Exercices sur les vecteurs (1) 1

(1)

Exercices sur les vecteurs (1)

1 Soit DEF un triangle quelconque.

On note P et Q les points définis par DP 3EF

et DQ ²EF

 3

 

. Démontrer que les points D, P, Q sont alignés.

2 Soit ABCD un parallélogramme.

On note I et J les points définis par AI2AD

et BJ2AB AD  . 1°) a) Démontrer que l’on a : CI BD

. b) Démontrer que l’on a : CJ 2BD

. 2°) En déduire que les points C, I, J sont alignés.

3 Soit ABC un triangle quelconque.

On note M et N les points définis par AM2AB AC 

et AN AB ¹AC

  2

  

. Démontrer que les points A, M, N sont alignés.

4 Soit DEF un triangle.

On note M et N les points définis par DM ³DE DF

 4 

  

et DN ³DE 2DF

 2 

  

. Démontrer que les points D, M, N sont alignés.

5 Soit IJKL un parallélogramme.

On note M et N les points définis par IM4IJ

et LN2JK 5IJ 

. 1°) a) Démontrer que l’on a : KM3 IJ JK 

. b) Démontrer que l’on a : KN 6 IJ2 JK

. 2°) Démontrer que les points K, M, N sont alignés.

On note M et N les points définis par AM3 AC AB 

et AN  BC AC . Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.

(On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer MN  MA AN .)

On note M et N les points définis par AM BC ¹AC

 2

  

et AN2AB 3BC 

. Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.

(On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer MN  MA AN .)

On note E et F les points définis par AE3BC 2AB 

et CF2BC

. Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

(On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer EF   EA AC CF  .)

(2)

9 Soit IJK un triangle quelconque.

On note R et S les points définis par JR2JK IJ

et IS2IK 3IJ 

. Démontrer que les droites (IJ) et (RS) sont parallèles.

(On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer RS   RJJI IS .)

On note M et N les points définis par AM AB 3BC 

et BN2AB BC  . Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.

(On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer MN   MAAB BN .) 11 Soit RSTU un parallélogramme.

On note M et N les points définis par SM ¹RS RU

 2 

  

et RN 3RU ¹RS

 2

  

. Démontrer que les points M, S et N sont alignés.

Indication : Exprimer SN

en fonction de RS

et de RU

.

12 Soit A et B deux points du plan.

On note M le point tel que 3MA MB   0 . Exprimer AM

en fonction de AB

.

13 Soit A et B deux points du plan.

On note M le point tel que 3MA 2MB  0 . Exprimer AM

en fonction de AB

.

(3)

Corrigé

disposition des points pour les figures

9

IJK : triangle quelconque

JR2JKIJ

  

IS2IK 3IJ

  

I J K

S R

Démontrons que les droites (IJ) et (RS) sont parallèles.

RSRJJI IS

   

 2JK  IJ JI 2IK 3IJ   

 ^{2 JI IK}







IJ JI 2IK 3IJ  

     

 3IJ

Donc RS



et IJ



sont colinéaires.

Par suite, (IJ) et (RS) sont parallèles.

(4)

10

ABC : triangle quelconque

AMAB 3BC

  

BN2AB BC

  

C

N

M A B

Démontrons que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.

MNMAAB BN

   

 AB 3BC AB 2AB BC      2AC

Donc MN

et AC

sont colinéaires.

Par suite, (MN) et (AC) sont parallèles.

(5)

11

RSTU : parallélogramme SM 1RS RU

 2 

  

RN 3RU 1RS

 2

  

Démontrons que les points M, S et N sont alignés.

U T N

M R S

12

3MA MB   0

Exprimons AM

en fonction de AB

.

3MA MB   0 4MA AB   0

AM 1AB

  4

 

13

3MA 2MB  0

Exprimons AM

en fonction de AB

.

3MA 2MB  0 3MA 2BM  0 MA 2BA 0

   AM 2AB

 