Normalisation de fonctions de base adaptées à la symétrie cubique

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Submitted on 1 Jan 1976

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Normalisation de fonctions de base adaptées à la symétrie cubique

F. Michelot

To cite this version:

F. Michelot. Normalisation de fonctions de base adaptées à la symétrie cubique. Journal de Physique,

1976, 37 (3), pp.209-212. �10.1051/jphys:01976003703020900�. �jpa-00208411�

NORMALISATION DE FONCTIONS DE BASE ADAPTÉES

A LA SYMÉTRIE CUBIQUE

F. MICHELOT

Laboratoire de

Spectronomie

Moléculaire Faculté des

Sciences,

6 Bd Gabriel 21000

Dijon,

^France

(Reçu

^{le 12}

septembre 1975, accepte

le 27 octobre

1975)

Résumé. ²⁰¹⁴ Dans un précédent ^article nous avons déterminé un ensemble de fonctions de base

adaptées ^{à la} symétrie cubique. Lorsque ^l’on

impose

^aux symboles 3-J cubiques

F(4 JJ)A1 pp’

^d’être

^diago-

naux en p, l’orientation de cette base est fixée.

Ces fonctions, orthogonales par construction, peuvent ^être normalisées _par les méthodes _que

nous donnons dans cet article.

Abstract. ²⁰¹⁴ In a

preceding

^{article we} determined a set of basis functions

adapted

^{to cubic symme-} try. ^{When we force the} 3-j ^cubic

symbols F(4 JJ)A1pp’

^{to be}

diagonal

^with respect ^{to the} index p, ^{the orien-}

tation of this basis is fixed. These functions are orthogonal by construction and can be normalized

using

^{the methods we} give ^{in this article.}

Classification

Physics ^Abstracts

1.140 ^- 5.440

1. Introduction. ^- Dans un

precedent ^article

^nous

avons

developpe

^{une methode} permettant ^d’obte- nir des fonctions de base et certains

symboles

^de

couplage particulierement

^bien

adaptes

^{a la}

symetrie cubique.

Ces fonctions sont obtenues a

partir

^des

vecteurs propres d’une matrice et doivent etre nor-

malis6es

separement.

Nous donnons ici deux m6thodes permettant ^d’obte- nir ces coefficients de normalisation. Les notations utilis6es sont celles de la reference

[1].

2.

Rappels.

^{- Les} fonctions de bases

cubiques

obtenues peuvent ^s’6crire

[1,

^formule

(1)]

^d’une

part ^{en fonction des}

polynomes harmoniques

^stan-

dards normalises

et d’autre

part

^{sous la forme} introduite

dans [ 1,

formule

(18)]

ou H

represente l’operateur

^de

projection harmonique.

Le facteur

N(j)

^{est alors}

^choisi,

^{de meme que pour}

les

II (j),

^de

^faqon

^{que :}

ou

l’int6grale

^est

prise

^{sur la}

sphere

de rayon ^un.

Du fait de la

complexite

^des

expressions (2)

^{il n’est}

pas souhaitable de chercher a evaluer ces

int6grales.

11 nous semble

preferable

d’utiliser une des deux methodes _que nous decrivons ci-dessous :

- La

premiere

^est de formulation assez

simple

mais elle

pr6sente

1’inconvenient d’etre basee sur la determination par recurrence des coefficients

N(j +

¹⁾

les

N(j)p

^{6tant connus.}

- La deuxieme est

plus

difficile a formuler mais

ne

presente

pas l’inconvenient

precedent ;

^{en outre}

elle

permet

ensuite de determiner directement les elements

(J)G;

de la matrice de

changement

^{de base}

ce

qui

peut etre interessant _pour des valeurs elevees de J.

3. Determination des coefficients

Np(j +

^{1) par étude}

du

couplage 03C8 (j) 03C8(1)F103C3.

^{- Nous avons} établi dans la reference

[1, § 2.1]

^{la formule :}

Faisons

J,

⁼

1,

p, ⁼

F1

Q’1, par ^une methode

identique

^{a celle}

developpee

^{dans Ie}

paragraphe

^4.1

de la reference

[1],

^{on obtient}

1’analogue

^de

1’6q. (20)

sous la forme :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01976003703020900

210

De

faqon

^{a utiliser}

pratiquement

^cette

relation

il

est n6cessaire d’6tudier les

decompositions

On peut ^alors identifier les termes de meme

symetrie

et de meme orientation. Sachant _{que pour}

J, C,

fixes les fonctions R relatives a differentes valeurs de t sont lineairement

ind6pendantes

^{on obtient}

finalement des relations du

type :

ou les coefficients _att,, tres

simples,

^{sont ceux de la}

transformation

(5).

^Pour determiner les coefficients

N(j+1)

^{pour C’ fixée sans} calculer les

symboles 3-j

il suffit de resoudre le

syst6me

^constitue par 1’ensemble des

6q. (6)

pour les diverses valeurs de _p

(telles

que C’ ^c C x

Fi)

les inconnues 6tant les

produits :

puis

d’utiliser la

propriete

d’unitarite

Remarque.

^{- Les}

propriétés

^de

symétrie

^des sym- boles

3 j

par rapport ^{aux indices Q}

[2]

permettent de reduire la dimension des

syst6mes

^a considerer.

Nous donnons dans l’annexe A un

exemple d’appli-

cation de cette methode _{pour la} determination des coefficients

N(j+1).

