1.1 Cadre mathématique

1. Vecteurs

1.1 Cadre mathématique

B

D

C A

M

Bipoints

Segment, segment orienté

AB

Vecteur

Direction vectorielle, direction planaire o définition géométrique

1. Vecteurs

1.1 Cadre mathématique

o définition stricte

. .

1 2

n

u u u

u

 

 

 

 

=  

 

 

 

Vecteur

= liste de scalaires

(ses coordonnées)

..

1 1

2 2

n n

u v u v u v

u v +

 

 

 + 

+ =  

 

 + 

Espace vectoriel

{vecteurs de dimension n} muni de : addition et

multiplication par un scalaire

. ..

1 2

n

a u a u a u

a u

×

 

 

 × 

=  

 

 × 

1. Vecteurs

1.1 Cadre mathématique

addition multiplication par un scalaire

1. Vecteurs

1.1 Cadre mathématique

. .

n

u u u

u

 

 

 

 

= =

 

 

 

 

1 2

. . . ... .

...

... ... ...

u u u un

       

       

       

       

+ + + +

       

       

       

       

       

       

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

0

0 0 0 1

. 1.

Base dans un EV de dimension n

1. Vecteurs

1.1 Cadre mathématique

.

Base en dimension 2

i  

=  

  1

0 j  

=  

  0 1

i

   

=  

    1 0 0

j

   

=  

   

k

   

=  

   

1. Vecteurs

1.2 Définitions associées et propriétés

.

Relation de Chasles ^2.

AB BC AC + =

3.

Conséquence

B A

B A

B A

AB

x x

y y

z z

−

 

 

=  − 

 − 

 

En effet, grâce à la relation de Chasles :

A B B A

A B B A

A B B A

AB AO OB

− −

     

     

= + = −    +   = − 

 −     − 

     

x x x x

y y y y

z z z z

1. Vecteurs

1.2 Définitions associées et propriétés

.

Norme

u = u

+ + + u

... u

( ^{x x} ) ( ^{y y} ) ( ^{z z} )

= =

−

+

−

+

−

AB AB

Distance

exemples

1. Vecteurs

1.2 Définitions associées et propriétés

. 4. Dire que deux vecteurs et sont colinéaires , c’est dire qu’il existe un réel a non nul tel que

u v

. v = a u

Colinéarité

, ,

u v

−

   

   

=   = −  

   − 

   

2 6

1 5 et 4 5

1 3

1. Vecteurs

1.2 Définitions associées et propriétés

. 5.

Coplanarité

Dire que trois vecteurs , et sont coplanaires , c’est dire qu’il existe un couple (unique) (a, b) de réels non tous nuls tels que

u v

. .

w = a u + b v

w

6. Deux vecteurs forment une base du plan

ssi ils ne sont pas colinéaires.

Trois vecteurs forment une base de l’espace ssi ils ne sont pas coplanaires.

2. Calcul vectoriel

2.1 Produit scalaire

Produit scalaire

7.

1 i n

i i i

u v u v

=

=

⋅ = ∑

u ⊥ v ⇔ u v ⋅ = 0

Orthogonalité ^8.

9.

2. Calcul vectoriel

2.1 Produit scalaire

1 2

u u

u

 

=  

 

1 2

v v

v

=   

 

Leurs modules sont : Leurs arguments sont :

En notant ϕ ^l’angle

( ) ^{u v ,}

u

u u u

ρ = =

+

ρ

= v = v

+ v

( ) ^,

u

i u

θ = ^θ

⁼ ( )

.cos .sin

u u

u u

u u

ρ θ

ρ θ

=

 

 =

1 2

.cos .sin

1 2

v v

v v

v v

ρ θ

ρ θ

=

 

 =

( ) ( )

cos . cos sin . sin

cos .cos sin .sin cos

u u v v u u v v

u v u v u v u v v u

u v

ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ

ρ ρ θ θ θ θ ρ ρ θ θ

⋅ = +

= + = −

cos u v ⋅ = u × × v ϕ

On a et donc

2. Calcul vectoriel

2.1 Produit scalaire

Exemple 1

Angle de vecteurs

1 3

2 et 2

3 1

u v

   

   

=   =  

   

   

Exemple 2

2. Calcul vectoriel

2.2 Produit vectoriel

Produit vectoriel

10.

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

u v u v w u v u v u v u v u v

−

 

 

= ∧ =  − 

 − 

 

   

   

− ∧ =

   

   

   

2 1

1 3

5 2

Exemple

11.  − 

 

 

 

 

 

 

 

 − 

 

1 3 5 2 5 2 2 1 2 1

1 3

( )

− × − × −

   

   

=  × − ×   = 

 × − − ×   

   

1 2 5 3 17

5 1 2 2 1

2 3 1 1 7

2 1

2. Calcul vectoriel

2.2 Produit vectoriel

Colinéarité ^12.

