A50501. Triplet parfait
Un triplet parfait est formé de 3 entiers consécutifs dont chacun est somme de deux carrés parfaits non nuls. Pouvez-vous en trouver des exemples ? En construire des familles infinies ?
Solution
Une somme de deux carrés ne peut avoir 3 comme reste modulo 4 ; les 3 entiers ont donc pour restes 0, 1 et 2. Le premier de ces triplets est (72,73,74), le suivant (232,233,234).
Divers procédés en donnent des familles infinies. L’un recourt à l’équation de Fermat : siAn’est pas carré,x2 = 1+Ay2admet une infinité de solutions en entiers (x, y).
Prenons A = 2a2 −1 (A ne devant pas être carré, a n’appartient pas à la suite 1, 5, 29, 169, . . ., où la somme de 3 termes consécutifs est 7 fois le terme médian). Alors x2 = 1 +y2(2a2−1) donne les sommes
(ay)2+ (ay)2=x2+y2−1,x2+y2, (ay+ 1)2+ (ay−1)2=x2+y2+ 1.
Le triplet (a, x, y) = (2,8,3) fournit le premier exemple ci-dessus.
Celui-ci fait aussi partie (quand n= 2) de la famille polynômiale 2n4+ 4n3+ 2n2 = (n2+n)2+ (n2+n)2,
2n4+ 4n3+ 2n2+ 1 = (n2+ 2n)2+ (n2−1)2, 2n4+ 4n3+ 2n2+ 2 = (n2+n+ 1)2+ (n2+n−1)2.
