On prolonge (CD) à gauche. On place P (DP = BE). On trace [PA].
Angle PAF = 45°. PF = FE (triangles APF et AFE symétriques).
(k-y) + (k-x) = z, soit x+y+z = 2k. k = AB = 5.
En fait, la valeur du périmètre du triangle CEF est constante et vaut 10.
Diophante D1897 – Six preuves sans mots Q1 ABCD est un carré de côté AB = 5.
E est un point courant de BC, F sur CD et angle EAF = 45°
Quelle est la valeur maximale du périmètre du triangle CEF ?
x
y 45°
z
k-y
k-x k-y
P
Angles FEB = EDA. Les triangles DAE et EBF sont homothétiques (4/3).
Dans le triangle rectangle DCF, Pythagore donne:
k2 = 52/{12 + (13/16)2} = 256/17 = 15 + 1/17 L’aire du carré ABCD est environ 15.
Q2 ABCD est un carré dans lequel est inscrit le triangle pythagoricien DEF (3,4,5) avec E sur AB et F sur BC.
Quelle est l’aire du carré ABCD arrondie à l’entier le plus proche ?
3k/16 k
k
13k/16 k/4 3k/4
x
x
On trace (AC). On trace (DE) et (DF) faisant un angle x avec (DB).
CAB = BCA = 90°- 2x (BA = BC). (AC) et (DE) sont perpendiculaires en P.
AD = AE, DE = EB et DC = CF dans les triangles isocèles ADE, EDB et CFD.
ADFB étant un parallélogramme (angles DBC = BDA = 3x), FB = DA.
CF = CB – FB = AB – AE = EB. DP = DE/2 = DC/2. 6x = 60°.
x vaut 10°.
Q3 ABCD est un quadrilatère tel que BA=BC, angle ABD=x, angle ADB=3x, angle CBD=3x et angle BDC=5x.
Que vaut x en degrés ?
4x x
90°-2x
2x E
F 4xx
P 2x
On prolonge (BC) à droite et on place P (CP = AB). On trace (AP).
On trace (EC) parallèle à (AP). On place D (BD = AE).
Dans le triangle ABP, le théorème de Thales donne:
BC = x(x-2y)/2y. Soit BD BC = x(x-2y).
D’autre part, BE BA = (x-2y){(x-2y) + 2y} = (x-2y)x.
BD BC = BE BA, puissance de B par rapport au cercle demandé.
L’intersection des médiatrices de [DC] et [EA] donne le centre du cercle O.
Son rayon est par exemple OA.
Q4 Tracer à la règle et au compas le cercle (Γ) qui passe par les sommets A et C d’un triangle ABC et qui coupe les côtés BC et AB respectivement aux points D et E de sorte que AE = BD.
x P yy
x-2y 2y
O
z z
On trace la perpendiculaire [CP] à (BM).
On prolonge (AG) en bas à droite jusqu’en Q sur (BM).
(AQ) et (BM) sont perpendiculaires (angles CBA droit, BAD et CBM égaux).
Les triangles ABQ et BCP sont semblables (angles).
Les triangles CMP et DMQ sont égaux
(deux angles droits, angles PMC et QMD opposés, M milieu de [CD]).
DQ/BQ = CP/BQ = BC/AB. Les angles MBD et BAC sont égaux.
L’angle DBM vaut 25°.
Q5 ABCD est un quadrilatère dont l’angle en B est droit, M est le milieu du côté CD et l’angle BAD est égal à l’angle CBM. Si angle BAC = 25°, que vaut l’angle DBM?
P
Q
Soit O le centre du cercle. OQ = OP = OC = R.
On trace (BO), perpendiculaire à (CQ) car BC = BQ.
On trace [PQ], [PO] et [PC]. U, puis V et W sont des pieds de perpendiculaire.
D’une part, ks2 = BU s = UW = VO = VC – OC = UC c – OC = kc2 – R.
D’autre part, k = BC = CP c = 2Rc2.
Pythagore donne s2 = 1 – c2. Après élimination de c, (k/R)2 = (k/R) + 1.
k/R est le nombre d’or (1 + √5)/2 = 1,618… x = 25,913…°. R = CQ/2 = 5.
La longueur du côté BC est 8,090…
Q6 ABCD est un carré. Q est un point du quart de cercle de centre B et de rayon BC = 5 tel que le demi-cercle de diamètre CQ = 10 est tangent en P au côté AB. Quelle est la longueur du côté BC ?
x
x x
k
x x
O U
V
W kc
ks R
