Les expressions générales des coefficients caractéristiques globaux de la fonction de Collatz

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Preprint submitted on 7 May 2021

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Raouf Rajab

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Raouf Rajab. Les expressions générales des coefficients caractéristiques globaux de la fonction de Collatz. 2021. �hal-03217415v2�

General formulas of global characteristic coefficients of Collatz function

Raouf Rajab

National School of Engineers of Gabes- Tunisia raouf.rajab@enig.rnu.tn

Abstract: The purpose of this paper is to show three general formulas of three global characteristic coefficients of Collatz function. The Collatz function is defined fromℕ^∗ to ℕ^∗ by T¹(N) = (3N + 1)/2 if N is odd, T¹(N) = N/2 if N is even. We begin by expressing the natural numbers in the form N = 2ⁿa + b_i where b_i∈{0,1,2, … , 2ⁿ−1} , n ∈ ℕ^∗ and a∈ ℕ. Then we apply T¹ function n times to N, we get an image of N which is written in the form 3^m(bi,n)a + f(bi, n). Based on the principle, we define Collatz function (n-order function) denoted by Tⁿ which can be expressed as follows

Tⁿ(N) =𝐀𝐀(b_i, n)N +𝐁𝐁(b_i, n) if N≡ b_i ( mod 2ⁿ) such as 0≤b_i≤2ⁿ−1

Based on these expressions of the last function, we define three global characteristic coefficients relative to the function. The first global coefficient is denoted by 𝗞𝗞_n and is the results of multiplication of all coefficients 𝐀𝐀(bi, n). The second global coefficient is denoted by 𝐒𝐒n and is equal to sum of all coefficients 𝐀𝐀(bi, n) and the third global coefficient denoted by 𝐑𝐑_n is equal to sum of all coefficients 𝐁𝐁(b_i, n). We show in this article that each global characteristic coefficient has a general expression as a function of n. The general formulas that are shown in this paper as follows:

𝗞𝗞_n= (3 4)²

n−1n ; 𝐒𝐒_n= 2ⁿ ; 𝐑𝐑_n= 2ⁿ⁻²n

Key words: Collatz function; Relative characteristic coefficients; Global characteristic coefficients; Structural order.

Résumé : L’objet de cet article est la démonstration des expressions générales de trois coefficients caractéristiques globaux d’une fonction de Collatz d’ordre n. La fonction de Collatz est définie de ℕ^∗ dans ℕ^∗ comme suit T¹(N) = (3N + 1)/2 si N est impair, T¹(N) = N/2 si N est pair. On fait exprimer les entiers naturels sous la forme N = 2ⁿa + bi avec bi∈{0,1,2, … , 2ⁿ−1} , n ∈ ℕ^∗ et a∈ ℕ puis on fait appliquer la fonction T¹ n fois successives sur un entier naturel N, on obtient une image de celui ci qui s’écrit sous la forme 3^m(bi,n)a + f(b_i, n). En se basant sur ce principe, on définit la fonction de Collatz d’ordre n donnée comme suit:

Tⁿ(N) =𝐀𝐀(bi, n) N +𝐁𝐁(bi, n) si N ≡bi (mod 2ⁿ) avec 0≤bi≤2ⁿ−1.

En se basant sur les différentes expressions de la fonction Tⁿ , on définit trois coefficients caractéristiques globaux de cette fonction. Le premier coefficient noté 𝗞𝗞_n est égal au produit de tous les coefficients 𝐀𝐀(b_i, n) . Le deuxième coefficient est noté 𝐒𝐒_n , il correspond à la somme de tous les coefficients𝐀𝐀(bi, n). Le dernier coefficient noté 𝐑𝐑n est égal à la somme de tous les coefficients 𝐁𝐁(bi, n). On montre dans cet article que chaque coefficient caractéristique global possède une expression générale qui ne dépend que de n. Les différentes relations démontrées dans cet article sont les suivantes:

𝗞𝗞_n= (3 4)²

n−1n ; 𝐒𝐒_n= 2ⁿ ; 𝐑𝐑_n= 2ⁿ⁻²n

Mots clés : Fonction de Collatz; Coefficients caractéristiques relatifs; Coefficients caractéristiques globaux; Ordres structurels.

1 Introduction et préliminaire

Les suites de Collatz font l’objet des plusieurs travaux de recherche dans l’objectif final est la démonstration de la conjecture de Collatz. Cette conjecture affirme que toutes les suites de Collatz convergent vers un cycle trivial (4,2,1) après un nombre fini des itérations quelque soit le nombre de départ [1]. La particularité principale de cette suite est que l’expression de l’image d’un entier naturel dépend de sa forme de départ (ou de sa parité). Cette particularité engendre un certain nombre des propriétés exceptionnelles et un comportement d’ensemble caractérisé par une régularité structurelle bien déterminée. Cet article fait partie d’un ensemble des travaux qui consistent à déterminer des règles générales ou bien des propriétés générales qui décrivent les comportements de ce genre particulier des suites.

En se basant sur le principe du processus d’itération de la fonction de Collatz (eq 1.1), on peut définir des fonctions de Collatz de différents ordres structurels. Pour une fonction d’ordre structurel n, l’ensemble de départ subdivisé en 2ⁿ sous ensembles ce qui nous permet d’obtenir 2ⁿ expressions pour les images. Chaque expression est caractérisée par deux coefficients. Cette approche fait l’objet des plusieurs études dans l’objectif est de prouver la conjecture de Collatz ou bien de la vérifié pour le plus grand nombre des entiers naturels [2].

