=det( (-r-^). .) où 4)(x) = (x.,.. . ,x ) et 4>'(x) = (x',. .. ,x')

' n dx.ijj I n I n

Dans U n U' , ^ o ij;(cp' (x) )=gjj ^^(4)(x) ) d ' autre part Vx G U H U’ ;

3 3

'^i|x ’ ^|x ' ^ ^

donc (g!.(x)).. = (g..(x)).J*J et det(g! . (x))=det(g. .(x))|j|

•i-J "^Ü «J

d'où |g.j, ,|((p(x)) = det((g!. o ip'^ ) (tp'(x) )

^ >4^ 1J

= det(g.. O ip ^ )((p(x) ) I J(x) 1^

J

= |su,ipl

= lsu,(p ° '*'1 (‘P'(x))|J|

et V , , (f) = U,ip _{° l®u.cp°}

1/2|

tp' (U nu' )

cp'(unu' ) %---K

V ,tp'

il existe donc une mesure v et une seule sur V telle que Vi

(u,<p) ^*^,<P pour toute carte (U,ip) de V.

On note dV=|g| ' dx^ A,..A dx^ la n-forme différentielle définie sur V par dV(x)=|g|^^| 1 ' dÇ^.. ,dÇ^; pour toute carte (U,(p) en x. 1/2

dv est appelé l'élément de volume sur V. On note aussi dV la mesure v.

Soit

S V; < , >* est une forme bilinéaire réelle symétrique définie positive sur T*(V). Pour tout p E E il existe une forme bilinéaire complexe symétrique définie positive g* sur A^(T*(V))*^ où (T^(V))"^ est le complexifié de T^(V); telle que la restriction de g* à T*(V) x T*(V) coïncide avec

Si a et 3 sont deux p-formes de classe C sur V; on pose

<a,3> = g^((a(x),3(x))dV. * I

Soit d la dérivation extérieure sur V; l'opérateur adjoint d* de d est défini par; <d*a,3 > = <a,dB>

où a est une (p+1 )-forme de classe C°°, 3 une p-forme de classe C .

00

L'opérateur de Laplace-Beltrami sur les p-formes de classe C de V, est l'opérateur défini par ;

A = dd* + d*d.

L'application g peut être identifiée à l'application sur V dont la restriction à toute carte (U,(p) coïncide avec jp. Pour p=0 on convient que d est nul sur les fonctions. ♦

L'expression locale de A dans une carte (U,(.p) est alors donnée par;

Af = Ig 1-1/2 M |1/2 ij

.. 9x. ® 9x.-^

i,J J 1

9 r/T. \"^/2ij9f-i

= (detg) Z {(detg) g ^

i,j j i

Vf e c”(u).

A est un opérateur différentiel auto-adjoint, d'ordre 2 dont le symbole est ;

a (v,w)=-<w,w>*v ; Vx E V, v(v,w) E Πx T (V)

XX X

ce qui montre que A est un opérateur elliptique sur V.

L'extension de A à l'espace des distributions sera notée A-

Dans ce qui suit V est supposée en plus compact. Les fonctions propres de -A

00 « .

sont toutes de classe C , et les valeurs propres constituent une suite croissante (A ) de nombres réels positifs tels que lim A =°°.

n n ^ n-+oo n

De plus, pour tout n,l'espace propre de -A associé à la valeur propre A^^

est de dimension finie [ U] qu'on notera d^.

Si pour tout A > 0 on pose N(A)= Z d , on a le théorème de A < A "

V.G.Akumovic suivant [ U] . Théorème :

Il existe une constante C dépendant de V et de n telle que lorsque A -»■ 00 on ait

N(A) = 1+0( 1 ) ).

Bibliographie : A. Première Partie;

[ 1] H.BUCHWALTER: Topologies, homologies et compactologies. Thèse, Dépt.

Math.Lyon 1968. '

[2] H.HOGBE-NLEND: Théorie des homologies et applications. L.M.N.N°213, Springer-Verlag 1971.

[3] L.WAELBROECK: Topological vector spaces and algebras. L.M.N. N°230, Springer-Verlag 1971.

B. Deuxième Partie:

[ 1] M.BERGER, P.GAUDUCHON et E.MAZET: Le spectre d'une variété Riemanienne.

L.M.N. N°19^, Springer-Verlag 1971.

[2] G.DE RHAM: Variétés différentiables. Hermann Paris 1955

[3] J.PEETRE: Rectifications à l'article "une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels" Math.Scandinavica 8, I960, p.116-120.

[U] F.TREVES: Introduction to Pseudodifferential and Fourier Intégral Operators vol.2, Plénum Press, New York and London I98O.

[5] F.WARNER: Foundations of Différentiable Manifolds and Lie Groups.

Scott Foresman. Glenview Illinois 1970.

LES b-ESPACES INDEXES ET LEURS A-ENVELOPPES

§ 1. b-espaces indexés

Soit I un ensemble non vide, et pour tout i G I, un b-espace.

Nous étudierons la famille (E.,B.)- ^ en considérant une bornologie B sur 1 1 1 G I

la réunion disjointe Û E^, dont les liens avec les bornologies B^ sont comme suit :

1°) Pour tout i G I, B induit sur la bornologie B^

2°) si A = Û A. G B et si B = ‘j B. ^ B; alors Û (A.+B^) G B,

i i i

3°) si B G B et s G Œ alors sB G B; où sB est défini par UsB^ si i

B = Û

.

