Vecteurs 1

GÉOMÉTRIE

1

Vecteurs

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre

◮ Connaître les propriétés du parallélogramme

◮ Lire les coordonnées d’un point

◮ Additionner et soustraire des nombres relatifs

◮ Reconnaître une situation de proportionnalité

Auto-évaluation

Des ressources numériques pour préparer le chapitre surmanuel.sesamath.net

@

1 Lire les coordonnées des points suivants.

1)A 3)C 5)O 7)J

2)B 4)D 6)I

+I J+

O +B

+A

C+ D+

+E

2 Calculer mentalement.

1)3−5+6−(−7) 3)3−3×(−2) +2 2) −4+3

−4−(−5) 4)5+ (−3−2)

−3−(−4)

3 Dans chaque cas, peut-on affirmer queABCDest un parallélogramme ?

1) AB=CD

2) AB=CDetAD=BC 3) AB=CDet(AB)//(CD) 4)[AC]et[BD]ont même milieu

4 Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

−2 3 5 3

3 5

√2 2 −6 3 3 −4, 5 3

4 4

3 1 √

2 1 0, 5

➤➤➤

Activités d’approche

ACTIVITÉ 1 Patinage mathématique

L’entraîneur (un brin facétieux) de Ryan Gou- gère (troisième au championnat de troisième district inter-cantonal de patinage artistique) lui demande de travailler un mouvement.

Il le lui décrit de la façon suivante :

• La partie de ton corps, située enA doit finir enB.

• Tout pointC de ton corps doit finir en un point Dtel que les segments[AD]et [CB]

aient le même milieu.

A

B

1)Reproduire la figure puis construire Ryan Gougère en position après le mouvement.

2)Quel est ce mouvement mystérieux ?

N’y aurait-il pas une manière plus simple de décrire l’image du pointC?

ACTIVITÉ 2 Zellige

Cette activité consiste à étudier l’enchaînement de deux translations sur un damier de carreaux Zellige, un carrelage décoratif originaire de l’Antiquité Méditerranéenne et du Moyen Orient.

40 30 20 10

41 31 21 11

42 32 22 12

43 33 23 13

44 34 24 14

45 35 25 15

46 36 26 16

47 37 27 17

48 38 28 18

49 39 29 19

#»u

#»v ^#»r

w#»

#»s

#»t

1)Enchaînement 1

a) Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur^#»u?

b)Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur^#»v?

c) Émettre une conjecture sur la nature de la transformation correspondant à l’en- chaînement de ces deux translations.

On notera^#»u+^#»v les caractéristiques de cette nouvelle transformation.

2) Enchaînement 2

a)Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur^#»s?

b)Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur^#»t ?

c)Émettre une conjecture sur ^#»s+^#»t. 3) Enchaînement 3

a)Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur^#»v?

b)Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur^#»r?

c)Émettre une conjecture sur ^#»v+^#»r.

Activités d’approche

ACTIVITÉ 3 Sans carreaux

Tracer trois vecteurs et placer un pointAcomme sur la figure ci-dessous.

A×

#»u

#»v

w#»

1)Construire le pointCtel queAC^{# »}= ^#»v+^#»v. 2)Construire le pointBtel que

# »

AB= ^#»u+^#»v+w.^#»

DÉBAT 4 La Valette

L’île de Malte, de par sa position stratégique dans la mer Méditerranée, a fait l’objet de grandes convoitises et invasions avant d’obtenir son indépendance en 1964.

Théotime a été fasciné par ce mélange de cultures dès sa première visite de l’île et conseille le voyage à tous ses amis. Il se fait un plaisir de fournir à ceux qui le désirent le plan ci-dessous de La Valette, capitale de l’île. Il y a marqué d’une croix quelques sites à visiter :

• A: Musée Archéologique • C: Cathédrale Saint John • G: Musée de la guerre

• B: Lower Barraca Gardens • E: Église carmélite

Terminus des bus

Upper Barraca Gardens

×B

SaintFort Elmo

×G

×E

×A C× Mint street Bakery street

Republic street

Merchant street

Saint Paul street

Naïm veut visiter le musée d’archéologie, la cathédrale Saint John, Lower Baccara Gardens, le musée de la Guerre, l’église Carmélite dans cet ordre.

Naïm arrive à la Valette, au terminus des bus, avec le plan de Théotime et a la désagréable surprise de constater que le gouvernement maltais a remplacé tous les noms de rues en anglais par des noms maltais. Il n’arrive plus à se repérer.

1)Proposer une méthode pour repérer les sites sélectionnés par Naïm.

2)Proposer une méthode pour définir les déplacements entre chacun des sites.

Activités d’approche

ACTIVITÉ 5 Coordonnées

Partie 1 : coordonnées d’un vecteur

1)Construire un repère(O;I,J). On noteraOI^{# »}= ^#»ı etOJ^{# »}= ^#». 2)Placer dans ce repère les pointsM,P,Rtels que :

a)OM^{# »}=2^#»ı b)OP^{# »}=3^#» c)OR^{# »}=2^#»ı +3^#»

3)Quelles semblent être les relations entre les égalités vectorielles et les coordonnées des points ? 4)Placer dans le repère le pointNde coordonnées(−5; 1).

5)Donner une égalité vectorielle liantON,^{# » #»}ı et^#».

6)On considère un point quelconqueEde coordonnées(x_E;y_E).

Donner une égalité vectorielle liantOE,^{# » #»}ı et^#».

Les coefficients obtenus dans la décomposition du vecteurOE^{# »}

en fonction des vecteurs^#»ı et ^#» sont appelés coordonnées du vecteurOE.^{# »} Partie 2 : coordonnées de deux vecteurs

Compléter la figure de la partie1_.

1)Placer le pointStel queOM^{# »}= ^{# »}NS. Lire les coordonnées du pointS.

2)Conjecturer une relation liant les coordonnées des pointsM,N,S.

3)Conjecturer une relation liant les coordonnées de deux vecteurs égaux.

ACTIVITÉ 6 Opérations

Partie 1 : coordonnées d’une somme

1)Dans un repère(O;I,J), placer les points suivants.