Dans cet article, on va définir trois coefficients caractéristiques globaux pour chaque fonction de Collatz d’ordre n quelconque. Ces coefficients sont des fonctions des coefficients qui interviennent dans la détermination des expressions des différentes fonctions de Collatz. Puis on va montrer que chaque coefficient caractéristique global possède une expression générale bien déterminée qui ne dépendent que de l’ordre structurel de la fonction de Collatz considérée.

Dans ce qui suit, on définit quelques éléments de base et on fixe quelques notations concernant les fonctions et les coefficients qui font l’objet de ce travail.

La fonction de Collatz est définie comme suit pour tous les entiers naturels non nuls N :

1.1 T¹(N) =� N

2 si N≡0 (mod 2) 3

2 N + 1

2 si N≡ 1 (mod 2)

On ajoute 1 en exposant pour indiquer qu’elle s’agit d’une fonction de premier ordre structurel.

Notation 1.1

Une suite de Collatz de premier terme P0 et de longueur n+1 est notée comme suit:

1.2 Sy¹(P0 , n) = (P0, P1, … , Pn−1, Pn) Avec :

T¹(P_k) = P_k+1 avec k ∈ ℕ Notation 1.2

On adopte la notation suivante pour la k^éme image de P₀ obtenue après k itérations successives par application de la fonction T¹ sur N:

T_k¹(P0) = Pk

Autrement :

T¹�T¹(… (T¹�T¹(P₀)��= T_k¹(P₀)

Notation 1.3

La suite de Collatz peut s’écrire alors comme suit :

1.3 Sy¹(P, n) = (P, T₁¹(P), T₂¹(P), … , Tn1(P))

On désigne par M_n(P) le nombre des entiers impairs contenus dans la suite de Collatz Sy¹(P, n).

Dans le cas général, on peut classer les entiers naturels en 2ⁿ sous ensembles au lieu de deux sous ensembles uniquement. Dans ce cas, les entiers naturels sont exprimés sous la forme générale suivante :

1.4 P = 2ⁿa + bi Avec b_i ∈{0,1,2,3, … , 2ⁿ−1} et l’indice i ∈{1,2,3, … , 2ⁿ}

b_i est appelé déterminant structurel. L’ensemble des déterminants structurels de la forme d’ordre n est noté DS(n), il correspond à l’ensemble suivant :

1.5 DS(n) = {0,1,2,3, … ,2ⁿ−1}

On fait appliquer la fonction T¹ sur un entier P qui s’écrit sous la forme 2ⁿa + b_i en effectuant n itérations successives, on obtient une image de P qui prend la forme suivante :

1.6 T_n¹ (2ⁿa + b_i) = 3^m(bi,n)a + f(b_i, n) K itérations

Dans ce cas, on parle d’une fonction de Collatz d’ordre structurel n qu’on la note Tⁿ tel que :

Tⁿ(2ⁿa + b_i) = 3^m(bi,n)a + f(b_i, n)

La fonction de Collatz d’ordre n notée Tⁿ est une fonction de ℕ^∗ dans ℕ^∗ tel que tout entier naturel non nul P qui s’écrits sous la forme 2ⁿa + b admet une image obtenue après n itérations successives par application de T¹ à l’entier P ceci se traduit par:

1.7 Tⁿ(P) = T_n¹(P)

Plusieurs chercheurs ont été intéressés par l’étude de cette fonction et des travaux antérieurs ont montrés que m(bi, n) est un entier naturel correspond au nombre des entiers impairs dans la suite de Collatz suivante (P, T11(P), T₂¹(P), … , Tn−11 (P)) alors que le terme f(b_i, n) correspond à la n^ième image de b_i par la fonction T¹ de Collatz [2]. On remplace m(b_i, n) et f(b_i, n) par leurs expressions on peut écrire :

1.8 Tⁿ(2ⁿa + bi) =�a si i = 1 3^Mn−1(bi)a + T_n¹(bi) si 2≤ i≤2ⁿ Avec :

-Mn−1(bi) est le nombre des entiers impairs dans la suite de Collatz Sy¹(bi, n−1).

-T_n¹(bi) est la n^ième image de b_i par la fonction d’ordre 1 de Collatz.

Exemple 1.1

On prend le cas d’un entier qui s’écrit sous la forme d’ordre 4 suivante : N = 2⁴a + 7

Donc on a dans le cas n=4 et b=7. On détermine l’expression de son image par deux méthodes différentes. Pour la première, on effectue 4 itérations successives comme suit:

T11(N) = 3x2³a + 11, T₂¹(N) = 9x2²a + 17, T₃¹(N) = 27x2a + 26, T41(N) = 27a + 13 L’expression de T⁴(N) en fonction de N s’écrit comme ci dessous:

T⁴(N) = T41(N) =27

16(N−7) + 13 =27 16 N +

19 16

La deuxième méthode consiste en premier temps à déterminer le nombre des entiers impairs dans la suite suivante :

Sy¹(7,3) = (7,11,17,26) Cette suite contient trois entiers impairs, on déduit que : M₃(7) = 3