1

. 1

4°) Si B = C» B. G B alors ÜyB. G B, où yB- es,t l'enveloppe complétant

i i

du borné B•.

1

Définition: Soit (E^,B^)^ ^ ^ une famille de b-espaces, dont la réunion disjointe UE- est munie d'une bornologie B vérifiant 1°), 2°), 3°) et ) ci-dessus;

i

((E^,B^)^ g

,B) est dit un b-espace indexé.

Un b-espace indexé ((E^,B^)^ ^ sera souvent noté (Ei)i ^ ^ s'il n'y a aucun risque de confusion.

Un morphisme f d'un b-espace indexé ((E^,B^^)£ ^

»B) dans un indexé ((F.,B!)- _ -,,B') est une famille (f-)- ^ -r d'applications

l’iiEI’ iiei

telles que :

i) Pour tout i, f^ est un morphisme du b-espace (E^,

^) dans b-espace (F.,BÎ)•

1 1

ii ) Pour tout B = l'j B. G B, Û f • (B • ) G B ' •

i i

L'ensemble IJ f^(B^) sera noté f(B).

g J,b) ou

b-espace bornées

le

1

Les b-espaces indexés et leurs morphismes (indexés par l) constituent alors

une catégorie.

§2. Espaces normaux

Soit A G un sous-espace vectoriel de . A est dit un espace normal si; pour tout g j ^

(Xi>i SA

e I G A

si D={z ; IZI _< 1}, on a la caractérisation suivante ;

A est un espace normal <=><

si iX- ). et si (a- ) • GD

1 1 El 1 1 El

alors (a.À•)• ^ ^ G A.

1 1 1 G I

Remarque :

Lorsque I est dénombrable, un espace normal au sens de la définition ci-dessus est un espace normal au sens de Kothe [ 1] ; mais en général nous ne faisons aucune restriction sur l'ensemble I.

Soit A un espace normal; et soit une bornologie sur A , plus fine que la bornologie induite par la bornologie produit de Byy est dite normale, si elle est complète et si pour tout B G B^^ on a { (|

^| ^ l’^^i^i ^ ^ ^A Ceci équivaut au fait que l'application ( (a^ )^, (A ^ définie de

X (

, By^) à valeurs dans (A ,By^ ) est bornée, D étant le disque unité de Œ et est muni de la bornologie produit.

§3. A -enveloppe d'un b-espace indexé Définition;

Soit g I^ b-espace indexé et A G d un espace normal; on pose

A((E^)^)={(A^x^El’^ ^ ^ existe i

BGB tel que {x^,i S 1} C B}

A((E^)i) est appelé l'espace A-enveloppe du b-espace indexé ((E

^)^,B)-

Soit (AjByy) un espace normal, avec B^ une bornologie normale, et soit ((Ei)i,B) un b-espace indexé, une bornologie By^(B) est alors définie sur A((Ei)i) comme suit :

il existe B G B,, il existe B, G B vérifiant,

O

A’ 1

B e B^(B) ^ <(

B G

). ^ e B^ et {x. ,i G 1} C B^}

Proposition 1 : Pour tout b-espace indexé ((E^)^,B) et tout espace normal A muni d'une bornologie normale (A((E^)^ G b-espace.

Preuve :

A(

) est un espace vectoriel, en effet ;

si A G a et GA((E^)^ on a A. (a^x^ )^=(Aa^x^ G A( (E^ )^ ).

D'autre part si x=(a£X^)^ GA((E-)^) et GA((E^)^) on a

{x.,iGl)c G' B. (resp. {y.,iGl}CL‘ B!) où pour tout i G I, B-

^ i GI ^ ^ iG I ^ ^

(resp.B^) est un borné complétant de E^; posons pour tout i G I

Yi=|a.| + |6.| et z.=

0. (zéro de E.) si a-=6-“0

1 111

On n alors (

-)- {z.,iSi}C Uy(2B. U2B!) G B et

Il ’ i’ . 1 1

1

x+y-(a^x.+B^y^)^=(Y-z^)^ ^ A((E^).).

Montrons que B^(B) admet une base de bornés complétants.

Soit C e B., B e B et H={(A-x.).;(A.). G C et {x.,i G l} C B }.

O

A o

Soit C un disque borné complétant de B^ tel que G C, B = i B = U

- , et B. =

B • pour tout i G I.

oi oi

Notons C(

) l'ensemble {(A^x^)^;(A^G C et {x^,i G 1} C B}; on a H G

(

) et C(B) est un disque borné de A((E^)^).

D'autre part C(B)={(y.). G A((E.).) ; (p (y-))- G C} .

11 11 D . 1 1

1

En effet: si (A.). G c et {x.,i G l} C B avec x. G B. pour tout i, on a

’ Il i’ i.i'^

Pfi (A^x^) £ IA^-I pour tout i; comme (|A^. | )^. G C et C est équilibré on a

i

(p^

. Réciproquement soit (y-)• G A((E.).) avec (p (y-) • ) G C;

13. 111 11 1*1 D.ll

si on pose A-=p„ (y-) et

1 13 . 1 1

y-:

"i = ^

-1-7--- T pour y. 0 P ■B. ■•'1

3 (yJ 1

1

pour y^ = 0

on a {z^,i G l} C B et ^ C(

).