• A(1; 5) • B(−4; 2) • C(−2;−1) • D(1;−2) • E(4; 2) 2)Construire les pointsR,SetTtels que :

a)AR^{# »}=AB^{# »}+^{# »}AC b)^{# »}AS=ED^{# »}+DB^{# »} c)CT^{# »}=BC^{# »}+ED^{# »} 3)Lire les coordonnées des vecteurs suivants :

a)AR^{# »} b)AB^{# »} c)AC^{# »} d)^{# »}AS e)ED^{# »} f)DB^{# »} g)CT^{# »} h)BC^{# »} i) ED^{# »} 4)Quelles relations lient les coordonnées du vecteur^#»u+^#»v à celles des vecteurs^#»uet ^#»v? Partie 2 : vecteurs colinéaires

On considère un repère(O;I,J).

1)Soit ^#»u −1 4

!

et ^#»v 5 2

!

. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

a)w^#»=2^#»u b)^#»t =−3^#»v c) ^#»z =2^#»u−3^#»v 2)Un cas simple et pratique

a) Placer un vecteurAB^{# »}de coordonnées 2 3

!

et un vecteurCD^{# »}de coordonnées 4 6

! . b)Que peut-on dire de ces coordonnées ?

3)Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont colinéaires ?

• ^#»a −6 3

!

• ^#»b 0 5

!

• ^#»c 8

−4

!

• ^#»d 3 0

!

• ^#»e 0 4

!

Cours - Méthodes

1. Translations - Vecteurs associés

DÉFINITION :Translation

On considère deux pointsAetBdu plan.

On appelletranslation qui transformeAenBla transformation qui, à tout pointMdu plan, associe l’unique pointM^′tel que[AM^′]et[BM]ont même milieu.

A B

M M^′

≈

≈

∞

∞

\

\

A

B M

M^′

\

\

VOCABULAIRE:

Le pointM^′est appeléimagedu pointM.

On dit également queMest letranslatédeM^′.

REMARQUE:Unetransformationsert àmodélisermathématiquement un mouvement.

Lasymétrie centraleest la transformation qui modélise le demi-tour.

Latranslationest la transformation qui modélise le glissement rectiligne. Pour la définir, on indique la direction, le sens et la longueur du mouvement.

PROPRIÉTÉ

On considère quatre pointsA,B,CetD.

Dire que la translation qui transformeAenBtransformeCenD

équivaut à dire queABDCest unparallélogramme(éventuellement aplati).

PREUVE C’est la conséquence de la propriété : «un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu».

DÉFINITION :Vecteurs associés À chaque translation est associé unvecteur.

PourAetBdeux points, levecteur^{# »}ABest associé à la translation qui transformeAenB.

Lanotation « vecteurAB^{# »}» regroupe les trois informations la définissant : la direction (celle de la droite(AB)), le sens (deAversB) et la longueurAB.

Aest l’originedu vecteur etBsonextrémité.

DÉFINITION

Deux vecteurs qui définissent la même translation sont ditségaux.

Deux vecteurs égaux ont même direction ; même sens ; même longueur.

A/

B C/

D

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

# »

AB=CD^{# »}si et seulement siABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati).

MÉTHODE 1 Construire un vecteur Ex. 15 p. 12

Exercice d’application

Placer trois pointsA,BetCnon alignés.

Construire le pointDtel queCD^{# »}=AB.^{# »}

Correction

On construit le parallélogrammeABDC.

A B

C

D

REMARQUE:Une translation peut être définie par un point quelconque et son translaté.

Il existe donc uneinfinitéde vecteurs associés à une translation. Ils sont tous égaux.

Le vecteur choisi pour définir la translation est unreprésentantde tous ces vecteurs.

La translationne dépend pasdu représentant choisi pour la définir. On le note souvent^#»u. DÉFINITION :Vecteur nul

Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui-même est levecteur nul, noté^#»0 . Ainsi,AA^{# »}=BB^{# »}=CC^{# »}=. . .= ^#»0

DÉFINITION :Vecteur opposé

Le vecteurBA^{# »}de la translation qui transformeBenAest appelévecteur opposéàAB.^{# »} NOTATION:

Le vecteur opposé àAB^{# »}se note−^{# »}ABet on a l’égalitéBA^{# »}=−AB.^{# »} La notation←−

ABn’existe pas.

REMARQUE:

Deux vecteursopposésont même direction, même longueur mais sont de sens contraires.

2. Opérations sur les vecteurs A. Additions

PROPRIÉTÉ :Enchaînement de translations

L’enchaînement de deux translations est également une translation.

PROPRIÉTÉ :Relation de Chasles SoitA,B,Ctrois points.

L’enchaînement de la translation de vecteurAB^{# »}puis de la translation de vecteurBC^{# »} est la translation de vecteur^{# »}ACet on a :^{# »}AB+BC^{# »}= ^{# »}AC.

REMARQUE:AB^{# »}+BA^{# »}= ^{# »}AA= ^#»0 . PROPRIÉTÉ

Soit^{# »}ABetCD^{# »}deux vecteurs. Alors :

# »

AB+CD^{# »}=CD^{# »}+AB^{# »} AB^{# »}+^#»0 = ^{# »}AB

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ :Propriété du parallélogramme

SoitA,B,C,Dquatre points.

Dire queAD^{# »}=AB^{# »}+AC^{# »}équivaut à dire que ABDCest un parallélogramme.

# » AB

# » AC

# » AB

+

# » AC B

A

C

D

PREUVE

On suppose queAD^{# »}=AB^{# »}+AC.^{# »}

On utilise la relation de Chasles pour décomposer^{# »}AD:AD^{# »}=AC^{# »}+CD^{# »}=AB^{# »}+AC.^{# »} On ajouteCA^{# »}aux deux membres de l’égalité :CA^{# »}+AC^{# »}

| {z }+CD^{# »}= AB^{# »}+AC^{# »}+CA^{# »}

| {z }. On utilise à nouveau la relation de Chasles avecCA^{# »}+AC^{# »}= ^#»0 etAC^{# »}+CA^{# »}= ^#»0 .

Donc, la relation de départ est équivalente à :CD^{# »}= ^{# »}ABetABDCest un parallélogramme.