Puis on détermine la valeur de T₄¹(7) :

T₄¹(7) = 13

On obtient finalement l’expression de T⁴( N) comme suit : T⁴( N) =3³

2⁴N +�13−3³

2⁴x7� =27 16 N +

19 16 Les expressions de la fonction 𝑇𝑇^𝑛𝑛 de Collatz

On fait remplacer a par son expression en fonction de P dans l’équation (1.8), on obtient l’expression de Tⁿ(P) en fonction de P comme suit :

1.9 Tⁿ(P)

=

⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎧ P

2ⁿ si P≡0 (mod2ⁿ) 3^Mn−1(1)

2ⁿ P +�Tn1(1)−3^Mn−1(1)

2ⁿ x1� si P≡1(mod 2ⁿ) 3^Mn−1(2)

2ⁿ P +�T_n¹(2)−3^Mn−1(2)

2ⁿ x2� si P≡2(mod 2ⁿ) ..

3^{Mn−1(2n−1)} .

2ⁿ P +�Tn1(2ⁿ−1)−3^{Mn−1(2n−1)}

2ⁿ x(2ⁿ−1)� si P≡ 2ⁿ−1(mod 2ⁿ) Exemple 1.2

Les différentes expressions de la fonction de Collatz d’ordre 2 notée T² sont comme suit :

e. e T²(P) =

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧1

4 P si P ≡ 0 (mod4) 3

4 P + 1

4 si P ≡1 (mod4) 3

4 P + 2

4 si P≡2 (mod4) 9

4 P + 5

4 si P≡3(mod 4)

Par exemple les trois premiers termes de la suite de Collatz de premier terme 7 sont comme suit:

T₁²(7) = 17, T22(7) = T12(17) = 13, T32(7) = 10 Notation 1.4

On adopte la notation suivante pour une suite de Collatz d’ordre n de premier terme P et de longueur m+1.

Syⁿ(P, m) = (P, T₁ⁿ(P), T₂ⁿ(P), … , T_m−1ⁿ (P), T_mⁿ(P))

Ces suites font l’objet des plusieurs études, elles sont appelées le plus souvent les suites compressées ou aussi les suites extraites.

Exemple 1.3

Dans le tableau suivant, on représente quelques termes des trois suites de Collatz de premier terme 7 et de différents ordres structurels.

Tableau 1: Exemples des suites de Collatz de différents ordres structurels

T_k¹(7) 11 17 26 13 20 10 5 8 4

T_k²(7) 11 17 26 13 20 10 5 8 4

T_k³(7) 11 17 26 13 20 10 5 8 4

Ce tableau montre la distribution relative de différents termes des suites de différents ordres structurels. Les suites représentées dans le tableau ci-dessus sont les suivantes:

Sy¹(7,9) = (7,11,17,26,13,20,10,5,8,4) Sy²(7,4) = (7,17,13,10,8)

Sy³(7,3) = (7,26,10,4) Notation 1.5

Pour chaque expression parmi les 2ⁿ expressions définissant la fonction Tⁿ , on peut distinguer deux coefficients caractéristiques notés comme ci-dessous:

1.10

⎩⎨

⎧𝐀𝐀_n,i =3^Mn−1(bi)

2ⁿ 𝐁𝐁_n,i = T_n¹(bi)−3^Mn−1(bi)

2ⁿ b_i

Ces dernières expressions correspondent à des valeurs de b_i allant de 1 à 2ⁿ−1 et pour b1 = 0 on sait que la fonction de Collatz n’est pas définie en 0. On peut tirer les valeurs de ces deux coefficients à partir de la première équation du système 1.9 ce qui nous permet d’écrire :

1.11 �𝐀𝐀^n,1 = 1 2ⁿ 𝐁𝐁_n,1 = 0

Les coefficients notées 𝐁𝐁_n,i on les appelle les coefficients d’ajustements de la fonction de Collatz d’ordre structurel n puisqu’ils font ajuster les valeurs de Tⁿ(2ⁿa + b_i) à des entiers naturels.

Les autres coefficients on les appelle coefficients caractéristiques relatifs de la fonction de Collatz considérée.

Comme la fonction de Collatz d’ordre structurel n est définie par 2ⁿ expressions donc on peut distinguer 2ⁿ coefficients caractéristiques relatifs pour cette fonction qui sont comme suit:

1.12 𝐀𝐀n,1 = 1

2ⁿ,𝐀𝐀n,2 = 3^Mn−1(b2)

2ⁿ , . . . ,𝐀𝐀n,2ⁿ =3^Mn−1(b2n) 2ⁿ

De même on peut déterminer 2ⁿ coefficients d’ajustement pour la fonction de Collatz d’ordre n ces coefficients s’écrits comme suit :

1.13 B_n,1 = 0, B_n,2 = �T_n¹(b2)−3^Mn−1(b2)

2ⁿ b₂�, … , B_n,2ⁿ = �T_n¹(b2ⁿ)−3^Mn−1(b2n) 2ⁿ b₂ⁿ� Exemple 1.4

Comme on a quatre expressions différentes pour cette fonction d’ordre 2 donc on peut distinguer quatre coefficients caractéristiques relatifs.. Les résultats obtenus pour la fonction T² sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

Tableau 2 : Différentes expressions de la fonction T² de Collatz Formes d’ordre 2 de N T²(N)en fonction

de a

T²(N)en fonction

de N A_2,i B_2,i

4a a 1

4 N

1

4 0

4a+1 3a + 1 3

4 N + 1 4

3 4

1 4

4a+2 3a + 2 3

4 N + 2 4

3 4

2 4

4a+3 3²a + 8 9

4 N + 5 4

9 4

5 4 L’avant-dernière colonne du tableau ci-dessous contient ces quatre coefficients A2,i et la dernière colonne contient tous les coefficients d’ajustement B2,i de différentes expressions de T².