Posons X={(y.). GA((E.).);(p^ (y-))- Gc}, E=A((E.).) et montrons que

11 11 X3»ll 11

1

E est un espace de Banach.

A

Puisque pour tout i G I, B. est complétant; E est normé.

1 A

Soit (a'^) G E„ une suite de Cauchy; il existe une suite (e ) de

n X nm n ,m

nombres réels positifs tendant vers 0, telle que G pour n,m

assez grands; donc (p (a^-a™)). /=

^ ^ C pour n,m assez grands, et puisque B.

nm

I 1 ^

c est un borné de Œ pour la bornologie produit; pour tout i G I, (ot^)^ est une suite de Cauchy dans , donc converge vers a^ G (E^)g .

^i i

Comme {{p„ (a^)).,nGU} est borné dans A ; (p„ (a.)), est borné dans A ;

D. 11 01>^«11 ^

C.Q.F.D.

donc (a. ). ^ E„ et lim a =(a. ).

dans E^.

iiGl X n-x» 11^1 X

Exemples

1°) Si (E,B) est un b-espace, et si on pose pour un ensemble I non vide E^=E Vi G I ; E peut être identifié au b-espace indexé ^

B'={

C Ù

.;BCÜ

. tels que B. e B Vi et U B. G B }. )■ )

■Cxl -1 1 ■ CZ T ^ 111

1 G I 1 1 G I

(resp.(E^)^ ) ) est exactement £^(E) (resp.£j(E)) (cf [2]).

Soit maintenant ^ ^ une famille de b-espaces, si on pose B={

Ù

;

Ù

.

}, l'espace H E.

de la

1 G I i G I ^ i G I

bornologie produit s'identifie à £^((E^)^).

2°) Soit (H^)^ 0 J une famille d'espaces de Hilbert’indexés par un ensemble I, Pour tout i G I on note H, Il . la norme de H.; on considère sur UH. la

1 1 - 1 1

bornologie B definie par : B GU

., B G

si et seulement si, il existe un i

nombre réel C tel que pour tout x G B; si x G

^ alors lIxIL _< C.

2

B est bien une bornologie de b-espaces indexés, et £^((H^)^ ^ n'est rien d'autre que la somme hilbertienne de la famille des espaces de Hilbert

3°) Soit n le tore à une dimension, IT est un groupe compact dont l'ensemble dual n s'identifie à'Z .

Prenons dans l'exemple 2°) pour I l'ensemble Z, et pour tout j GZ, H.=Œ (ou H.=(IX. où X- est la fonction exponentielle x-('t)=e^'^^ et i^=-l),

J J J J J

2 2

La transformation de Fourier est un isomorphisme de L (ü) sur £ ((H.).)

^ JJ avec la bornologie B de l'exemple 2°).

^4° ) Si, maintenant avec les notations de 2°); on considère sur U Cx • la j G æ

bornologie B' définie par: B G ., BGB' si et seulement si il existe un

i ^

nombre réel C > 0 et un entier naturel k, tels que; si x G B H dx. alors J

|x| < C( 1+j^)^. Alors ( (dx • ) • ^ „ ;B' ) est un b-espace indexé et ( (dx; ) ; ) est l'espace des suites à croissance lente.

Soient (E.). ^ ^ et (E!). ^ deux b-espaces indexés, et A un espace

iifcl iiGI

normal muni d'une bornologie normale. Si ^ j morphisme de (E^)^ 0 J dans ^ j, il existe un morphisme A(f) du b-espace A((E

^)^ ^ dans le b-espace A((Ej^)^). Ainsi A définit un foncteur covariant de la catégorie des b-espaces indexés dans la catégorie des b-espaces.

De plus, on voit facilement que, si bornologiquement surjective,

« alors A(f) est bornologiquement surjective.

Dans les deux propositions ci-dessous, I est supposé dénombrable.

Proposition 2:

Soit ((E^)^ g

5

) un b-espace indexé, et supposons qu'il existe (A.). ^ tel que le morphisme f=(f.). défini par f. : E- ->■ E.

1 1

X

->• A.x 1 pour tout i E I soit un isomorphisme bornologique. Alors

£ ((E^)^

£ ((E^)^

Preuve :

Il suffit de montrer que £”°((E^)^) C £\(E^)^).

Soit E £ ((E^)^), E £^ et soit B E B tels que, il existe E HE. avec {Ç.,i E 1} CB et x.=a-Ç- pour tout i E I.

i

Il existe B' E B tel que B C f(B'). On a donc Vi E I, avec {ç . ,i E 1} C B' et (ç. ). E IlE. ; mais alors (a-A - ) • ^ r ^

”*"

1 ^11.1 iiiEI I

x.=a.A.Ç. Vi E I d'où (x.). _ E £,.( (

. ). ). On établit d'une manière analogue

1 1 1^1 ’ iiEI Iii ^

l'égalité bornologique.

Proposition 3:

Soit g b-espace indexé tel que, pour tout i G I

dimE^=d^ < +<»; supposons qu'il existe une famille S I nombres réels strictement positifs telle que;

1°) Si pour tout i £ I, f^ est l'application définie de dans E^ par f^(x)=Aj^x; f=(f^)^ ^ ^ est un isomorphisme bornologique de ^

lui-même.

2°) E X.d. < -K»

i G I ^ ^

Alors £

((E^)

^) est nucléaire.