   

   

∧ =

   

   

   

1 0

0 1

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

k

   

=   =

   

u v ⇔ u ∧ = v 0

i

∧ =

Sens direct :

cas général

u v ∧

u v

θ < π

2. Calcul vectoriel

2.2 Produit vectoriel

( ) ( )

u ⋅ ∧ = ⋅ ∧ = u v v u v 0

Orthogonalité

u ∧ ⊥ v u ; u ∧ ⊥ v v

13. cos cos

sin , sin

0 0

u u v v

u u v v

u v

ρ θ ρ θ

ρ θ ρ θ

   

   

=   = 

   

   

( )

sin cos cos sin sin

0 0

0 0

u v u v

v u v u v u

u v

ρ ρ ρ ρ

θ θ θ θ θ θ

 

 

 

 

∧ =   =  

 −   − 

   

sin

u ∧ = v u × v × ϕ

2. Calcul vectoriel

2.2 Produit vectoriel

u v ∧

u v

u v

u ∧ v

u v

u v ∧ u

v u

v

u ∧ v u

v

2. Calcul vectoriel

2.2 Produit vectoriel

Produit mixte

( ^{u v w ∧ ⋅} )

( ^{u v w ∧ ⋅ =} ) ^{0 ⇔ u v w , ,} coplanaires u ∧ v

u v

w

2. Calcul vectoriel

2.3 Applications géométriques

Aire du parallélogramme

A

B D

H C

14.

A (ABDC) = AC×BH, donc AC×AB×|sin ( ^{AC AB ,} ) |, soit ^{AB ∧ AC}

2. Calcul vectoriel

2.3 Applications géométriques

Volume du parallélépipède

( ^{AB AC AS ∧} ) ^⋅

V

3. Champs et opérateurs

3.1 Définitions

Champ scalaire

( )

( ^{, ,} )

M f M

f x y z

=

֏

( ) ( )

( )

( )

, , , , , , M V M

P x y z Q x y z R x y z

 

 

= 

 

 

֏

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

ex :

f (M) = x

y / z

Gradient 15.

( ) ^M

f x x

f f f f

y y

z f z

∂

 

 ∂ ∂   ∂ 

 

 

 ∂  ∂

= ∇ =   ∂   =   ∂  

∂  ∂ 

 

∂

   ∂ 

grad

xy z f x

z x y

z

 

 

 

=  

 

−

 

 

2

2

2

2

grad

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

ex : champ de températures :

f (M) = 300.ln(xy) /(z+1) (K) x,y,z (km)

Gradient

( )

( )

( )

ln

2

1

1 300 1

1 1 x z

f y z

xy z

 

 

 + 

 

=  + 

−

 

 + 

 

grad

Soit A(3,2,1).

( )

ln 50

A 75

75 6 f

 

 

=  

 − 

 

grad

température en A :

f ( A ) = 300.ln(6) /2

≈ 268,8 K

augmentation de température en A :

( )

( )

, ,

2

1 1

A

25 4 9 9 6

161 8 K.km 0 1618 K.m f

− −

= + +

≈ ≈

grad

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

ex : Divergent

16.

V V

x P

P Q R

y Q x y z

R z

 ∂ 

∂

   

∂ ∂ ∂

 ∂   

= ∇ ⋅ =    ∂ ∂        ⋅   = ∂ + ∂ + ∂

∂

 

div

( ) ( ) ( ) ( )

M V M M M P Q R

 

 

=  

 

 

( )

.sin .ln V M

x yz

x y

xyz

 

 

=

 

 

sin

V x

yz xy

= + + y

div

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

ex : champ de vitesses de vents : Divergent

Soit A(-1,1,2).

vitesse en A : divergent en (flux sortant autour de) A :

( )

3

2 2

V M

x y z

z y x

yz z

 − 

 

=  + − 

 − 

 

( )

(

)

V M = 3 x y + 2 y + − = y 1 3 y x + − 1 1 div

( )

3

V A 6

0

−

 

 

=  

 

 

( )

, ¹

V A 3 5 6 71 m.s⁻

=

≈

x,y,z (km) P,Q,R (m.s^-1) en m.s^-1 par km

( ) ^. ( ( )

)

V A = 3 1 − 1 + − = 1 1 5 m.s .km

div

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

Rotationnel 17.

V V

R Q

y z

x P

P R

y Q z x

R Q P

z x y

∂ ∂

 

 − 

 ∂ ∂   ∂ ∂ 

   

∂ ∂

 

 ∂   

= ∇ ∧ =     ∂ ∂ ∂         ∧    =     ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂      rot

ex :

2 2

V

xyz x y

x z

 

 

=  + 

 

 

( )

0

V 2

1

x y z xz

 

 

=  − 

 − 

 

rot

3. Champs et opérateurs

3.2 Opérateurs différentiels du 1

ordre

ex : champ de vitesses d’un écoulement laminaire (section longitudinale, variation de profondeur) Rotationnel

Soit A(3,2,z).

vitesse en A :

rotationnel en A :

( )

(

) (

)

V M 1

0

y x

y x

+ +

 

 

 − 

=  + 

 

 

x,y,z (m) P,Q,R

(m.s^-1)

( )

( )

0

V 0

2 1

y x

x

=

− +

+ rot

( )

ln , 3 5 V A 0 5

0

 

 

= − 

 

 

( )

ln 0

V A 0

1 5

8

 

 

 

=  

 

−

 

 

rot

( )

, ¹

V A

4 854 m.s⁻

≈