I. Solution particulière de l’équation homogène

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

Résolution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2

Introduction

Dans ce problème, nous allons résoudre sur ]0,+∞[l’équation différentielle suivante x²(1−x)y⁰⁰−x(1+x)y⁰+y=2x³. (E)

I. Solution particulière de l’équation homogène

Dans cette première partie, on souhaite déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle homogène

x²(1−x)y⁰⁰−x(1+x)y⁰+y=0. (H)

associée à (E). On considère une suite de nombres réels (a_n)_n∈Ntelle que la série entièreX

a_nxⁿait un rayon de convergencer>0. On définit la fonction f :]−r,r[→Rpar

∀x∈]−r,r[, f(x)=

+∞X

n=0

a_nxⁿ.

1. Justifier que f est de classeC²et que les fonctions f⁰et f⁰⁰ sont développables en série entière.

Exprimer avec (a_n)_n∈N les développements en série entière respectifs des fonctions f⁰et f⁰⁰ en précisant leur rayon de convergence.

2. Montrer qu’il existe une suite (b_n)_n>2de nombres réels non nuls telle que

∀x∈]−r,r[, x²(1−x)f⁰⁰(x)−x(1+x)f⁰(x)+f(x)=a₀+

+∞X

n=2

b_n(a_n−a_n−1)xⁿ.

3. Montrer quef est solution de (H) sur l’intervalle ]−r,r[ si et seulement sia₀=0 eta_n+1=a_npour toutn∈N^∗.

4. En déduire que sif est solution de (H) sur ]−r,r[, alorsr>1 et il existeλ∈Rtel que

∀x∈]−1, 1[, f(x)= λx 1−x. 5. Réciproquement, montrer que siλ∈R, alors la fonction

g:]−1, 1[→R, x7→ λx (1−x) est une solution de (H) sur ]−1, 1[ développable en série entière.

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II. Solutions de (E ) sur ]0, 1[ ou ]1, +∞ [

On désigne parIl’un des intervalles ]0, 1[ ou ]1,+∞[. Soity:I→Rune fonction de classeC². On définit la fonctionz:I→Rpar la relation

∀x∈I, z(x)= µ1

x−1

¶ y(x).

1. Justifier quezest de classeC²sur l’intervalleI, puis exprimerz⁰etz⁰⁰avecy,y⁰ety⁰⁰.

2. Montrer quey est solution de (E) surI si et seulement siz est solution surI de l’équation diffé- rentielle

xz⁰⁰+z⁰=2x. (E₁)

3. Montrer quezest solution de (E₁) surI si et seulement si il existeλ∈Rtel que

∀x∈I, z⁰(x)=λ x+x.

4. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) surI.

5. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) sur ]0,+∞[.

Fin

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