MÉTHODE 2 Construire la somme de deux vecteurs Ex. 21 p. 13 On remplace l’un des deux vecteurs par un représentant :

• soit de même origine afin d’utiliser la règle du parallélogramme ;

• soit d’origine l’extrémité de l’autre afin d’utiliser la relation de Chasles.

Exercice d’application

1)Construire un carré ABCD de centreO.

2)Construire les vecteurs

#»u = ^{# »}AB+OD^{# »}et

#»v = ^{# »}AD+OC^{# »}

Correction

A B

C D

#» O u

Avec la relation de Chasles

A

A B

C D

O

#»v

Avec la règle du parallélogramme REMARQUE:AB^{# »}+AC^{# »}= ^#»0 si et seulement siAest le milieu du segment[BC].

B. Soustraction

DÉFINITION

Soustraire un vecteur, c’est additionner son opposé.

Exemple

Soit trois pointsA,BetCnon alignés.

Donner un représentant du vecteur

#»u = ^{# »}AB−^{# »}AC.

Correction

#»u= AB^{# »}−AC^{# »}

#»u= AB^{# »}+CA^{# »}

#»u=CA^{# »}+^{# »}AB

#»u=CB^{# »}en utilisant la relation de Chasles.

Cours - Méthodes

3. Coordonnées d’un vecteur

DÉFINITION

Dans un repère(O;I,J), on considère la translation de vecteur ^#»u qui translate l’origineOen un pointMde coordonnées(a;b).

Lescoordonnées du vecteur^#»usont les coordonnées du pointM.

On a ^#»u =OM^{# »}et on note^#»u a b

!

. ⁺a

b+

O

#»u

+I J+

+M

PROPRIÉTÉ

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces vecteurs ont les mêmes coordonnées.

PROPRIÉTÉ

Dans un repère(O;I,J), les coordonnées du vecteur^{# »}ABsont x_B−x_A y_B−y_A

! .

PREUVE SoitA,BetMde coordonnées respectives(x_A;y_A),(x_B;y_B)et(x_M;y_M)dans un repère(O;I,J)tels queOM^{# »}= ^{# »}ABetOMBAest un parallélogramme.

Donc[AM]et[OB]ont même milieu.















x_A+x_M

2 = x_B+x_O 2 y_A+y_M

2 = y_B+y_O 2

soit

( x_A+x_M=x_B y_A+y_M=y_B soit

( x_M=x_B−x_A y_M=y_B−y_A

MÉTHODE 3 Lire les coordonnées d’un vecteur Ex. 38 p. 15 Exercice d’application

Lire les coordonnées du vecteur ^#»u sur la figure ci- dessous.

/I

− J

#»u

Correction

/I J−

#»u

+4

−3

Les coordonnées de^#»usont 4

−3

! .

MÉTHODE 4 Construire un vecteur à partir de ses coordonnées Ex. 42 p. 15 Exercice d’application

Dans un repère orthonormé, construire le représentant d’origineA(6; 2)du vecteur

#»ude coordonnées −4 3

! .

Correction

+I + J O

−4 +3 ^#»u

+A

Cours - Méthodes

MÉTHODE 5 Repérer un point défini par une égalité vectorielle Ex. 44 p. 15 Exercice d’application

Dans un repère ortho- gonal (O;I,J), on a les pointsA(−2; 3),B(4;−1) etC(5; 3).

Calculer les coordonnées 1)du vecteurAB^{# »}; 2)du point D tel que

# » AB=CD.^{# »}

Correction

1)Les coordonnées du vecteur ^{# »}ABsont x_B−x_A y_B−y_A

!

soit 4−(−2)

−1−3

! .

Donc^{# »}ABa pour coordonnées 6

−4

! .

2)On cherche(x_D;y_D), les coordonnées du pointDtel queAB^{# »}=CD.^{# »} Or, « si deux vecteurs sont égaux alors ils ont mêmes coordonnées».

Donc le couple(x_D;y_D)est la solution du système : ( x_D−x_C=x_B−x_A

y_D−y_C=y_B−y_A soit

( x_D−5=6 y_D−3=−4 soit

( x_D =6+5=11 y_D =−4+3=−1 Les coordonnées du pointDsont(11;−1).

PROPRIÉTÉ :Somme de deux vecteurs

Si^#»u et^#»v sont deux vecteurs de coordonnées respectives x y

! et x^′

y^′

! , alors les coordonnées du vecteur^#»u+^#»v sont x+x^′

y+y^′

! .

MÉTHODE 6 Repérer un point défini par une somme vectorielle Ex. 50 p. 16 Exercice d’application

Dans un repère orthogo- nal (O;I,J), on place les points A(2; 3), B(4;−1), C(5; 3) et D(−2;−1).

Quelles sont les coordon- nées du point E tel que

# »

AE= ^{# »}AD+CB^{# »}?

Correction

On cherche les coordonnées(x_E;y_E)du pointEtel queAE^{# »}=AD^{# »}+CB.^{# »} Donc le couple(x_E;y_E)est solution du système :

( x_E−x_A= (x_D−x_A) + (x_B−x_C) y_E−y_A= (yD−y_A) + (yB−y_C) soit

( x_E−2= (−2−2) + (4−5) y_E−3= (−1−3) + (−1−3) soit

( x_E−2=−5 y_E−3=−8 soit

( x_E=−5+2=−3 y_E=−8+3=−5 Les coordonnées du pointEsont(−3;−5).

4. Multiplication par un réel

DÉFINITION

Soit^#»uun vecteur de coordonnées(x;y)etλun réel. Lamultiplication de ^#»uparλest le vecteurλ^#»ude coordonnées(λx;λy).

MÉTHODE 7 Repérer le produit d’un vecteur par un réel Ex. 61 p. 17 Exercice d’application

Dans un repère orthogo- nal, construire le repré- sentant d’origine A(1; 4) du vecteur −0, 5^#»u avec

#»u 2

−3

! .

Correction

#»u a pour coordonnées 2

−3

! . Donc −0, 5^#»u a pour coordonnées

−0, 5×2

−0, 5×(−3)

!

soit −1 1, 5

!

. ₊

1 1+

−1

+1, 5

−0, 5^#»u

#»u +A

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

Soient deux vecteursAB^{# »}etCD^{# »}etλun réel tels queAB^{# »}=λCD.^{# »} siλ>0,AB^{# »}etCD^{# »}sont de même sens etAB=λCD.

siλ<0,AB^{# »}etCD^{# »}sont de sens contraires etAB=−λCD.