4. Deuxième methode de determination des coeffi- cients

N(j).

^{- Celle-ci} utilise la relation

(1)

de definition dans

laquelle

les fonctions

T (j)

^{sont connues a un}

coefficient

pres

^{et les}

II (fj

^sont

completement

^d6ter-

min6es

[3].

Elle utilise

egalement

^{le fait} que ^ces fonc- tions sont des

polynomes harmoniques homogènes

de dO J des variables x, y, z ; donc si 1’on considere

une d6riv6e d’ordre J des deux membres de

(1)

^on

obtient une relation entre le coefficient de normalisa- tion inconnu et les elements matriciels

(J)G;

^dont

il existe des tables de valeurs

num6riques jusqu’d

J ⁼ 21

[4].

En fait _{pour le} calcul des coefficients

N(j)

^{il n’est}

pas n6cessaire de connaitre ces elements’ matriciels : par ^un choix convenable des

op6rateurs

de deriva- tion il est

possible

^{d’6tablir un}

systeme d’6quations

lin6aires dont les inconnues sont les

quantites

Utilisant l’unitarit6 de la matrice G on en deduit

Pour une

symetrie

donnee les valeurs de m inter- venant dans la combinaison lineaire

(1)

^{sont con-}

nues

[4],

^{en outre} les elements

(J)Gmp

v6rifient :

on a alors deux

types d’expressions :

Remarque.

^{- Pour certaines}

symetries

^{m # 0 en}

(a) [4].

Connaissant les

expressions

^{et la}

phase

^des

II(j)

on en deduit _{que les} seuls

op6rateurs

interessants sont de la forme :

ou les valeurs successives donnees a m’ sont celles

prises

par tn dans les combinaisons lineaires

(10).

On obtient alors des relations de la forme :

Le

developpement

des seconds membres _{des sys-} temes

(11a-b)

^est

imm6diat ;

^on obtient des _expres- sions

plus complexes

pour les

premiers

^membres

car les

W(j)p

^sont d6termin6es _par la relation

(2)

^dans

laquelle

^H

repr6sente l’op6rateur

^de

projection

^har-

monique

d6fini dans la reference

[1].

^{La resolution}

des

systemes ( 11 a-b)

^ne pose ensuite aucun pro- bleme car elle fait intervenir l’inversion d’une matrice

triangulaire.

Nous donnons dans l’annexe B un

exemple d’appli-

cation de cette m6thode.

5. Conclusion. ^- Avec l’obtention des coefficients de normalisation

N(J)

^nous achevons la determination des fonctions de base

adaptees

^{a la}

sym6trie cubique

dont

nous

avons donne les

expressions

dans la r6f6-

rence

[1].

L’orientation choisie _pour cette base est celle introduite _{par J.}

Moret-Bailly [5]

pour 1’etude des molecules dont le groupe de

sym6trie

^{est Td}

ou Oh.

6. Annexes. ^- A. DTTERMINATION DES COEFFICIENTS

N(J"),

^J

^impair

^{= 3 p}

(Ire methode).

^{On a}

E c

F1 X F1

^{et E c}

F,

^x

F2. D’apr6s

les resultats donn6s dans

[1]

^les

quantites P(j)

s’6crivent _{pour :}

On obtient alors les

systemes :

où

Dans les

systèmes (12)

^et

(13)

les indices _p,

p’

des coefficients _a, b... ont ete omis.

L’examen des tables des

symboles 3-j

^du groupe 0

[6]

^montre que ^ces valeurs des

couples (p, Q1)

^sont

les

seules

qu’il

soit necessaire de considerer. En effet si 1’on _{pose :}

on a

La resolution des

systèmes (12)

^et

(13)

^nous permet d’evaluer la

quantite

et

d’après

^{la relation}

^{(7) :}

B. DETERMINATION DES

COEFFICIENTS N(j)nA1 ,

^J

^pair (2e methode).

^{Dans ce cas} les elements

(J)G:’A1

^sont

^reels,

m

prend

les valeurs

0,

^±

4,

±

8,

^...

[4],

^{et on obtient un}

systeme

^du type

( 11 a).

^{La forme des}

equations

^obtenues

depend

^{de la} manière dont sont menes les calculs. Elles

peuvent

^{s’ecrire :}

212

On obtient alors une relation de la forme :

ou les _ak sont les coefficients

apparaissant

^{dans le}

developpement

^de

l’opérateur

^H

[1]

^{et ou les}

B(k)

^{sont donn6s}

par :

ao, al ainsi _{que les} valeurs

prises

par 0 _{et y sont} celles _pour

lesquelles

les factorielles sont d6finies.

Bibliographie [1] MICHELOT, ^{F. et} MORET-BAILLY, J., ^J. Physique ³⁶ (1975) ^451.

[2] HILICO, ^J. C., Thèse, Dijon (1969).

[3] EDMONDS, ^A. R., Angular Momentum in Quantum ^Mechanics (Princeton ^Univ. Press, Princeton) ^1957.

[4] MORET-BAILLY, J., GAUTIER, L., MONTAGUTELLI, J., ^J. Mol.

Spectrosc. ¹⁵ (1965) ^355.

[5] MORET-BAILLY, J., Thèse, ^Paris (1961) ; ^{et Cah.} Phys. 15 (1961)

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[6] HILICO, J. C., ^Cah. Phys. 19 (1965) ^328.