C B
A
E D
F
Solution du Problème D171
1 — Ce premier triangle ABC a un angle obtus en A et l'angle en B est le double de l'angle en C. Le cercle circonscrit à ABC a pour centre O et rayon R = 1. On construit le triangle isocèle de base OB avec le sommet D situé du même côté que A par rapport OB et les angles DBO et DOB sont l'un et l'autre le triple de l'angle ACB. Sur le côté DB on trace le point E tel que DE = 1. Le point E est confondu avec l'orthocentre du triangle ABC.
Comment s'appelle ce curieux triangle ABC où l'on peut construire l'orthocentre sans avoir besoin de tracer les hauteurs ?
Solution. Ce triangle s’appelle ABC ! Il n’est pas si
“curieux” que cela, car lorsque l’on connaît le centre O du cercle circonscrit à un triangle quelconque, la propriété d’Euler permet de trouver l’orthocentre H en utilisant seulement le centre de gravité G et la re- lation
€
OH = 3 OG = OA+OB+OC.
(Ici, l’énoncé consiste à obtenir E en construisant :
€
OE =[(OC+OB)+(OA+OF)] – OF
)
Que vaut le carré de la distance OE ?Solution. Ce que ce triangle a de particulier, c’est que les points B, A, C sont trois sommets d’un hep- tagone régulier. C’est-à-dire qu’en les rapportant aux nombres complexes 1, e
2iπ/7, e
6iπ/7il vient :
OE
2= (1 + e
2iπ/7+ e
6iπ/7)(1 + e
–2iπ/7+ e
–6iπ/7)
= 3 + e
2iπ/7+ e
4iπ/7+ e
6iπ/7+ e
–2iπ/7+ e
–4iπ/7+ e
–6iπ/7= 2 , car la somme des racines septièmes de l’unité est nulle.
2 — Les côtés de ce deuxième triangle ABC ont les dimensions suivantes BC = 2009, AC = 2010 et AB = 2008. Soient O le centre du cercle circonscrit à ce triangle, D et E les mi- lieux des côtés AB et AC.
Démontrer que sans tracer les bissectrices des angles au sommet on peut construire le centre du cercle inscrit au triangle ABC qui est à l'une des deux intersections du cercle passant par quatre points convenablement choisis parmi les six points A, B, C, D, E et O et de la média- trice d'une corde de ce cercle.
Solution. Soit F sur BC tel que CF = 1005.
Comme les triangles BDF et CFE sont isocèles, les bissectrices des angles en B et C ne sont autres que les médiatrices de DF et EF. Donc le centre cherché est aussi sur la médiatrice de ED et c’est, par consé- quent, le point d’intersection de celle-ci avec la bis- sectrice de l’angle en A. Ce point n’est autre que le milieu de l’arc DE dans le cercle circonscrit à ADE…
B C
A
O
D
E F