REMARQUE:^#»uetλ^#»uont la même direction. Leurs sens et leurs longueurs dépendent deλ.

5. Colinéarité

DÉFINITION

On dit que deux vecteurs non nuls sontcolinéaires

si et seulement si leurs coordonnées dans un même repère sont proportionnelles.

REMARQUE:Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ^#»u. PROPRIÉTÉ

Deux vecteurs^#»uet ^#»v non nuls sont colinéaires lorsqu’il existe un réelλtel que^#»v =λ^#»u.

MÉTHODE 8 Vérifier la colinéarité de deux vecteurs Ex. 74 p. 18 Pour vérifier que deux vecteurs non nuls^#»u x

y

!

et ^#»v x^′ y^′

!

sont colinéaires, il suffit de : possibilité 1 trouver un réelλnon nul tel quex^′ =λxety^′=λy;

possibilité 2 vérifier que les produits en croix,xy^′etx^′y, sont égaux.

Exercice d’application

Soit (O;I,J) un repère orthogonal. Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? 1) ^#»u 2

6

!

et ^#»v −6

−18

! . 2)w^#» −5

3

!

et^#»z 12

−7

! .

Correction

1)−6=−3×2 et−18=−3×6 donc^#»v =−3^#»u.

#»u et^#»v sont donc colinéaires.

2)−5×(−7) =35 et 3×12=36.

Les produits en croix ne sont pas égaux.

Doncw^#»et ^#»z ne sont pas colinéaires.

PROPRIÉTÉ

Deux droites(AB)et(CD)sontparallèles

si et seulement si les vecteurs^{# »}ABetCD^{# »}sont colinéaires ;

Trois pointsA,BetCsontalignéssi et seulement si les vecteursAB^{# »}etAC^{# »}sont colinéaires.

Exemple

A(1; 2);B(3; 1)etC(5; 3) sont-ils alignés ?

Correction

On calcule les coordonnées des vecteursAB^{# »}et ^{# »}ACpuis les produits en croix : (x_B−x_A)(y_C−y_A) = (3−1)(3−2) = 2×1 = 2 et ainsi : (y_B−y_A)(x_C−x_A) = (1−2)(5−1) =−1×4=−4

Les coordonnées des vecteursAB^{# »}et^{# »}ACne sont pas proportionnelles.

DoncA,B,Cne sont pas alignés.

S’entraîner

Activités mentales

1 À partir de la figure ci-dessous,

1)donner les images des pointsC,D,Edans la transla- tion de vecteurAB^{# »};

2)citer trois vecteurs égaux au vecteur^{# »}AB;

3)citer les trois parallélogrammes définis par les trois égalités vectorielles du2.

+

+

+

+ +

+

+ + A

B

C

D E

Y Z X

2 La figure ci-dessous représente sept hexagones réguliers et numérotés.

1 2

3

4

5 6 7

A

B

C

D

E

Déterminer l’image :

1)de l’hexagone 1 dans la translation de vecteur^{# »}AC; 2)de l’hexagone 4 dans la translation de vecteur^{# »}AB; 3)de l’hexagone 7 dans la translation de vecteurDE.^{# »}

3 Compléter avec les lettres qui conviennent.

1)HL^{# »}=. . .^{# »}C+. . . .# » 3). . .^{# »}E= A^{# »}. . .+K^{# »}. . . 2)A^{# »}. . .=. . .^{# »}C+. . .^{# »}B 4)O^{# »}. . .=. . . .# »+. . .# »M

4 Calculer les coordonnées du vecteurAB^{# »}pour : 1) A(2; 5)etB(6; 7);

2) A(−1; 2)etB(−2;−3).

5 Lire les coordonnées des vecteurs.

1)^#»u 3)w^#» 5)^#»z

2)^#»v 4)^#»s 6)^#»g

+I + J O

#»u

#»v

#»g

#»s

#»z w#»

6 Lire les coordonnées des points et des vecteurs.

1)A 3)OC^{# »} 5)FC^{# »}

2)B 4)AE^{# »} 6)DO^{# »}

+I J+ O

+A +B +C

D+ E

+ F

+

7 Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées du vecteur^#»usont −2

3

!

, celles du pointA(5; 2).

Calculer les coordonnées du pointBtel que^{# »}AB= ^#»u. 8 Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées du vecteur^#»v sont 4

−5

!

, celles du pointA(1;−2).

Calculer les coordonnées du pointCtel queCA^{# »}= ^#»v. 9 Dans le plan muni d’un repère, on considère les pointsK(−2;−3),L(3;−4)etM(−1; 5).

Quelles sont les coordonnées du vecteurKL^{# »}+LM^{# »}?

S’entraîner

Translation et vecteurs associés

10 Reproduire la figure puis construire le translaté du triangleABCdans la translation de vecteurAB.^{# »}

A B

C

11 Construire un carréABCDde côté 5 cm et de centreO. Construire l’image de ce carré : 1)dans la translation de vecteurAB^{# »}; 2)dans la translation de vecteurAC^{# »}; 3)dans la translation de vecteurOB.^{# »}

12 Reproduire la figure ci-dessous et construire deux représentants du vecteur de la translation qui trans- formeAenB.

A+

+B

13 Reproduire la figure ci-dessous et construire deux représentants du vecteur de la translation qui trans- formeAenB.

A+

+B

+C

14 Reproduire la figure ci-dessous et construire trois représentants du vecteur de la translation qui trans- formeAenB.

A+

+B +C N+

15 MÉTHODE 1 p. 6

Construire un triangleABCrectangle enA.

Construire le représentant d’origineAdu vecteurBC.^{# »} 16 Construire un losangeABCD.