Preuve ,

Posons X=£”((E.). ^ , et pour tout i G I notons II. Il ■ la norme de E. .

I iiGI’^ 1 1

Il suffit de montrer que pour tout disque borné complétant D de X, il existe un disque borné complétant D' de X qui absorbe D et tel que l'application Xj^ Xj^, est nucléaire.

On peut supposer que D={(x^)^ G X; llx^^lh _< 1}; en effet D est un disque borné complétant, et tout borné de X est contenu dans un homothétique de D.

Soit D'={(A£^

^)^ ; llx^lL _< 1}, l'hypothèse 1°) montre que D' est complétant; par ailleurs D C Xj^|.

Pour tout i G I, soit {e^ ; 1 < i. < d.} une base de E. et 0. l'élément neutre de E^ pour sa structure d'espace vectoriel.

Pour tout iGIet1<j.<d., soit cp. . la forme linéaire de X., définie

— '^1 — i’ ^»^i ^

par la projection de x sur e^ cp. . (x)=<x,e^ > et soit ih.. l'élément de X^, D' défini par ^ ^ tel que

= <

si k ^ i

,-1 i . , A. e. SI k =

" Ji

Enfin notons X. . =X. pour 1 <d. eti^I. Alors {cp. . ; i ^ I et 1 ^ - '"i - 1

1 _< _< d^} est une partie équicontinue de et ^ ^ est une partie bornée de •

L'hypothèse 2°) entraine alors que l'opérateur E À. . ip. . 0ip. . ij. ^-^i -^i

1

défini de dans X^, est nucléaire; de plus pour tout x ^ X^^

X

E À. . <p. . (x)i|j. . ij. "Ji "Ji "J:

C. Q. F. D.

Bibliographie :

«

[ 1] KOTHE, G.: Topological vector spaces I. Springer-Verlag, New York, (1969) [2] WAELBROECK,L.: Espaces nucléaires. Quatrième foire estivale d'analyse

fonctionnelle TERNAT (1969).

Dans ce chapitre on établit que le b-espace E'(G) des

distributions sur un groupe de Lie compact G, est isomorphe

algébriquement et bornologiquement à une A-enveloppe d'un

b-espace indexé.

§ 1. Distributions sur une variété compacte:

Soit V une variété compacte de classe et de dimension n; A un opérateur fortement elliptique sur V (c-à-d Vx G V Vo) G T*(v) {0} <a^(v,w),v> >0 Vv G Œ où <,> est le produit scalaire de d) d'ordre 2m.

D'après [ 1] il existe > 0 tel que si A _> A^ alors T=A+A est une bijection de C (V) dans C (V). En fait comme C (V) est un espace de Frechet, le théorème de l'application ouverte montre que T est un isomorphisme

topologique de C (V) sur C (V).

D'autre part si on considère la suite décroissante (H (v)),

d'espaces de Sobolev associée à V (cf [ 3] ); pour tout k G K il existe un

opérateur bicontinu T de H^(V) dans ^^(V) tel que; Vf G C°°(V), T, (f)=T(f).

iC X,

Nous notons chaque extension de T par T.

Le théorème 3 p.l80 de [3] permet d'énoncer le théorème suivant:

Théorème 1 :

. . >» y» CO ^

Soit V une variété compacte de classe C et de dimension n, A un operateur fortement elliptique sur V d'ordre 2m. Il existe A^ > 0 tel que si A > A^ alors

c“(v) = n (

+A)^L^(V) et

'(

) =U (A+A)^L^(V)

k GK k GK

k

Remarque :

Au §3 ci-dessous nous considérons l'opérateur de Laplace-Beltrami dont la définition est rappelée au chapitre 0. Toutefois nous noterons A ce qui, avec les notations du chapitre 0 devait être noté -A .

On voit alors immédiatement que A est bien un opérateur fortement elliptique

et donc le théorème 1 s'applique.

§3. Généralisation

Q Q

D'après le §1, si A > A^; A+A:H (V) ^ L (V) est un opérateur fermé à domaine dense bijectif, et les formules du théorème 3 permettent une synthèse de E'(V) et C (v), à partir du triplet (H^(v) ,L^(V) ,A+A) • Ceci constitue un cas particulier du résultat suivant;

Théorème 1 : Soit E un espace de Banach, D un sous-espace vectoriel de E partout dense dans E et A:D ->■ E un opérateur fermé bijectif alors;

1°) Il existe un espace de Fréchet E^, partout dense dans E, tel que A^=A|g est un automorphisme de E^.

• OO

2°) Il existe un b-espace E_^ et une application bornée A_^ de E_^

dans E , tels que E s'injecte dans E et A =A.

—CO » '1 O —OO —001

|D .

3°) Si F est un b-espace, A:F -> F une application linéaire bornée, et s'il existe s:E -»• F linéaire bornée telle que le diagramme;

A

D --- >E s

soit commutatif. Alors il existe s':E_^->- F linéaire bornée telle que le diagramme ;

s' soit commutatif.

—OO

Preuve :

1°) Notons II • II

la norme de E; D muni de la norme H • H ^ d-u graphe de A est un espace de Banach. Par le théorème du graphe fermé A ^:E -> D est continu, A est un sous-espace partout dense dans (D,II.H^) en effet; si y ^ D il existe une suite (£ ) d'éléments de D telle que Hç -Ayll ->• 0 et

^n n ^ n

A F---?F s '

J/ 'I'

E--- ^ E

X =A G D; de plus n n

Il X -y IL = Il X -y II + IL “Ay II -*■ 0.

n 1 n n

A =AI _ est un opérateur fermé à domaine dense bijectif, de plus

|

D

Vx G D llxll < llxll .