Définition 1.1

On définit un premier coefficient caractéristiques global de la fonction de Collatz d’ordre n qu’on le note 𝗞𝗞_n comme le produit de tous les coefficients caractéristiques relatifs. Il s’écrit comme suit :

1.14 𝗞𝗞n =� 𝐀𝐀n,i 2ⁿ i=1

On montre dans cet article que ce coefficient ne dépend que de l’ordre structurel n de la fonction de Collatz considérée et il a pour expression :

𝗞𝗞_n = (3 4)²

n−1n

Dans le cas d’une fonction de Collatz de premier ordre et de second ordre structurel, on vérifie que cette propriété est vraie, en effet le coefficient caractéristique global noté 𝗞𝗞1 s’écrit comme suit:

𝗞𝗞₁ = 1 2 x

3 2 =

3 4 = (

3 4)²

1−1x1

Le premier coefficient caractéristique global relatif à la fonction de Collatz d’ordre 2 s’écrit comme suit :

𝗞𝗞2 = � 𝐀𝐀n,i 4

i=1

=1 4 x

3 4 x

3 4 x

9 4 = 81

256 = (3

4)⁴ = (3

4)²

2−1x2

Définition 1.2

On définit le deuxième coefficient caractéristique global relatif à cette fonction d’ordre n qu’on le note 𝐒𝐒n comme la somme de tous les coefficients caractéristiques relatifs donc il est donné par la formule suivante :

1.15 𝐒𝐒_n =� 𝐀𝐀_n,i

2ⁿ

On montre que ce deuxième coefficient s’écrit sous la forme générale suivante : i=1

𝐒𝐒_n = 2ⁿ

On vérifie que cette relation est vraie pour la fonction de Collatz de premier ordre structurel et de second ordre. On détermine ce deuxième coefficient caractéristique global dans les deux cas n=1 et n=2.

Pour la fonction T¹ ce coefficient noté 𝐒𝐒₁ est calculé comme suit : 𝐒𝐒₁ = 1

2 + 3

2 = 2 = 2¹

Dans le cas de la fonction T² , le deuxième coefficient caractéristique global s’écrit comme suit :

𝐒𝐒₂ =� 𝐀𝐀_2,i

4 𝑖𝑖=1

= 16 4 = 2²

Définition 1.3

On définit le coefficient global d’ajustement comme la somme de tous les coefficients d’ajustement. Il est noté 𝐑𝐑_n et il a pour expression :

1.16 𝐑𝐑n = � 𝐁𝐁n,i 2ⁿ

On montre que ce coefficient global ne dépend que de n et il s’écrit sous la forme i=1

générale suivante:

𝐑𝐑_n= 2ⁿ⁻²n

Dans le cas de la fonction de Collatz de premier ordre structurel, ce coefficient s’écrit comme ci-dessous:

𝐑𝐑1 = 𝐁𝐁1,1+ 𝐁𝐁1,2 = 0 +1

2 = 2¹⁻²x1 La valeur du coefficient d’ajustement global 𝐑𝐑2 est comme suit : 𝐑𝐑₂ =� 𝐁𝐁_2,i

4 i=1

= 0 +1 4 +

2 4 +

5

4 = 2 = 2²⁻²x2

On peut conclure que les trois expressions qui on cherche à démontrer pour les trois coefficients globaux déjà définis sont vérifiées pour les deux cas n=1 et n=2.

Les démonstrations de ces expressions générales des coefficients caractéristiques globaux d’une fonction de Collatz d’ordre structurel n font l’objet de cet article. Tout abord, on vérifie qu’elles sont vraies aussi pour le cas n=3, puis on montre par récurrence qu’elles sont vraies pour n’importe quelle fonction de Collatz d’ordre structurel un entier naturel non nul n quelconque.

Remarque 1.1

Comme T_n¹(b) = Tⁿ(b) donc on peut remplacer Tn1(b) par Tⁿ(b) ou vise versa.

2. Hypothèses simplificatrices

On sait que la fonction Tⁿ et l’application Mn ne sont pas définies au point b1 = 0 et les deux coefficients 𝐀𝐀_n,1 et 𝐁𝐁_n,1 sont déduites à partir de l’équation 1.8 ou bien 1.9. Pour cette raison on fait la distinction entre les deux cas bi = 0 et bi≠ 0 pour les différentes expressions de A_n,i et B_n,i qui sont données comme suit

A_n,i =� 1

2ⁿ si i = 1 3^Mn−1(bi)

2ⁿ si 2≤i≤ 2ⁿ Les expressions des coefficients d’ajustement sont comme suit : Bn,i = � 0 si i = 1

T_n¹(bi)−3^Mn−1(bi)

2ⁿ b_i si 2≤i ≤2ⁿ On remarque que si on pose que :