Construire le représentant d’extrémitéCdeBD.^{# »} 17 À partir de la figure ci-dessous, citer un vecteur : 1)opposé àCD^{# »};

2)de même direction et de même sens que^{# »}AC; 3)de même direction queBC^{# »}mais de sens contraire ; 4)égal au vecteurBA.^{# »}

A+

+B C+

+D

#»u

#»v

w#»

#»r

#»s

#»t

#»p m#»

18 Placer deux pointsAetBet tracer le vecteurAB.^{# »} 1)Construire un vecteur opposé àAB.^{# »}

2)Construire un vecteur de même direction et de même sens que^{# »}ABet qui n’est pas égal àAB.^{# »}

3)Construire un vecteur de même direction que ^{# »}AB mais de sens contraire et qui n’est pas égal àBA.^{# »} 19 Avec la figure de l’exercice 17 :

1)Placer les pointsE,F,Get H, images respectives du pointApar les translations de vecteurs suivants.

a)w^#» b)^#»v c)^#»p d)m^#»

2)Placer les points I, J,K et L, images respectives du pointBpar les translations de vecteurs suivants.

a)^#»r b)^#»u c)w^#» d)m^#»

3)En utilisant les lettres de la figure, a)citer deux vecteurs égaux àAB^{# »}; b)citer deux vecteurs opposés àAB.^{# »}

S’entraîner

Opérations sur les vecteurs

20 Un deltaplane se déplace suivant la translation de vecteur^#»upuis celle de vecteur^#»v.

1)Reproduire la figure ci-dessous.

2)Construire l’image du nouveau deltaplane dans sa position finale.

#»u ^#»v

21 MÉTHODE 2 p. 7 1)Reproduire la figure ci-dessous.

2)Construire les vecteurs suivants.

a)w^#»+^#»r b)^#»r+^#»v c)^#»v+w^#»

#»v

w#»

#»r

22 Même consigne qu’à l’exercice 21. 1)BC^{# »}+CD^{# »} 2)BA^{# »}+BC^{# »}

+A

B+

+C +D

23 Même consigne qu’à l’exercice 21.

1)AB^{# »}+CD^{# »} 2)BA^{# »}+EF^{# »} 3)CD^{# »}+FE^{# »}

A+

B+ +C

+D

E+ +F

24 Reproduire la figure ci-dessous et construire un représentant des vecteurs suivants.

1)^#»u+AB^{# »} 2)^#»v +CB^{# »} 3)w^#»+DE^{# »}

+A

B+

+C

+D

E+

#»u

#»v

w#»

25 Compléter les égalités en n’utilisant que les points de la figure ci-dessous.

1)IB^{# »}=. . .^{# »}A+A^{# »}. . . 3)D^{# »}. . .+C^{# »}. . .=. . .^{# »}B 2)HG^{# »}+. . .# »= HF^{# »} 4)E^{# »}. . .+. . .^{# »}E=. . .# » 5) A^{# »}. . .= A^{# »}. . .+B^{# »}. . .+CM^{# »}

6) FE^{# »}+. . .# »= ^#»0

A+

+B C

+ D+

+E F+ G+

+H I+ J+

26 Écrire le plus simplement possible.

1)BD^{# »}+DA^{# »} 4)BD^{# »}−BA^{# »} 2)BD^{# »}+^{# »}AA 5)BD^{# »}+AD^{# »}+BA^{# »} 3)BD^{# »}+DB^{# »} 6)BD^{# »}−BA^{# »}+DA^{# »}−DB^{# »}

27 Écrire le plus simplement possible.

1)MB^{# »}−MD^{# »} 4)BD^{# »}−MC^{# »}−BM^{# »}+DB^{# »} 2)CB^{# »}−CD^{# »}−BD^{# »} 5)MA^{# »}+EM^{# »}−CA^{# »}−EC^{# »} 3)BD^{# »}−BA^{# »}+^{# »}MA−^{# »}MD 6)−AU^{# »}+SH^{# »}−ST^{# »}+MU^{# »}

28 En utilisant le motif de l’exercice 25 : donner un vecteur égal à :

1)DE^{# »}+HI^{# »} 5)BC^{# »}+CB^{# »}+BC^{# »} 2)GF^{# »}+CB^{# »} 6)I J^#»+CF^{# »}+JC^{# »}+FE^{# »} 3)AJ^{# »}+IE^{# »} 7)AB^{# »}+EF^{# »}+DE^{# »} 4)BG^{# »}+GH^{# »} 8)HF^{# »}+ED^{# »}+CD^{# »}

S’entraîner

29 Vecteurs et représentants

+A

+B C+

1)Reproduire la figure ci-dessus.

2)Placer les pointsEetFtels que :

• CE^{# »}=BA^{# »} • FB^{# »}=BC^{# »}

3)Déterminer le représentant : a)du vecteurBC^{# »}d’origineA; b)du vecteurBA^{# »}d’extrémitéC.

4)Représenter les vecteurs ^#»uet ^#»v tels que :

• ^#»u =BC^{# »}+AC^{# »} • ^#»v =AB^{# »}−AC^{# »}

5)Quelle est la nature du quadrilatèreAEBF? Justifier.

30 Petites démonstrations SoitA,BetCtrois points.

1)Construire le pointDtel que^{# »}AB=CD.^{# »} 2)Construire le pointEtel queAB^{# »}=EC.^{# »} 3)Que peut-on dire du pointE? Justifier.

31 Dans un parallélogramme...

EFGHest un parallélogramme de centreO.

1)Construire les pointsSetTvérifiant :

• OT^{# »}=OE^{# »}+OF^{# »} • OS^{# »}=OG^{# »}+OH^{# »} 2)Démontrer queOT^{# »}+OS^{# »}=^#»0 .

Que peut-on en déduire ? 32 Dans un triangle rectangle...

SoitABCun triangle rectangle enA.

1)Construire les pointsDetEtels que :

• AD^{# »}=BA^{# »} • CE^{# »}=CB^{# »}+CD^{# »} 2)Quelle est la nature du quadrilatèreBCDE? Justifier.

33 Démonstration

Tous les résultats devront être démontrés.

1)Construire un parallélogrammeABCDde centreO.

NommerIle milieu de[OC].

2)ConstruireA^′le symétrique deApar rapport àD etO^′le symétrique deOpar rapport àB.

3) a)Démontrer queA^{# »′}C=DB.^{# »} b)Démontrer queDB^{# »}=OO^{# »′}.

c) En déduire queIest le milieu de[A^′O^′].