Posons E^=D, A ^D=Eg et ll.llg la norme du graphe de A^. Le triplet (E^

E^ ,A^ ) a les mêmes propriétés que (E^,E,A) et Vx G llxll ^ _< llxll^.

On a alors la suite

(E^.l.lj) 0 (E,,l.l,) * (Ejl.ll^)

Supposons (E ,E ,,A ,) construit; les mêmes arguments que ci-dessus permettent n n-1 n-1

de construire (E ,,E ,A ).

n+1’ n’ n

Donc, par récurrence on construit une suite (E, ,E, , ,A, ,)

’ ^ k k+1 k-1

où A =A, E =E et telle que o ’ o

i) E est partout dense dans (E , H. Il, L

K K I K I

ii) A^_i 6st fermé bijectif iii) Vx G E, , llxll < II^L

K K” 1 K

Ij^ est la norme du graphe de A^^_^

V\-1|E,

Posons E = n E ; E est un espace de Fréchet. Montrons que E est partout

oo n

^ ^ 00

n^O dense dans E.

Soit X £ E et e > 0; pour tout k > 0, il existe Xj^ E E^^ tels que;

On voit que, pour tout k>0;sin>konax EE, et(x)^, est une suite

’ — — n k n n^k

de Cauchy dans E^^; la limite commune y est un élément de E^ et on a

llx-yll < 2e

2°) Du fait que A est fermé {(-x,Ax),x £ D} est un sous-espace fermé de E x E, donc E X E/{(-x,Ax),x G D} est un espace de Banach, qu'on notera E_^; alors E s'injecte continûment dans E ^ par l'application x ->■ (0,x), et peut être identifié à un sous-espace de

Soit A_^ l'opérateur défini de E dans E_^ par A_^((0,x)) = (x,0) ; A_^ est continu injectif et A_^

Par récurrence, on construit une famille (E ,E , ,A ,) _ où pour -n’ -n-1’ -n-1 n £E

tout n, E_^ s'identifie à un sous-espace de E_^_^, est un opérateur continu injectif de E dans E , et A =A

-n -n-1 -n-1 E , -n ' -n-1

Soit E_ = U E_ ; sur E_ , on définit une bornologie de la manière suivante

“ n>0

B C E_^ , B est borné si et seulement si il existe un entier n tel que B soit une partie bornée de E : on obtient ainsi une structure de b-espace sur E

-n

D'autre part si on pose A =lim A , A :E E est une application

—00 -V —n —oo —oo —oo

linéaire bornée, et A i„=A.

-o°| E

3°) Soit F un b-espace et A:F F une application linéaire bornée telle que le diagramme suivant; (avec s : E ->• F application linéaire bornée) soit commutatif :

Posons , si (x,y) ^ E x E, soit (x,y)=y^y+AY^x alors Y-| est une application linéaire bornée de E x E dans F s'annulant sur {(-x,Ax),x G D}

et telle que Y-^|g définit une application linéaire bornée de

dans F qu'on notera encore

•] ■

Supposons qu'on ait construit de E_^ dans F telle que y^ soit J bornée, y

=y ,

et le diagramme

-n -n+1

'n-1 A

-n Yn -> F

soit commutatif.

Pour tout (x,y) G E_^ x E_^, posons y^_j_^ (x,y)=y^(y)+Ay^(x) ; alors

Y.iiTn etsixGE

n+1 E , , ^ ' n -n+2 ' -(n-1)

=Yn(A__^x)-AY„_,(x)=0

donc y . définit bien une application linéaire bornée de E , dans F

'n+1 -n-1

'l^^VllE =^n- ' -n

Si s'=lim y^; s' est une application linéaire bornée de E_^ dans 1 et le diagramme suivant:

E - -iE

F--- ^F

est commutatif. Ce qui termine la preuve du théorème 1.

Dualité :

inéaire

telle

Si on considère maintenant le dual E' de E, on a le théorème suivant:

Théorème 2:

Avec les hypothèses du théorème 1, en supposant en plus E reflexif; on a;

1°) Il existe un sous—espace vectoriel D* de E', partout dense dans E' et un opérateur fermé A*:D* ->■ E' bijectif

2°) (E') % (E )' et (E') % (E ) '.

OO —OO — OO 00

Preuve :

1°) Soit D ={tp GE'; il existe G E' tel q,ue <4>,Ax>=<4; ,x> ,Vx G D}

puisque D=E; en posant A*ip^4; pour tout tp G D , on obtient une application linéaire de D* dans E', à graphe fermé.

Afin d'étudier les propriétés de A*, tout comme dans le cas hilbertien on introduit les opérateurs suivants:

U^(resp.U2) de E x

dans E x E défini par (x,y)=(y,-x)

(resp.U2(x,y)=(y,x)); et U*(resp.U*) de E' x E' dans E' x E', défini par

= (resp.U*(tp,i|j) = (iJ;,cp) ).