2.1 �Mn−1(b1) = 0 Tn1(b1) = 0

On obtient dans ce cas les mêmes valeurs de A_n,1 et de B_n,1 comme ci-dessous : 3^Mn−1(b1)

2ⁿ = 1

2ⁿ= A_n,1 Tn1(b1)−3^Mn−1(b1)

2ⁿ b1 = 0 = Bn,1

Ce qui correspond aux valeurs prises par les deux coefficients donc on peut adopter sans aucune ambigüité et pour des raisons de simplification les deux équations hypothétiques (eq 2.1). Ces hypothèses ne posent pas aucun problème, elles ne modifient pas le principe de calcul, ni le problème de départ et nous permettent d’obtenir une expression unique pour chaque coefficient. Les deux coefficients peuvent s’écrire sous les formes suivantes pour tout 1≤ i≤2ⁿ

𝐁𝐁_n,i= T_n¹(b_i)−3^Mn−1(bi)

2ⁿ b_i, 𝐀𝐀_n,i =3^Mn−1(bi) 2ⁿ

Les expressions des coefficients caractéristiques globaux peuvent être écrites comme suit :

2.2 𝗞𝗞n =�3^Mn−1(bi) 2ⁿ

2ⁿ i=1

, 𝐒𝐒n =�3^Mn−1(b2) 2ⁿ

2ⁿ i=1

,𝐑𝐑n= �(Tn1(bi)−3^Mn−1(bi) 2ⁿ bi)

2ⁿ i=1

3 Les coefficients caractéristiques globaux de la fonction de Collatz 𝐓𝐓^𝟑𝟑

Dans ce cas, les entiers naturels sont classés en 8 groupes, en effet l’expression générale d’un entier est donnée par la formule générale suivante :

3.1 N = 2³a + b

Avec a un entier naturel non nul quelconque et b un entier naturel appartenant à l’ensemble {0,1,2,3, … ,6,7}

Les différentes expressions des images correspondent aux différentes formes d’ordre 3 obtenues en effectuant trois itérations à partir de la forme de départ 2³a + b.

Ces expressions sont représentées dans le tableau suivant :

Tableau 3 : Différentes expressions de la fonction d’ordre 3 de Collatz N T³(N)en fonction

de a

T³(N)en fonction

de N 𝐀𝐀_3,i 𝐁𝐁_3,i

2³a a 1

8 N

1

8 0

2³a+1 3²a+2 9

8 N + 7 8

9 8

7 8

2³a+2 3a+1 3

8 N + 2 8

3 8

2 8

2³a+3 3²a+4 9

8 N + 5 8

9 8

5 8

2³a+4 3a+2 3

8 N + 4 8

3 8

4 8

2³a+5 3a+2 3

8 N + 1 8

3 8

1 8

2³a+6 3²a+8 9

8 N + 10

8

9 8

10 8

2³a+7 3³a+26 27

8 N + 19

8

27 8

19 8

L’avant-dernière colonne du tableau ci-dessus contient tous les coefficients caractéristiques relatifs de la fonction T³ donc le coefficient caractéristique global de la fonction d’ordre 3 s’écrit comme suit :

𝗞𝗞3 =� 𝐀𝐀3,i 8

i=1

=1 8 x

9 8 x

3 8 x

9 8 x

3 8 x

3 8 x

9 8 x

27 8 =531441

8⁸ = (3

4)¹² = (3

4)⁽²

3−1x3)

Le deuxième coefficient caractéristique global s’écrit comme suit:

𝐒𝐒₃ =� 𝐀𝐀_3,i

4 𝑖𝑖=1

=64 8 = 2³

La dernière colonne du tableau ci-dessus contient tous les coefficients d’ajustement de cette fonction ce qui nous permet déduire la valeur de 𝐑𝐑3 comme suit :

𝐑𝐑3 =� 𝐁𝐁3,i 8 i=1

= 0 +7 8 +

2 8 +

5 8 +

4 8 +

1 8 +

10 8 +

19

8 = 6 = 2³⁻²x3

De même dans ce cas, le calcul prouve que les trois expressions qu’on cherche à démontrer sont vérifiées par les trois coefficients caractéristiques globaux de la fonction de Collatz de troisième ordre structurel.

4 Les expressions générales des coefficients caractéristiques globaux d’une fonction de Collatz d’ordre structurel un entier naturel quelconque

Théorème 4.1

Pour tout entier naturel non nul n, le premier coefficient caractéristique global 𝗞𝗞n de la fonction de Collatz d’ordre structurel n à pour expression :

4.1 𝗞𝗞_n = (3 4)²

n−1xn Théorème 4.2

Pour tout entier naturel non nul n, le deuxième coefficient caractéristique global noté 𝐒𝐒_n de la fonction de Collatz d’ordre structurel n à pour expression:

4.2 𝐒𝐒_n = 2ⁿ Théorème 4.3

Pour tout entier naturel non nul n, le coefficient d’ajustement global 𝐑𝐑n de la fonction de Collatz d’ordre structurel n à pour expression:

4.3 𝐑𝐑_n = 2ⁿ⁻²n

Démonstration du théorème 4.1

On montre par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel non nul n. On sait que la propriété est vraie pour m=1, m=2 et m=3, on suppose que la

propriété est vraie pour tout entier m allant de 4 jusqu’a n et on montre que cette propriété est vraie pour m= n+1.