34 Reproduire la figure ci-dessous et construire les vecteurs suivants.

1)u^{# »}₁=w^#»−^#»r 3)u^{# »}₃ = ^#»v−w^#» 5)u^{# »}₅ = ^#»v −^#»r 2)u^{# »}₂= ^#»r −^#»v 4)u^{# »}₄ = ^#»r −w^#» 6)u^{# »}₆ =w^#»−^#»r 7)Quelles remarques peut-on faire ?

#»v

w#»

#»r

35 Même consigne qu’à l’exercice 34.

1)BC^{# »}−CD^{# »} 2)BA^{# »}−BC^{# »} 3)DA^{# »}−AB^{# »}

+A

B+

+C

D+

36 Même consigne qu’à l’exercice 34.

1)AB^{# »}−CD^{# »} 2)BA^{# »}−EF^{# »} 3)CD^{# »}−FE^{# »} 4)Que dire du quadrilatèreCFEO?

A+ B+

C+

+D

+E F+

37 Reproduire la figure ci-dessous.

On considère les vecteurs suivants.

• u^{# »}₁= ^#»u−AB^{# »} • v^#»₁= ^#»v−CD^{# »} • w^{# »}₁=w^#»−DE^{# »} Construire un représentant de :

1)u^{# »}₁d’origineE; 4)u^{# »}₁d’extrémitéC; 2)u^{# »}₂d’origineA; 5)u^{# »}₂d’extrémitéE; 3)u^{# »}₃d’origineC; 6)u^{# »}₃d’extrémitéA.

B+

A+ +C +D

E+

#»u

#»v

w#»

S’entraîner

Coordonnées d’un vecteur

38 MÉTHODE 3 p. 8

Lire les coordonnées des vecteurs suivants.

1)AB^{# »} 3)CA^{# »} 5)AE^{# »}

2)AC^{# »} 4)DE^{# »} 6)AF^{# »}

+I + J O

+A +B +C

+D E +

+F

39 Dans le repère(O;I,J)ci-dessous, 1)lire les coordonnées des points ;

2)calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

• AB^{# »} • BJ^{# »} • FA^{# »} • GF^{# »}

• AC^{# »} • BD^{# »} • F J^{# »} • BG^{# »}

3)Dans cette liste, quels vecteurs sont égaux ? Lesquels sont opposés ?

+I + J A+

+B

C+

D+

F+

G+

40 Lire les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère(O;I,J)ci-dessous.

1)AB^{# »} 3)CA^{# »} 5)AE^{# »}

2)AD^{# »} 4)DE^{# »} 6)CF^{# »}

O +

I

−

J A

+

+B +C

+D E

+ +F

41 Construire un repère(O;I,J)orthogonal.

1)Placer le pointA(−3; 4).

2)Construire un représentant du vecteur^#»u de coordonnées 4

−3

! . 3)Placer les pointsBetCtels que :

• AB^{# »}= ^#»u • CA^{# »}= ^#»u

4)Calculer les coordonnées des pointsBetC.

5)Que peut-on dire du pointA? Justifier.

42 MÉTHODE 4 p. 8

Construire un repère(O;I,J)et tracer deux représen- tants du vecteur^#»u −2

1

! ,

l’un d’origineIet l’autre d’extrémitéJ.

43 Coordonnées de vecteurs

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points A(1; 2),B(−2; 5)etC(−3;−3).

Calculer les coordonnées des vecteursAB,^{# »} CA^{# »}etBC.^{# »} 44 MÉTHODE 5 p. 9

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points E(2;−1),F(−3; 4)etG(1; 4).

Déterminer les coordonnées du point H pour que EFGHsoit un parallélogramme.

45 Parallélogramme

Dans un plan muni d’un repère, on considère les points A(3; 5),B(2;−1),C(−2;−4)etD(−1; 2).

Prouver queABCDest un parallélogramme.

46 Construire un repère(O;I,J)orthogonal.

1)Placer les pointsA(3;−9)etB(−1;−5).

2)Placer les points C et D tels que le quadrilatère ABCDsoit un parallélogramme de centreI.

3)Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants.

• AB^{# »} • DC^{# »} • ^{# »}AD

47 Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées des pointsAetBsont respectivement(5;−6)et(−2; 6).

Le pointAest le milieu de[BC].

Déterminer les coordonnées des vecteursAB^{# »}etCA.^{# »} 48 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points A,BetC respectivement de coor- données(1; 4),(4; 6)et(2; 3).

1)Quelles sont les coordonnées du point D tel que ABCDsoit un parallélogramme ?

2)Prouver queABCDest aussi un losange.

S’entraîner

49 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, les coordonnées des points A,BetDsont respectivement (−2; 5),(0; 9)et(8; 0).

1)Quelles sont les coordonnées du point C tel que ABCDsoit un parallélogramme ?

2)Prouver queABCDest aussi un rectangle.

50 MÉTHODE 6 p. 9

Le plan est muni d’un repère(O;I,J).

1)Lire les coordonnées des vecteurs ^#»u,^#»v etw.^#»

2)Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

a)^#»u+^#»v c) ^#»u+w^#»

b)^#»u−^#»v d)^#»u−w^#»

+I J+ O

#»u

#»v w#»

51 Reproduire la figure suivante et placer le pointB tel queAB^{# »}= ^#»u+^#»v.

Lire les coordonnées du vecteur^{# »}AB.

+I J+ O A+

#»u

#»v

52 Même consigne que l’exercice 51.

+I + J O

A+

#»u

#»v

53 Même consigne que l’exercice 51.

+I + J O

+A

#»u

#»v

54 Même consigne que l’exercice 51.

+I + J O +A

#»u

#»v

55 Reproduire la figure ci-dessous.

1)La compléter avec les points suivants.

• D(4, 2) • E(1;−2) • F(−3; 1) 2)Placer les pointsG,HetKtels que :

• AG^{# »}=CB^{# »}+CE^{# »}

• CH^{# »}=CA^{# »}+CF^{# »}

• BK^{# »}=AD^{# »}+CE^{# »} 3)Lire leurs coordonnées.

4)Les vérifier par le calcul.

+I J+ O A+

+B

+C

S’entraîner

56 Reproduire le graphique ci-dessous. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants et les représenter.

1)AB^{# »}+BC^{# »} 3)EF^{# »}+FA^{# »} 5)GB^{# »}−BD^{# »} 2)BE^{# »}+BC^{# »} 4)AB^{# »}+BA^{# »} 6)FG^{# »}−CG^{# »}

+I +

J

O A+

+B

C+

D+

E+

F+

+G

57 Construire un repère orthogonal.

1)Placer les points suivants.