Ces opérateurs vérifient les propriétés suivantes;

i) <U^ (x,y), ((p,i|j)>=<(x,y) ,U^ ((.p,\p)>

<U^(ip,4j), (x,y)>=<(ip,\p) ,ü^(x,y)>

^ExE U 2=-i

’ 1 E'xE ' ^iV'

^2~^ExE ’

U* =I ?

2 E'xE' et U*U*=

ii) si pour tout sous-espace vectoriel F de E

on pose G E' X E'; <(x,y), (cp,ijj)>=0 V(x,y) G

} Alors

u*(r‘-)=(u^F)-‘- et

*(

^)=U2F)-‘-

iii) si A est un opérateur fermé à domaine dense de D dans E, inversible; alors

gr(A ^)=U2(grA), grA*=(U ^grA)"*" et gr(A ^)*=U*grA*

Supposons que D*^E' ; il existe x G E tel que tp(x)=0 Vtp S D* et x^O.

Pour tout (p G D*, <(0,x), (-A*4),cp)>=0 donc (0,x) G (U^grA*)"*".

Or (U*grA’*)'*"=U^ ( (grA*)'*') et grA*=(U^grA)"*' Comme E est reflexif, ceci entraine que

U^((grA*)-‘-)=U^((U^grA)-*-^) G -grA

d'après les assertions i) ci-dessus; donc (0,x) G -grA et par suite x=0 ce qui est contradictoire; donc D*=E'.

A est bijectif; en effet;

. A* est injectif car A est surjectif.

. Si ij; G E', et si on pose ip(Ax)=i|;(x) Vx G D, on obtient une forme linéaire sur AD=E qui est continue et vérifie <ip,Ax>=<iJj,x> Vx G D, donc A^'cp^ip.

De plus, gr(A*)“^=U*grA*=U*(U^grA)-‘-=U*U*(grA)-‘-

=U*( (U2grA)‘*‘)=U*( (grA ^ )'*')=gr(A ^

2°) Montrons maintenant que (E')_^ (E^)'.

Pour cela, il suffit de montrer que, pour tout n, E' (

)' avec les -n — n

notations de la preuve du théorème 1.

On a E' = (E )'. Supposons que E' a. (E )' et montrons que E'/ 'u (E Soit cp G et $ l'application linéaire définie de gi'A^ dans Œ, par $(x,A x)=ap(x). Puisque E . est muni de la norme II . Il . qui est la norme

n ^ ^ n+1 n+1 ^

du graphe de A ; 0 est continue dans (grA ,11.11 , ) ; or (grA , Il . Il ,) est

n '^n’ n+1 '^n n+1

un sous-espace de (E ,, ll.ll ) x (A E , > H • H ), donc par le théorème de

n+1 ’ n n n+1 n ’ ^

Hahn-Banach <I> se prolonge en une forme linéaire continue (f,g) avec f G E^

et (f,g)| =tp. Deux tels prolongements sont équivalentes module ' ® n

(~4iA*4i, tp . Puisque (E^)' % (Ej^^)' on a (f,g) G Ej_^_^ ; ceci définit donc une application continue linéaire de (E .)' dans E'

n+1 -n-1

Cette application a pour inverse l'application définie de (E^)' X (E^)' dans par (f,g) ^ f+g o A^.

Donc (E')_^ ^ tout n, et par conséquent (E' ) =U(E' ) a. u(E ) ' (OE ) ' = (E ) '

De même on démontre que (E )' (E') .

§3. Distributions sur un groupe de Lie compact:

Soit V une variété différentielle de classe C compacte, de dimension n;

munie d'une structure riemannienne, et A l'opérateur de Laplace-Beltrami défin sur V par cette structure riemannienne.

Pour tout r Gu, et valeur propre de A, on note d(A^) la dimension de l'espace propre de A pour A^. On a alors la proposition suivante:

Proposition 1 :

1°) d(A )=0(A^^^) quand A °o

2°) Si on range les A^ dans une suite croissante, en tenant compte de l'ordre de multiplicité de chaque valeur propre;

0<A^<A<...<A

<A^<...

e > 0 on a ; 1 r n

A^ r

< + oo

Preuve :

1°) Avec les notations du chapitre 0; posons N(A +0)=lim N(A +e)

e-+0 ^ e>0

et

(A -0)=lim N(A -e) e-^0

e>0

Pour tout e > 0 on a; N(A^+e)-N(A^-e) = Z d(A^) A -e < A <A +e r — r — r

puisque les valeurs propres sont des points isolés deE; pour e assez petit on a; N(A^+e)-N(A^-e)=d(A^); d'où N(A^+0)-N(A^-0)=d(A^)

Montrons que N(A^+0)-N(A^-0)=0(A^'^^) quand A^ ->■

Soit n > 0; d'après le théorème du chapitre 0 partie II; il existe M > 0 tel que; A > M => -cA^^^n < N(A)-

A’^'^^ < cA'^'^^n;

soit r tel que A^ > M et p > 0 tel que;

0 < e < P A -e > M r

si 0 < e < P ; < N(A^+e)-c(A^+e)'^^^ < c(A^+e)"^^

et d'où

^n/2

-c(A^-e)^^^ < N(A^-e)-c(A^-e)'^^^ < c(A^-e)'^^^

vn/2 ]n 1 N(A^+e )-N(A^-e )

i =( (X/e)'’'^^*(Xr-£)”^^lil et en faisant tendre e vers 0 par valeurs positives;

n/2

-c'.2A ' n < N(A +0)-N(A -0) < c'.2A ' x\.

r — r r — r

ce qui montre que N(A^+0)-N(A^-0)=0(A^'*^^) quand A^ -> o° et l'assertion 1°) de la proposition.