Pour montrer ce théorème on doit déterminer l’expression de l’image d’un entier naturel non nul N par la fonction Tⁿ⁺¹(N) et on doit exprimer cet image en fonction de N et Tⁿ(N) ceci ce traduit par

Tⁿ⁺¹(N) = f(N, Tⁿ(N))

L’expression générale de la forme fondamentale d’ordre n d’un entier naturel N est la suivante :

N = 2ⁿa + b_k Avec b_k ∈ {0,1,2, … , 2ⁿ−3, 2ⁿ−1} et k ∈{1,2, … , 2ⁿ}

L’expression de l’image d’un entier de forme 2ⁿa + bk par la fonction de Collatz d’ordre n s’écrit :

Tⁿ(2ⁿa + bk) =3^Mn−1(bk)

2ⁿ N + Tn1(bk)−3^Mn−1(bk) 2ⁿ bk

Mn−1(bk) est le nombre des entiers impairs dans la suite Sy¹(bk, n−1) T_n¹(bk) est la n^ième image de b_k par la fonction d’ordre 1 de Collatz T¹ Le coefficient caractéristique global s’écrit comme suit:

𝗞𝗞_n = � 𝐀𝐀_n,k

2ⁿ

k=1

= 3^Zn 2^{n 2n} Avec :

Zn= �Mn−1(bk)

2ⁿ

k=1

En utilisant la relation de récurrence, on peut écrire : 𝗞𝗞_n =�3

4�²

n−1xn

= 3^Zn 2^{n 2n} = 3^Zn

4²ⁿ⁻¹ⁿ On déduit que :

4.5 Z_n = �M_n−1(b_k)

2ⁿ

k=1

= 2ⁿ⁻¹ n

On fait classer les déterminants structurels (bk)1≤k≤2ⁿ selon les parités de Tn1(bk) donc on procède comme suit

On désigne par p le nombre des déterminants structurels b_k qui vérifient T_n¹(b_k) est pair et par q le nombre des déterminants structurels b_k tel que T_n¹(b_k) est impair donc on peut subdiviser l’ensemble des déterminants structurels d’ordre n en deux sous ensembles selon la parité de T_n¹(bk) comme ci-dessous :

DS(n) = {b₁, b₂, … . , b₂ⁿ} → �b_d1, b_d2, … , b_dp�,�b_c1, b_c2, … , b_cq� Les deux sous ensembles obtenus sont notés comme suit :

F =�b_di tel que ∀ entier naturel i 1≤i≤ p T_n¹�b_di� est pair�

G =�b_cj tel que ∀ entier naturel j 1≤j≤ q T_n¹�b_cj� est impair �

Pour des raisons de simplification on peut remplacer la notation b_di par la notation α_i pour tous les éléments de l’ensemble F et de même on remplace la notation b_cj par la notation β_j pour tous les éléments de l’ensemble G.

Ce qui nous permet d’écrire :

4.6 �F =�α₁,α₂,α₃, … ,α_p� G = �β₁,β₂,β₃, … ,β_q�

Aussi pour des rasions de simplification, on adopte le changement de notation suivant : 4.7 �M_n−1(α_i) = u_i pour tout 1≤ i≤p

M_n−1(β_j) = v_j pour tout 1 ≤j≤q

L’expression de l’image d’un entier naturel de forme fondamentale 2ⁿa +αi s’écrit comme suit :

Tⁿ�2ⁿa + b_di�= Tⁿ(2ⁿa +α_i) = 3^uia + Tn1(αi)

L’expression de l’image d’un entier naturel de forme fondamentale 2ⁿa +β_j s’écrit comme suit :

Tⁿ�2ⁿa + b_cj�= Tⁿ�2ⁿa +β_j� = 3^via + T_n¹(β_j) L’expression du coefficient caractéristique global s’écrit:

𝗞𝗞_n =�3^u1 2ⁿ x3^u2

2ⁿ x … x3^up 2ⁿ� �3^v1

2ⁿ x3^v2

2ⁿ x … x3^vq 2ⁿ� =3^{((u1+u2+⋯+up)+(v1+v2+⋯+vq))}

2^(nx2n) = 3^Zn

2 ^(2nxn) Ce qui nous permet d’écrire :

Z_n = �u_i

p i=1

+�v_j

q

j=1

= 2ⁿ⁻¹ n

Puisque le nombre total des déterminants structurels pour les formes fondamentales d’ordre n égal à 2ⁿ donc évidement on a :

p + q = 2ⁿ

L’expression de la forme fondamentale d’ordre (n+1) d’un entier naturel N est la suivante :

N = 2ⁿ⁺¹a + f_r

Avec fr ∈ {0,1,2, . . , 2ⁿ⁺¹−1} et l’indice r∈{1,2, . . , 2ⁿ⁺¹}

On cherche à exprimé les déterminants structurels fr relatifs aux formes fondamentales d’ordre (n+1) en fonction des déterminants structurels b_k relatifs aux formes fondamentales d’ordre n.