• A(−2; 3) • C(3; 2) • E(−3; 1) • G(2; 3)

• B(−1;−2)• D(4;−2) • F(3;−3) • H(5; 1) 2)Construire le vecteurAB^{# »}et un représentant de−AB.^{# »}

Lire leurs coordonnées.

3)Construire un représentant de chacun des vecteurs suivants et lire leurs coordonnées.

a)AB^{# »}−CA^{# »} b)^{# »}AB−^{# »}AC c)EF^{# »}−GH^{# »} 58 Dans le plan muni d’un repère, ^#»u et ^#»v ont pour coordonnées respectives 2

−3

!

et −1 5

! . Calculer les coordonnées dew,^#» m^#»et ^#»z tels que :

• ^#»u+w^#»= ^#»v • ^#»u−m^#»= ^#»v • ^#»z −^#»u = ^#»v 59 Construire un repère orthogonal.

1)Placer les points suivants.

• A(0; 0) • C(2;−3) • E(−3; 1) • G(1; 5)

• B(1;−2) • D(−5;−4)• F(3;−3) • H(−7;−2) 2)Construire un représentant des vecteurs suivants et

lire leurs coordonnées.

• Le vecteur qui, ajouté àDC, donne^{# »} DA.^{# »}

• Le vecteur qui, ajouté àEF, donne^{# »} EH.^{# »}

• Le vecteur qui, ajouté àBC, donne^{# »} GH.^{# »}

• Le vecteur qui, ajouté à−^{# »}AB, donneEF.^{# »} 60 Construire un repère orthogonal.

1)Placer les points suivants.

• A(−2; 2) • D(4; 0) • F(2;−2)

• C(3; 3) • E(−2; 0)

2)Calculer les coordonnées des pointsB,G,HetKqui vérifient les relations vectorielles suivantes.

• AC^{# »}+AB^{# »}=AD^{# »} • AH^{# »}−CD^{# »}=EF^{# »}

• AG^{# »}+CD^{# »}=EF^{# »} • K A^{# »}+KC^{# »}=AD^{# »}

Multiplication par un réel

61 MÉTHODE 7 p. 9 1)Reproduire la figure.

2)Construire les vecteurs^#»u,^#»v etw^#»tels que :

• ^#»u =2AB^{# »} • ^#»v =−3BC^{# »} • w^#»=0, 5AB^{# »} 3)Lire leurs coordonnées.

4)Les vérifier par le calcul.

+I J+

O

A+

+B

C+

62 Même consigne qu’à l’exercice 61 avec :

• ^#»u = 3 4

# »

BC • ^#»v =−1 2

# »

AB • w^#»= 2 5

# » AB

+I J+

O A+

+B

C+

63 Dans le plan muni d’un repère, le vecteur^#»ua pour coordonnées −1

6

! .

Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

1)3^#»u 2)−4^#»u 3)2

3^#»u 4)−4, 5^#»u 64 Dans le plan muni d’un repère d’origine O, on considère les pointsP(−3;−1)etR(2; 3).

Quelles sont les coordonnées du point N qui vérifie l’égalitéON^{# »}=4PR^{# »}?

65 Dans un repère, on considère les pointsAetBde coordonnées respectives(3;−4)et(−1; 2). Quelles sont les coordonnées deCtel queAB^{# »}=−5^{# »}AC?

66 Dans un repère, on considère les points suivants : A 2

9; 6 25

! etB

−5 6; 9

20

.

Calculer les coordonnées deCtel que^{# »}AC= 15 2

# » AB.

S’entraîner

67 Dans le plan muni d’un repère, on considère les pointsE 5

6;−3 5

! etF

−1 8; 7

10

.

Quelles sont les coordonnées du pointGpour que l’égalitéEG^{# »}= 4

7

EF# »soit vérifiée ?

68 Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées des pointsA,BetCsont respectivement(3; 2),(9;−5) et(−9; 16). Ces points sont alignés.

Calculer le nombrektel queAB^{# »}=kAC.^{# »} 69 Points et vecteurs

Dans un repère, on considère les points suivants.

• A(3;−1) • B(−5; 5) • M(−1, 2) 1)Calculer les coordonnées des vecteurs^{# »}ABetAM.^{# »} 2)Montrer que^{# »}AM=λAB,^{# »} λréel à déterminer.

3)Que peut-on dire du pointM?

70 Soient les pointsA(3;−2),B(−1; 7),C(2; 3).

1)Calculer les coordonnées de 2AB+^{# »} BC.^{# »} 2)Soit le pointM(x;y)tel queBM^{# »}=2AB^{# »}+BC.^{# »}

Calculer les coordonnées du pointM.

71 Construction et calculs

Dans un repère on considère les points suivants.

• A(3;−2) • B(−1; 2) • C(2; 3) 1)Construire les vecteurs suivants.

a)AB^{# »} c)2^{# »}AB e)2BC^{# »}−4BC^{# »}

b)BC^{# »} d)1

2

# »

BC f) 3

5

# » CA 2)Vérifier leurs coordonnées par le calcul.

72 Dans un repère, on considère les points :

• A(−3; 2) • B(1;−3) • C(1; 2) 1)Déterminer les coordonnées des vecteursAB^{# »}etBC.^{# »} 2)Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

a)2AB^{# »} c)2BC^{# »}−4BC^{# »}

b)1 2

# »

BC d)3

4

# » AC 73 Avec des racines carrées

Dans un repère, on considère les points suivants.

• A(2√

2; 3) • C(√ 2;−3)

• B(2;−√

2) • D(3√

2;−√ 2)

Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

1)AB^{# »} 3)AD^{# »}

2)CA^{# »} 4)BD^{# »}

Colinéarité

74 MÉTHODE 8 p. 10

Dans le plan muni d’un repère, les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

1) ^#»u −2 3

!

et^#»v 3

−4, 5

!

2) ^#»s 7

−2

!

et^#»t 14 4

!

3) w^#» −2 3

!

et^#»r 3

−4, 5

!