2°) Pour tout r; soit r'=max{s,A^=A^} et r"=min{s,A^=Ag} on a N(A )= Z d(A )=!■", et d'après la propriété 1°) ci-dessus

^ A < A ^ T r

r"=r'-d(A ) + 1=r'-0(A"'^^).

r r

D'autre part le théorème du chapitre 0 partie II montre que

N(A ) % cA^'^^ quand A ^ Donc r" a. cA*^^^ r' et puisque r" < r < r'

rr^r ,r . —

n/2 N(X^)

on a r a/ cA quand A -»■ o° donc lim --- = 1. r r r

p-K»

si e > 0 est tel que Z r r

< +00 ; comme N(

)=C

‘^^^( 1+0( 1 ) ) r r

on a bien Z

r A n/2+e < + 00.

Dans le reste de ce paragraphe, G désignera un groupe de Lie compact, sur lequel on considère une structure riemannienne bi-invariante, et A l'opérateur de Laplace-Beltrami défini à l'aide de cette structure (cf.chapitre O). On notera e l'élément neutre du groupe G, et pour tout a £ G, y (resp.ô ) la

d> Oit translation à gauche (resp.à droite) de G.

Soit G l'ensemble des classes d'équivalence des représentations unitaires irréductibles; pour tout a £ G et E a , est de dimension finie d , cette

a dimension ne dépend que de a. Soit donc u'^ E o et E 'l'espace de U*^, si

a

{e ,... e„} est une base de E , on pose; pour 1 < i,j < d , u?. la fonction

1 a a — — a ij

définie sur G à valeurs dans (T par u? . (g)=<u'^. e . ,e. > où <,> est un

gjia a

produit scalaire sur E . a

Pour tout O E G, soit l'espace vectoriel complexe engendré par

^^ij ’ ^ {1

Proposition 2: Pour tout a E G; il existe A^ ; valeur propre de A » telle que si E. est l'espace propre de A pour A alors PEE,

a a A

O a

Preuve :

Puisque est une représentation continue de G, est un homomorphisme du groupe de Lie G, dans le groupe de Lie GL(d ); et par conséquent de classe

a C , donc P E C (

) .

O

Pour 1 < i,j < d ; soit v..=Au?..

~ — a ij ij

Pour tout a G G, on a y (v. • )=Y (Au?.)=A(y u? . ) ; puisque A est bi-invariant ; a ij a ij a ij

or Y^u..=Z Uj^.u^.(a),

donc Y v..=E v., ,uf.(a). Et de même 6 v. . =Z u?, ( a ) v, . ;

'a ij ik kj' ' k

Comme (y v. .)(e) = (6 v. -)(e); on voit que la matrice (v. -(e)),^. commute a ij ' ' a ij ' ' ' ’ ^ ' ij lli.Ji.'ig

avec (u..) . . donc par le lemme de Shur il existe A ^ d tel que;

ij g

(v..(e)) . . =A I. où I, est la matrice unité de M. (d).

ij Ki,j<d a d d d

— O O O O

Mais alors, pour tout x G G;

(Au“.)(x)=(Y^Vi.)(e)= v.^(e)u“.(x)=X^u“.(x) iC“ I

d'où Au?.=A U?.. Ce qui montre que P CE,,

ij a ij ^ ^ O A^

Corollaire 1 : Si G est un groupe de Lie compact, G est un ensemble dénombrable.

Soit a un nombre réel, suffisamment grand pour que a+A soit un isomorphisme de H^(G) dans ^(G) pour tout k C 2,.

Si a C G, on note il. Il la restriction à P de la norme de L (G).

O a

Soit E= U.a P^, et B la famille de parties de E définie par :

O _ 1 B C B il existe c > 0 tel que, si x C

H P alors llx II < cd

O ’a a a O — a

Proposition 3:

(Prr) ^ B ) est un b-espace indexé et O Ê G O

U

De plus (P_),B ) est une espace de Hilbert.

G C7 O

Rappelons le théorème de Weyl-Peter (cf [2] p.24) avec les notations ci-dessus;

Théorème 1 (Weyl-Peter)- i/o

1°) L'ensemble {d u? ; j,k G {1,2,...,d }, a ^ est une base orthonornale

O jk O

de L^(G); pour tout f G L^(G) on a

f = ^ < f, a e G j,k=l

avec convergence en norme de L (G); où 2 ^

f U? dX Jk

(A étant la mesure de Haar bi-invariante normalisée sur G)

2°) Pour tout f G L^(G) on a l'égalité de Parseval)

= E ^ d z""

^

EG "^j,k=1

3°) Si j,k G d^}

telle que

d

E Edi a? I ^ < + oo a G G j ,k=1 °

G est une famille de nombres complexes

il existe g G L^(

) unique tel que <g,u? >=a?

J-K Vj,k G {1,.,,,d^} et Va G G, de plus

g = E E d a., U., O O

O e

G o,k=i °

avec convergence en norme de L (G).