On sait que l’ensemble des déterminants structurels d’ordre n+1 est le suivant : DS(n + 1) = {0,1,2, . . , 2ⁿ⁺¹−1}

Cet ensemble peut être subdivisé en deux sous ensembles comme suit:

{0,1,2, . . , 2ⁿ⁺¹−1}→{0,1,2, . . , 2ⁿ−1}, {2ⁿ, 2ⁿ+ 1, … , 2ⁿ⁺¹−1}

On pose :

�E₁ = {0,1,2, . . , 2ⁿ−1}

E₂ = {2ⁿ, 2ⁿ+ 1, … , 2ⁿ⁺¹−1}

Dans ce cas, on peut écrire :

E₁ = {0,1,2, . . , 2ⁿ−1}

= {f1, f2, … , f2ⁿ} = {b₁, b₂, … , b₂ⁿ} = DS(n)

E2 = {2ⁿ, 2ⁿ+ 1, … , 2ⁿ⁺¹−1}

= �f₍₁₊₂ⁿ₎, f₍₂₊₂ⁿ₎, … , f₂ⁿ⁺¹� = {b₁+ 2ⁿ, b₂+ 2ⁿ, … , b₂ⁿ + 2ⁿ}

Ce qui nous permet de déduire les deux relations suivantes pour tout entier naturel k tel que 1 ≤k ≤2ⁿ.

4.8 �fk= bk f_(k+2ⁿ₎ = b_k+ 2ⁿ

On fait classer les éléments de deux ensembles E1 et E2 selon la parité de T_n¹(f_r) en utilisant le classement déjà établi pour les déterminants structurels b_k de la forme d’ordre n.

Comme on a {f₁, f₂, … , f₂ⁿ} = {b₁, b₂, … , b₂ⁿ} donc on peut déduire le classement de l’ensemble G₁ comme suit:

{f₁, f₂, … , f₂ⁿ} → ��α₁,α₂, … ,α_p�,�β₁,β₂, … ,β_q� �

De même un classement de l’ensemble E₂ selon la parité de T_n¹(f_r) est le suivant :

{f₁₊₂ⁿ, f₂₊₂ⁿ, … , f₂ⁿ⁺¹}→ ��α₁+ 2ⁿ,α₂+ 2ⁿ, … ,α_p+ 2ⁿ�,�β₁+ 2ⁿ,β₂+ 2ⁿ, … ,β_q+ 2ⁿ� � On cherche à déterminer les expressions des coefficients caractéristiques relatifs de la fonction d’ordre n+1 de Collatz : Tⁿ⁺¹

On sait que :

Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + fk) = Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + bk) = T¹�Tⁿ(2ⁿ⁺¹a + bk)�

= T¹�Tⁿ(2ⁿ(2a) + bk)�

= T¹�Tⁿ(2ⁿA + bk)� avec A = 2a = T¹�3^Mn−1(bk) A + T_n¹(bk)�

= T¹�3^Mn−1(bk) 2a + T_n¹(bk)�

L’expression de T¹�3^Mn−1(bk) 2a + T_n¹(bk)� dépend de la parité de T_n¹(bk) comme suit : Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k) =�3^Mn−1(bk)a + T_n+1¹ (b_k) si Tⁿ(b_k) est pair

3^Mn−1(bk)+1a + T_n+1¹ (bk) si non Équivaut à:

Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k) =�3^Mn−1(bk)a +1

2 Tⁿ¹(bk) si Tⁿ(bk) est pair 3^Mn−1(bk)+1a +3

2 Tⁿ¹(b_k) +1

2 si non On peut effectuer les changements suivants:

-si Tⁿ(b_k) est pair on remplace Tⁿ⁺¹(b_k) par Tⁿ⁺¹(α_k) et M_n−1(b_k) par u_k. -si Tⁿ(bk) est impair on remplace Tⁿ⁺¹(bk) par Tⁿ⁺¹(β_k) et Mn−1(bk) par vk. Ceci nous permet d’écrire :

Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k) =�3^uka +1

2 T^ns1(α_k) si Tn1(bk) est pair 3^vk+1a +3

2 T^ns1(β_k) +1

2 si non De même on peut écrire:

Tⁿ⁺¹�2ⁿ⁺¹a + f_(k+2ⁿ₎�= Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + 2ⁿ+ b_k) = T¹�Tⁿ(2ⁿ⁺¹a + 2ⁿ+ b_k)�

= T¹�Tⁿ(2ⁿ(2a + 1) + bk)�

= T¹�Tⁿ(2ⁿA + b_k)� avec A = 2a + 1 = T¹�3^Mn−1(bk) A + T_n¹(b_k)�

= T¹�3^Mn−1(bk) 2a + 3^Mn−1(bk)+ T_n¹(b_k)�

Cette dernière expression dépend de la parité de Tn1(bk) comme suit Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + 2ⁿ+ bk) =

⎩⎨

⎧3^Mn−1(bk)a +1

2 3^Mn−1(bk)+1

2 Tⁿ¹ (bk) si Tn1(bk) est impair 3^Mn−1(bk)+1a +3^Mn−1(bk)+1

2 +3

2 Tⁿ¹ (b_k) +1

2 si Tⁿ¹(b_k) est pair De même on peut effectuer les changements suivants selon la parité de T_n¹(bk)

Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + fk+2ⁿ) =�3^vka +1

2 3^vk+1

2 Tⁿ¹ (β_k) si Tn1(bk)est impair 3^uk+1a +3^uk+1

2 + 3

2 Tⁿ¹ (α_k) +1

2 si Tⁿ¹(bk) est pair On fait regrouper les résultats trouvés ci-dessus pour chaque condition comme suit:

-Si T_n¹(b_k) est pair :

�Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k) = 3^uka +1

2 Tⁿ¹(α_k) Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k+2ⁿ) = 3^uk+1a +3^uk+1

2 + 3

2 Tⁿ¹ (α_k) +1 2 Dans ce cas, on cherche à exprimer Tⁿ⁺¹(N) en fonction de N, on pose:

�N1 = 2ⁿ⁺¹a1+ bk N2 = 2ⁿ⁺¹a2+ bk+2ⁿ

On peut déduire les expressions suivantes en remplaçant a₁ et a₂ par leurs expressions respectivement en fonction de N1 et de N2:

4.9 �Tⁿ⁺¹(N1) = 3^uk

2ⁿ⁺¹N1− 3^uk

2ⁿ⁺¹αk+1

2 Tⁿ¹(α_k) Tⁿ⁺¹(N2) =3^uk+1

2ⁿ⁺¹ N2−3^uk+1

2ⁿ⁺¹ αk+3

2 Tⁿ¹ (αk) +1

2 Comme le nombre des déterminants structurels qui vérifient la condition Tn1(bk) est pair est égal à p donc on peut déduire qu’on a :

-p coefficients caractéristiques relatifs qui s’écrivent sous la forme : 3^uk

2ⁿ⁺¹= 1 2

3^uk 2ⁿ

- p coefficients caractéristiques relatifs qui s’écrits sous la forme : 3^(uk+1)

2ⁿ⁺¹ =3 2

3^uk 2ⁿ -Si Tn1(bk) est impair :

�Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + b_k) = 3^vk+1a +3

2 Tⁿ¹(β_k) +1

2 Tⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹a + f_k+2ⁿ) = 3^vka +1

2 3^vk+1

2 Tⁿ¹ (β_k) Dans ce deuxième cas, l’expression de Tⁿ⁺¹(N) en fonction de N s’écrit comme suit :

4.10 �Tⁿ⁺¹(N1) =3^vk+1

2ⁿ⁺¹ N₁−3^vk+1

2ⁿ⁺¹ β_k+3

2 Tⁿ¹(β_k) +1 2 Tⁿ⁺¹(N2) = 3^vk

2ⁿ⁺¹N₂ − 3^vk

2ⁿ⁺¹β_k+1

2 Tⁿ¹ (β_k)

Comme le nombre des déterminants structurels qui vérifient la condition T_n¹(bk) est impair est égal à q donc on peut déduire qu’on a :

- q coefficients caractéristiques relatifs qui s’écrits sous la forme : 3^vk

2ⁿ⁺¹=1 2

3^vk 2ⁿ

- q coefficients caractéristiques relatifs qui peuvent s’écrire sous la forme : 3^(vk+1)

2ⁿ⁺¹ = 3 2

3^vk 2ⁿ

L’expression du coefficient caractéristique global de la fonction de Collatz d’ordre (n+1) s’écrit comme suit :

𝗞𝗞n+1 = �3^Mn(fr) 2ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺¹

r=1

=�3^Mn(fk) 2ⁿ⁺¹

2ⁿ k=1

�3^{Mn�fk+2n�} 2ⁿ⁺¹

2ⁿ k=1

=� 3^ui 2ⁿ⁺¹

p i=1

�3^(ui+1) 2ⁿ⁺¹

p i=1

� 3^vj 2ⁿ⁺¹

q j=1

�3^(vj+1) 2ⁿ⁺¹

q

j=1

= �3^u1

2ⁿ⁺¹x … x 3^up

2ⁿ⁺¹� �3^(u1+1)

2ⁿ⁺¹ x … x3^�up+1�

2ⁿ⁺¹ � �3^(v1+1)

2ⁿ⁺¹ x … x3^�vq+1�

2ⁿ⁺¹ � �3^v1

2ⁿ⁺¹x … x 3^vq 2ⁿ⁺¹� =3^(u1+⋯+up)x3^{(u1+1)+(u2+1)…+(up+1)}x3^(v1+⋯+vq)x3^{(v1+1)+(v2+1)…+(vq+1)}

(2ⁿ⁺¹)²ⁿ⁺¹

On peut déduire l’expression de Z_n+1 à partir de cette dernière expression comme suit : Z_n+1 = �M_n(f_r)

2ⁿ⁺¹ r=1

=�u_i

p i=1

+��v_j+ 1�

q j=1

+�(u_i

p i=1

+ 1) +�v_i

q

j=1

= 2��u_i

p i=1

+�v_j

q j=1

�+ p + q On sait que :

�u_i

p i=1

+�v_j

q j=1

= �M_n−1(b_k)

2ⁿ

k=1

= Zn

= 2ⁿ⁻¹ n De plus on a :

p + q = 2ⁿ Par conséquent :

Z_n+1= 2��u_i

p i=1

+�u_i

q i=1

�+ p + q = 2x2ⁿ⁻¹ n + 2ⁿ

= 2ⁿn + 2ⁿ = 2ⁿ(n + 1) On déduit que :

𝗞𝗞_n+1 = 3^Zn+1 2^(n+1)2n+1 =3^2n(n+1)

4^(n+1)2n