75 Dans un repère orthogonal, placer les points :

• A(−3; 1) • B(1; 3) • C(1,−4) • D(7;−1) Les droites suivantes sont-elles parallèles ?

1)(AB)et(CD) 2)(AC)et(BD)

76 Dans un repère orthogonal, placer les points :

• A −1 3; 0

!

• B 2

3;1 3

• C 4

3;−1

• D

0;−2 3

Les droites suivantes sont-elles parallèles ? 1)(AB)et(CD)

2)(BC)et(AD)

77 Vérification de parallélisme ALGO

Proposer un algorithme qui vérifie que les droites(AB) et (CD)sont parallèles à partir des coordonnées des pointsA,B,CetDentrées par l’utilisateur.

78 Dans un repère, on considère les points S, E et L dont les coordonnées sont respectivement (2; 5), (−4;−3)et(5; 9).

Les pointsS,EetLsont-ils alignés ?

Si oui, quelle égalité vectorielle lieSE^{# »}etSL^{# »}?

79 Dans un repère orthogonal, les points M,Eet R ont pour coordonnées respectives :

• 2

3;−3 8

!

• 5

9;5 2

•

−7 6;7

6

Les pointsM,EetRsont-ils alignés ?

Si oui, quelle égalité vectorielle lieME^{# »}etMR^{# »}? 80 Vérification d’alignement ALGO

Proposer un algorithme qui vérifie que les pointsA,B etCsont alignés à partir de leurs coordonnées entrées par l’utilisateur.

S’entraîner

81 Dans le plan muni d’un repère, on considère les vecteurs suivants : ^#»u 2

4

!

et ^#»v −1 3

!

. Quelles sont les coordonnées du vecteur w^#» vérifiant l’égalité w#»=2^#»u−^#»v?

82 Le plan est muni d’un repère.

1)Placer les pointsV(−1;−1, 5),A(−2; 0)etT(5; 0).

2)PlacerEtel queVA^{# »}= 2 3

# » VE.

3)PlacerUtel queTU^{# »}ait pour coordonnées −2 0, 5

! . 4)Que peut-on dire des droites(OU)et(ET)? Justifier.

83 Dans un plan muni d’un repère, on place les pointsA(1;−2),B(−3; 1),C(−17; 15)etD(−5; 6).

Montrer queABCDest un trapèze.

84 Dans un plan muni d’un repère, on place les pointsA(3;−2),B(−5; 4)etC(−2;−1).

1)Calculer les coordonnées de :

• B^′milieu de[AC]; • C^′milieu de[AB].

2)Prouver queC^{# »′}B^′= 1 2

# » BC.

3)Calculer les coordonnées deGvérifiantCG^{# »}= 2 3

# » CC^′. 4)Les pointsB,GetB^′sont-ils alignés ?

Si oui, déterminer le nombrektel queBG^{# »}=kBB^{# »′}. 85 Construire un triangleABC.

1)Placer les pointsM,PetN:

a)BM^{# »}=BA^{# »}+BC^{# »} c)MN^{# »}=2MC^{# »} b)MP^{# »}=2MA^{# »}

2)Prouver quePN^{# »}=2PB.^{# »}

Que peut-on en déduire pour les pointsA,BetC? 86 Placer trois pointsA,BetCdans un repère.

1)Représenter les vecteurs ^#»a et ^#»btels que :

• ^#»a =BC^{# »}+2AC^{# »} • ^#»b =3AB^{# »}−2CB^{# »} 2)Placer le pointDtel queAD^{# »}= ^#»a +AB.^{# »} 3)Placer le pointEtel queAE^{# »}= ^#»b−^{# »}AC.

4)Prouver queAD^{# »}=3AC.^{# »}

Que peut-on en déduire pour les pointsA,CetD? 5)Prouver queAB^{# »}=CE.^{# »}

Que peut-on en déduire pour le quadrilatèreABEC? 87 Soit I le milieu d’un segment [AB].

1)Que peut-on dire du vecteur^{# »}I A+IB^{# »}?

2)Démontrer que ^{# »}MI = 0, 5(MA^{# »}+MB)^{# »} pour tout point M.

88 Le petit chaperon rouge

Le petit chaperon rouge rend visite à sa mère-grand dans les bois. Il doit d’abord se rendre au village pour récupérer un pot de beurre puis passer par la clairière pour faire un bouquet de fleurs.

Dans un repère(O;I,J), on a représenté la maison du petit chaperon rouge par le pointD(−1;−2), le village par le pointV(2; 1), la clairière par le pointC(3; 0)et enfin la maison de mère-grand par le pointM(0;−3).

P^ARTIEA

1)Faire une figure qui sera complétée par la suite.

2)Calculer les coordonnées des vecteurs de déplace- ment du petit chaperon rouge :DV,^{# »} VC,^{# »} CM^{# »}etDM.^{# »} P^ARTIEB

1)Calculer les distances DV,VC,CMparcourues par le petit chaperon rouge depuis le village jusqu’à la maison de sa mère-grand, ainsi que la distanceDM correspondant au trajet direct.

2)Montrer que le quadrilatère DVCMsur lequel che- mine le chaperon rouge est un rectangle.

P^ARTIEC

Le grand méchant loup fait peur au petit chaperon rouge. Afin de sécuriser la forêt, un chasseur part à la recherche de la tanière du loup. Une vielle sorcière lui dit qu’elle se situe au pointTqui vérifie la relation

# »

CT=2CM^{# »}−V M^{# »}+3 2

# » DV.

On cherche maintenant les coordonnées du pointT.

1)Placer le pointTsur la figure en laissant les traits de construction apparents.

2)Calculer les coordonnées deCT.^{# »} 3)En déduire les coordonnées deT.

89 Vers la droite d’Euler

ABCest un triangle etA^′,B^′,C^′sont les milieux respec- tifs des côtés[BC],[AC]et[AB].

1)Appliquer la formule établie à l’exercice 87 aux vecteursAA^{# »′},BB^{# »′}etCC^{# »′}.

2)En déduire queAA^{# »′}+BB^{# »′}+CC^{# »′}= ^#»0 . 3)On noteGle centre de gravité deABC.

En déduire queGA^{# »}+GB^{# »}+GC^{# »}= ^#»0 .