De ce théorème, résulte le corollaire suivant:

Corollaire 2:

2 ^2

L (

) est isomorphe isométrique à ^

Preuve :

Pour tout g G L (

), et pour tout a G G soit

g(o)= E u^

J ,k=1 jk jk

alors, par le theoreme de Weyl-Peter

I d^llg(o)l|2 = Z d^ = llgll^

oGG oGG J,k=l ^

ce qui montre le corollaire d'après la proposition 3 ci-dessus.

Soit maintenant sur E, la famille de parties définie par : il existe c > 0, il existe k G B tels que

B £ B _<

si

£

alors llx 11^ < cd \a+X

O O a a — a a

De nouveau ((P ) ^ ^ ,B ) est un b-espace indexé.

O a £ G -oo

Théorème 2 :

le démonstration de ce théorème repose sur la proposition 1 du présent paragraphe, que nous réécrivons comme suit :

Proposition 1': Avec les notations ci-dessus; n étant la dimension de G.

1°) d quand X ->■ «>

a a O

2°) Si on range les valeurs propres (X^)^ de A en une suite strictement croissante; alors pour tout e > 0 on a

a £ G (a+X ) a

n/2+e < + oo

Démonstration du Théorème 2:

Pour tout

G, soit f^ l'application définie de dans lui-même par d

f (

) = --- ---

° (au

Il résulte de l'assertion 1°) de la proposition 1', que (f ) est O O Il un isomorphisme bornologique de dans lui-même, et l'assertion 2°) de cette même proposition donne l'égalité du théorème, d'après la proposition 2 du chapitre 1.

Théorème 3 :

Pour tout P tel que 1 £ p £ œ , le b-espace E'(G) des distributions sur G est isomorphe algébriquement et bornologiquement à £^((P ) ^ ).

(j a a fc b -oo

Preuve :

D'après le théorème 2 ci-dessus, il suffit de montrer que S'(G) est V 2

isomorphe algébriquement et bornologiquement à £?;((P ) _ ).

G O O t; G —oo

Soit T € £'(G), d'après le théorème 1 du §1 du-présent chapitre; il existe m G U et g S L^(

) tels que T=(a+A)^g.

Pour tout a G G, posons;

d j ,k=1

T(a) = < g,(a+A)“u^, >

jk ' d

on a T(a) = (a+A E^ < g,u?. > u?,

O Jk jk

et llT(a)ll^ = (a+A^)^"^ E° | <g,u?,>|^

° ^ j,k=l ' '

= (a+A^)^^llg(a)ll^ £ llgll^d^^ (a+A^)^”'

d'après le théorème de Weyl-Peter.

Donc (T(o)) ^ G ilp((p ) )=£^((P ) ,B ).

OtG G OOGG -oo G o a -oo

Soit maintenant (x ) çz ^ ^ ooGG G 0

(= ê»® GG existe (y ) un élément G G} de B_^ pour lequel il existe c > 0,

oo

GG 2

^G

x^=y y o fc G

^ O e G;

k G E tels que ;

mais alors (u (a+A ) ^ ^ ) donc il existe g S L^(G) unique

O O OO^C

O O

tel que

g(o) = y^(a+A^)'^^.

Soit T=(a+A) g; on a T G e'(

) et pour tout o G G.

î«,)= > U-

J 5 '

= (ct+A^)^g(a)=y^y^=x

D'où un isomorphisme de e'(G) sur £*((P ) 2 ^ ).

^ G O 0 t G -oo

On démontre facilement que cet isomorphisme est bornologique.

' C.Q.F.D.

Bibliographie :

[1] J.EELLS: Elliptic operators on Manifolds complex analysis and its applications, Trieste, 1975 lAEA Vienna (1976) vol.1, pp.95~152.

[2] E.HEWITT and K.A.ROSS: Abstract Harmonie Analysis, vol.II, Springer Verlag, 1970.

[3] R.S.PALAIS: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem, Annals of Mathe-

matics studies nr57, Princeton University Press I965.

REPRESENTATIONS DIFFERENTIABLES D'UN GROUPE DE LIE SUR UN

b-ESPACE

§ 1. ReprésentatiorB différentiables d'un groupe de Lie dans une b-algèbre.

Soit G un groupe de Lie, A une b-algêbre unifère et p une application de G dans A vérifiant les conditions suivantes:

1°) p(x y)=p(x)p(y) Vx,y G G

2°) p(e)=1 où e est l'élément neutre de G et 1 l'élément unité de A.

3°)

G c“(G,A).

une telle application sera dite une représentation différentiable de G dans A.

Théorème 1 :

Soit G un groupe de Lie, E'(G) la b-algèbre de convolution des distributions à support compact, A une b-algèbre unifère et p une représentation différentiable de G dans A.

Il existe un morphisme p^ de b-algèbres, unique, de E'(G) dans A tel que p=p^ O i où i est l'injection canonique de G dans E'(G).

Preuve :

D'après [ 1] , il existe un sous-espace A de A, qui est un espace de Silva tel que p(G) GA et p soit C°° différentiable de G dans A.

Soit T G E'(

); il existe m G E et une famille (u, ) i, i de mesures

K I KI<m

de Radon telle que T = E D% .

|k|<m ^

Si on pose p,(T) = E (~l)^ < y, ,D^p>; on a p,(T) G A.

i I , I K. J

I k|_<m

Montrons que p^ est bien définie de E'(

) dans A, et pour cela supposons

k X

que E D y, =0; alors pour tout tp G A ,

I ^1.1™